Раскраска домена

График раскраски домена функции

f (x) = (х 2 - 1) (х - 2 - я) 2 / х 2 + 2 + 2 я

, используя функцию структурированного цвета, описанную ниже.

В комплексном анализе , домен окраска или цветовое колесо графики представляет собой метод визуализации сложных функций пути присвоения цвета в каждую точку комплексной плоскости . Присваивая точкам на комплексной плоскости разные цвета и яркость, раскраска доменов позволяет легко представить и понять четырехмерную сложную функцию. Это дает представление о текучести сложных функций и показывает естественные геометрические расширения реальных функций .

Используется множество различных цветовых функций. Обычной практикой является представление сложного аргумента (также известного как «фаза» или «угол») с помощью оттенка, следующего за цветовым кругом , а величины - другими способами, такими как яркость или насыщенность .

Мотивация [ править ]

График из реальной функции могут быть сделаны в двух измерениях , так как существуют две переменные , представленные, и . Однако комплексные числа представлены двумя переменными и, следовательно, двумя измерениями; это означает, что представление сложной функции (точнее, комплексной функции одной комплексной переменной ) требует визуализации четырех измерений. Один из способов добиться этого - использовать риманову поверхность , но другой способ - раскрасить область. $x$ $y$ $f:\mathbb {C} \to \mathbb {C}$

Метод [ править ]

HL график

z

, как в примере простой цветовой функции, описанной в тексте (слева), и график комплексной функции

z 3 - 1

(справа) с использованием той же цветовой функции, показывающий три нуля, а также отрицательное действительное число. числа в виде голубых лучей, начинающиеся с нулей.

Представление четырехмерного сложного отображения только с двумя переменными нежелательно, поскольку такие методы, как проекции, могут привести к потере информации. Однако можно добавлять переменные, которые сохраняют четырехмерный процесс, не требуя визуализации четырех измерений. В этом случае две добавленные переменные являются визуальными входными данными, такими как цвет и яркость, потому что они, естественно, являются двумя переменными, легко обрабатываемыми и различимыми человеческим глазом. Это присвоение называется «цветовой функцией». Используется множество различных цветовых функций. Распространенной практикой является представление сложного аргумента (также известного как «фаза» или «угол») с оттенком, следующим за цветовым кругом , и величиной с помощью других средств, таких какяркость или насыщенность .

Функция простого цвета [ править ]

В следующем примере начало координат окрашено в черный цвет, $1 -$ в красный , $-1 -$ в голубой , а бесконечно удаленная точка - в белый цвет:

{\begin{cases}H&=\arg z,\\L&=\ell (|z|)\\S&=100\%.\end{cases}}

Для функции есть несколько вариантов . Желательным свойством является такое, что обратная функция функции точно такая же светлая, как исходная функция темная (и наоборот). Возможные варианты включают $\ell :[0,\infty )\to [0,1)$ $\ell (1/r)=1-\ell (r)$

$\ell _{1}(r)={\frac {2}{\pi }}\arctan(r)$ и
$\ell _{2}(r)={\frac {r^{a}}{r^{a}+1}}$ (с некоторым параметром ). $a>0$

Распространенным выбором, не имеющим этого свойства, является функция (с некоторым параметром ), которая для и очень близка к . $\ell _{3}(r)=1-a^{|r|}$ $0<a<1$ $a=1/2$ $0\leq r\leq 1$ $\ell _{1}$

В этом подходе используется цветовая модель HSL (оттенок, насыщенность, яркость). Насыщенность всегда устанавливается на максимум 100%. Яркие цвета радуги непрерывно вращаются по сложному единичному кругу, поэтому шестой корень из единицы (начиная с 1): красный, желтый, зеленый, голубой, синий и пурпурный. Величина кодируется интенсивностью с помощью строго монотонной непрерывной функции.

Поскольку цветовое пространство HSL не является перцептивно однородным, можно видеть полосы воспринимаемой яркости желтого, голубого и пурпурного (даже если их абсолютные значения такие же, как у красного, зеленого и синего) и ореол вокруг $L = 1 / 2$ . Использование цветового пространства Lab исправляет это, делая изображения более точными, но также делая их более тусклыми / пастельными.

Прерывистое изменение цвета [ править ]

Многие цветные графики имеют разрывы, где вместо равномерного изменения яркости и цвета они внезапно меняются, даже когда сама функция все еще остается гладкой. Это делается по разным причинам, например, чтобы показать больше деталей или выделить определенные аспекты функции.

Рост величины [ править ]

Прерывистая цветовая функция. На графике каждый разрыв возникает, когда для целых чисел n .

|z|=2^{n}

В отличие от конечного диапазона аргумента, величина комплексного числа может варьироваться от $0$ до $\infty$ . Следовательно, в функциях, которые имеют большие диапазоны значений, иногда бывает трудно дифференцировать изменения величины, когда на графике также отображается очень большое изменение. Это можно исправить с помощью функции прерывистого цвета, которая показывает повторяющийся образец яркости для величины, основанной на заданном уравнении. Это позволяет легко увидеть более мелкие изменения, а также более крупные изменения, которые «скачкообразно скачут» к более высокой величине. На графике справа эти разрывы появляются в кругах вокруг центра и показывают затемнение графика, которое затем может снова стать ярче. Аналогичная функция цвета была использована для графика в верхней части статьи.

Уравнения, которые определяют разрывы, могут быть линейными, например, для каждой целой величины, экспоненциальными уравнениями, такими как каждая величина n, где является целым числом, или любым другим уравнением. $2^{n}$

Выделение свойств [ править ]

Разрывы могут быть размещены там, где выходные данные имеют определенное свойство, чтобы выделить, какие части графа имеют это свойство. Например, график может вместо отображения голубого цвета перескакивать с зеленого на синий. Это вызывает разрыв, который легко обнаружить, и может выделить строки, например, где аргумент равен нулю. ^[1] Разрывы также могут влиять на большие части графика, например график, в котором цветовое колесо делит график на квадранты. Таким образом, легко показать, где заканчивается каждый сектор отношений с другими. ^[2]

История [ править ]

Вероятно, этот метод впервые был использован в публикации в конце 1980-х годов Ларри Кроуном и Хансом Лундмарком . ^[3]

Термин «раскраска домена» был придуман Фрэнком Фаррисом, возможно, примерно в 1998 году. ^[4]^[5] Было много более ранних применений цвета для визуализации сложных функций, обычно отображение аргумента ( фазы ) в оттенок. ^[6] Техника использования непрерывного цвета для отображения точек из домена в домен или плоскость изображения была использована в 1999 году Джорджем Абдо и Полом Годфри ^[7], а цветные сетки использовались в графике Дугом Арнольдом , датированным им 1997 годом ^{[8]. ]}

Ограничения [ править ]

Люди, страдающие дальтонизмом, могут иметь проблемы с интерпретацией таких графиков, если они составлены с использованием стандартных цветовых карт . ^[9]^[10] Эту проблему, возможно, можно решить, создав альтернативные версии с использованием цветовых карт, которые вписываются в цветовое пространство, различимое для людей с дальтонизмом. ^[11] Например, для использования людьми с полной дейтеранопией цветовая карта, основанная на синем / сером / желтом, может быть более читаемой, чем обычная карта, основанная на синем / зеленом / красном. ^[11]

Ссылки [ править ]

↑ May 2004. http://users.mai.liu.se/hanlu09/complex/domain_coloring.html Проверено 13 декабря 2018 г.
^ Poelke, Константин и Polthier, Конрад. https://pdfs.semanticscholar.org/1b31/16583a2638f896d8e1dd5813cd97b3c7e2bd.pdf, дата обращения 13 декабря 2018 г.
^ Элиас Вегерт (2012). Визуальные сложные функции: введение с фазовыми портретами . Springer Basel. п. 29. ISBN 9783034801799. Проверено 6 января +2016 .
^ Фрэнк А. Фаррис, Визуализация комплексных функций на плоскости
^ Hans Lundmark (2004). «Визуализация сложных аналитических функций с помощью раскраски области» . Архивировано из оригинала на 2006-05-02 . Проверено 25 мая 2006 . Ладмарк ссылается на то, что Фаррис ввел термин «раскраска домена» в этой статье 2004 года.
^ Дэвид А. Рабенхорст (1990). «Цветная галерея сложных функций» . Пиксель: Журнал научной визуализации . Пиксельные коммуникации. 1 (4): 42 и след.
^ Джордж Абдо и Пол Годфри (1999). «Построение функций комплексной переменной: таблица конформных отображений с использованием непрерывной раскраски» . Проверено 17 мая 2008 .
^ Дуглас Н. Арнольд (2008). «Графика для комплексного анализа» . Проверено 17 мая 2008 .
^ «CET Perceptually Uniform Color Maps» . peterkovesi.com . Проверено 22 декабря 2020 .
↑ Фаррис, Фрэнк А. (2 июня 2015 г.). Создание симметрии: хитрая математика рисунков обоев . Издательство Принстонского университета. С. 36–37. ISBN 978-0-691-16173-0.
^ a b Ковеси, Питер (2017). «Цветовые карты для дальтоников, представленные на IAMG 2017» (PDF) .

Внешние ссылки [ править ]

Викискладе есть медиафайлы, связанные со сложными цветными графиками .

Цветовые графики сложных функций
Визуализация комплексных функций на плоскости.
Галерея сложных функций
Комплексный картограф Алессандро Розы
Программное обеспечение John Davis - скрипт S-Lang для раскраски доменов
ПО с открытым исходным кодом для раскраски доменов C и Python
Улучшенная раскраска 3D-домена
Метод окраски домена на GPU
Программа для раскраски доменов Java (в разработке)
Подпрограммы MATLAB [1]
Скрипт Python для GIMP Майкла Дж. Грубера
Реализация раскраски доменов в Matplotlib и MayaVi Э. Петрисором [2]
Подпрограммы MATLAB с пользовательским интерфейсом и различными цветовыми схемами
Подпрограммы MATLAB для 3D-визуализации сложных функций
Метод цветового круга
Математический движок с масштабированием в реальном времени
Fractal Zoomer: программное обеспечение, использующее раскраску доменов

[1] May 2004. http://users.mai.liu.se/hanlu09/complex/domain_coloring.html Проверено 13 декабря 2018 г.

[2] Poelke, Константин и Polthier, Конрад. https://pdfs.semanticscholar.org/1b31/16583a2638f896d8e1dd5813cd97b3c7e2bd.pdf, дата обращения 13 декабря 2018 г.

[3] Элиас Вегерт (2012). Визуальные сложные функции: введение с фазовыми портретами . Springer Basel. п. 29. ISBN 9783034801799. Проверено 6 января +2016 .

[4] Фрэнк А. Фаррис, Визуализация комплексных функций на плоскости

[Ludmark1-5] Hans Lundmark (2004). «Визуализация сложных аналитических функций с помощью раскраски области» . Архивировано из оригинала на 2006-05-02 . Проверено 25 мая 2006 . Ладмарк ссылается на то, что Фаррис ввел термин «раскраска домена» в этой статье 2004 года.

[6] Дэвид А. Рабенхорст (1990). «Цветная галерея сложных функций» . Пиксель: Журнал научной визуализации . Пиксельные коммуникации. 1 (4): 42 и след.

[Abdo1-7] Джордж Абдо и Пол Годфри (1999). «Построение функций комплексной переменной: таблица конформных отображений с использованием непрерывной раскраски» . Проверено 17 мая 2008 .

[Arnold1-8] Дуглас Н. Арнольд (2008). «Графика для комплексного анализа» . Проверено 17 мая 2008 .

[9] «CET Perceptually Uniform Color Maps» . peterkovesi.com . Проверено 22 декабря 2020 .

[10] Фаррис, Фрэнк А. (2 июня 2015 г.). Создание симметрии: хитрая математика рисунков обоев . Издательство Принстонского университета. С. 36–37. ISBN 978-0-691-16173-0.

[:0-11] Ковеси, Питер (2017). «Цветовые карты для дальтоников, представленные на IAMG 2017» (PDF) .