Константа Эйлера – Маскерони (также называемая константой Эйлера ) - это математическая константа, повторяющаяся в анализе и теории чисел , обычно обозначаемая строчной греческой буквой гамма ( γ ).
Он определяется как предельная разница между гармоническим рядом и натуральным логарифмом :
Здесь, представляет функцию пола .
Числовое значение константы Эйлера – Маскерони с точностью до 50 знаков после запятой: [1]
- 0,57721 56649 01532 86060 65120 90082 40243 10421 59335 93992 ...
Постоянная Эйлера иррациональна? Если да, то трансцендентно ли это?
Двоичный | 0,1001 0011 1100 0100 0110 0111 1110 0011 0111 1101 ... |
Десятичный | 0,57721 56649 01532 86060 65120 90082 40243 10421 ... |
Шестнадцатеричный | 0,93C4 67E3 7DB0 C7A4 D1BE 3F81 0152 CB56 A1CE CC3A ... |
Непрерывная дробь | [0; 1, 1, 2, 1, 2, 1, 4, 3, 13, 5, 1, 1, 8, 1, 2, 4, 1, 1, ...] [2] (Неизвестно, непрерывная дробь конечна , бесконечна периодична или бесконечна непериодична. Показана в линейных обозначениях ) |
История
Константа впервые появилась в 1734 году в статье швейцарского математика Леонарда Эйлера под названием De Progressionibusharmonicis Наблюдения (Eneström Index 43). Эйлер использовал обозначения C и O для константы. В 1790 году итальянский математик Лоренцо Маскерони использовал обозначения A и a для константы. Обозначение γ нигде не встречается в трудах Эйлера или Маскерони и было выбрано позже, возможно, из-за связи константы с гамма-функцией . [3] Например, немецкий математик Карл Антон Бретшнайдер использовал обозначение γ в 1835 году γ_=_
Появления
Константа Эйлера – Маскерони появляется, среди прочего, в следующем тексте ('*' означает, что эта запись содержит явное уравнение):
- Выражения с экспоненциальным интегралом *
- Преобразование Лапласа * натурального логарифма
- Первый член разложения в ряд Лорана для дзета-функции Римана *, где это первая из констант Стилтьеса *
- Расчеты дигамма-функции
- Формула произведения для гамма-функции
- Асимптотическое разложение гамма-функции для малых аргументов.
- Неравенство для тотент-функции Эйлера
- Скорость роста функции делителей
- В размерной регуляризации из диаграмм Фейнмана в квантовой теории поля
- Расчет постоянной Мейселя – Мертенса.
- Третья теорема Мертенса *
- Решение второго рода уравнения Бесселя
- В регуляризации / перенормировках из гармонического ряда в качестве конечного значения
- Среднее из распределения Гумбеля
- Информационная энтропия из Вейбулла и Леви распределения, и, косвенно, из распределения хи-квадрат для одного или двух степеней свободы.
- Ответ на проблему сборщика купонов *
- В некоторых формулировках закона Ципфа
- Определение интеграла косинуса *
- Нижние оценки простого разрыва
- Верхняя граница энтропии Шеннона в квантовой теории информации [6]
Характеристики
Число γ не было доказано ни алгебраическим, ни трансцендентным . На самом деле даже не известно, является ли γ иррациональным . Использование цепной дроби анализа, Papanikolaou показал в 1997 году , что если γ является рациональным , ее знаменатель должен быть больше , чем 10 244663 . [7] [8] Повсеместность γ, выявленная большим количеством приведенных ниже уравнений, делает иррациональность γ основным открытым вопросом в математике. [9]
Однако некоторый прогресс был достигнут. Курт Малер показал в 1968 году, что число трансцендентен (здесь, а также - функции Бесселя ). [10] [3] В 2009 году Александр Аптекарев доказал, что по крайней мере одна из константы Эйлера – Маскерони γ и постоянной Эйлера – Гомперца δ иррациональна. [11] Этот результат был улучшен в 2012 году Танги Ривоал, который доказал, что по крайней мере один из них является трансцендентным. [12] [3]
В 2010 году М. Рам Мурти и Н. Сарадха рассмотрели бесконечный список чисел, содержащийγ/4и показал, что все, кроме одного, трансцендентны. [3] [13] В 2013 г. М. Рам Мурти и А. Зайцева снова рассмотрели бесконечный список чисел, содержащих γ, и показали, что все, кроме одного, трансцендентны. [3] [14] [ требуется пояснение ]
Связь с гамма-функцией
γ связана с функцией дигамма Ф , и , следовательно, производная от гамма - функции Г , когда обе функции вычисляются на 1. Таким образом:
Это равняется пределам:
Дальнейшие результаты по предельным значениям: [15]
Предел, связанный с бета-функцией (выраженной через гамма-функции ), составляет
Связь с дзета-функцией
γ также можно выразить как бесконечную сумму , члены которой включают дзета-функцию Римана, вычисленную в положительных целых числах:
Другие серии, связанные с дзета-функцией, включают:
Член ошибки в последнем уравнении является быстро убывающей функцией n . В результате формула хорошо подходит для эффективного вычисления постоянной с высокой точностью.
Другими интересными ограничениями, равными постоянной Эйлера – Маскерони, являются антисимметричный предел: [16]
и следующую формулу, установленную в 1898 году де ла Валле-Пуссеном :
где являются потолочные кронштейны. Эта формула показывает, что если взять любое положительное целое число n и разделить его на каждое положительное целое число m меньше n, средняя доля, на которую частное n / m меньше следующего целого числа, стремится к (а не 0,5), поскольку n стремится к бесконечности.
С этим тесно связано выражение рационального дзета-ряда . Взяв по отдельности несколько первых членов вышеприведенного ряда, можно получить оценку предела классического ряда:
где ζ ( s , k ) - дзета-функция Гурвица . Сумма в этом уравнении включает гармонические числа , Н п . Расширение некоторых членов дзета-функции Гурвица дает:
где 0 < ε < 1/252 п 6.
γ также можно выразить следующим образом, где A - постоянная Глейшера – Кинкелина :
γ также можно выразить следующим образом, что можно доказать, выразив дзета-функцию в виде ряда Лорана :
Интегралы
γ равно значению ряда определенных интегралов :
где H x - дробный номер гармоники .
Определенные интегралы, в которых фигурирует γ , включают:
Можно выразить γ, используя частный случай формулы Хаджикостаса, как двойной интеграл [9] [17] с эквивалентным рядом:
Интересным сравнением Сондоу [17] является двойной интегральный и знакопеременный ряды
Это показывает, что ln 4/π можно рассматривать как «переменную постоянную Эйлера».
Две константы также связаны парой рядов [18]
где N 1 ( n ) и N 0 ( n ) - количество единиц и нулей, соответственно, в разложении числа n по основанию 2 .
У нас также есть интеграл Каталонии 1875 г. [19]
Расширения серии
В общем,
для любой . Однако скорость сходимости этого расширения существенно зависит от. В частности, демонстрирует гораздо более быструю сходимость, чем обычное расширение . [20] [21] Это потому, что
пока
Даже в этом случае существуют другие разложения в ряд, которые сходятся быстрее этого; некоторые из них обсуждаются ниже.
Эйлер показал, что к γ приближается следующий бесконечный ряд :
Ряд для γ эквивалентен ряду, найденному Нильсеном в 1897 г .: [15] [22]
В 1910 году Вакка обнаружил близкую серию [23] [24] [25] [26] [27] [15] [28]].
где log 2 - логарифм по основанию 2, а ⌊ ⌋ - функция пола .
В 1926 году он нашел вторую серию:
Из разложения Мальмстена - Куммера логарифма гамма-функции [29] получаем:
Важное разложение постоянной Эйлера принадлежит Фонтане и Маскерони.
где G n - коэффициенты Грегори [15] [28] [30] Этот ряд является частным случаем расширений
сходится для
Аналогичный ряд с числами Коши второго рода C n есть [28] [31]
Благушин (2018) нашел интересное обобщение ряда Фонтана-Маскерони.
где ψ n ( a ) - многочлены Бернулли второго рода , которые определяются производящей функцией
Для любого рационального а эта серия содержит только рациональные термины. Например, при a = 1 это становится [32] [33]
Другие серии с такими же многочленами включают эти примеры:
а также
где Γ ( a ) - гамма-функция . [30]
Серия, связанная с алгоритмом Акияма-Танигава, это
где G n (2) - коэффициенты Грегори второго порядка. [30]
Серия простых чисел :
Асимптотические разложения
γ соответствует следующим асимптотическим формулам (где H n - номер n- й гармоники ):
- ( Эйлер )
- ( Негой )
- ( Чезаро )
Третья формула также называется разложением Рамануджана .
Алабдулмохсин вывел замкнутые выражения для сумм ошибок этих приближений. [31] Он показал, что (теорема A.1):
Экспоненциальный
Константа e γ важна в теории чисел. Некоторые авторы обозначают эту величину просто как γ ′ . e γ равно следующему пределу , где p n - n- е простое число :
Это подтверждает третью теорему Мертенса . [34] Числовое значение e γ : [35]
- 1,78107 24179 90197 98523 65041 03107 17954 91696 45214 30343 ... .
Другие бесконечные произведения, относящиеся к e γ, включают:
Эти продукты являются результатом Barnes G -функции .
Кроме того,
где n- й множитель является ( n + 1) -м корнем из
Это бесконечное произведение, впервые обнаруженное Сер в 1926 году, было переоткрыто Сондоу с помощью гипергеометрических функций . [36]
Также верно, что [37]
Непрерывная дробь
Цепная дробь расширение гамма имеет вид [0; 1, 1, 2, 1, 2, 1, 4, 3, 13, 5, 1, 1, 8, 1, 2, 4, 1, 1, 40, ...] , [2] который не имеет очевидного шаблон. Известно, что в непрерывной дроби содержится не менее 475 006 членов [7], и она имеет бесконечное количество членов тогда и только тогда, когда γ иррационально.
Обобщения
Обобщенные константы Эйлера даются формулами
для 0 < α <1 , причем γ является частным случаем α = 1 . [38] Это можно обобщить на
для произвольной убывающей функции f . Например,
дает константы Стилтьеса , а
дает
где снова предел
появляется.
Двумерным предельным обобщением является постоянная Массера – Грамейна .
Константы Эйлера – Лемера даются суммированием обратных чисел в общем классе по модулю: [13]
Основные свойства:
и если gcd ( a , q ) = d, то
Опубликованные цифры
Первоначально Эйлер рассчитал значение константы с точностью до 6 знаков после запятой. В 1781 году он вычислил его до 16 знаков после запятой. Маскерони попытался вычислить константу до 32 знаков после запятой, но допустил ошибки в 20–22 и 31–32 знаках после запятой; начиная с 20-й цифры он вычислил ... 181 12090082 39 при правильном значении ... 065 12090082 40 .
Дата | Десятичные цифры | Автор | Источники |
---|---|---|---|
1734 | 5 | Леонард Эйлер | |
1735 г. | 15 | Леонард Эйлер | |
1781 | 16 | Леонард Эйлер | |
1790 | 32 | Лоренцо Маскерони : 20-22 и 31-32 ошиблись | |
1809 г. | 22 | Иоганн Г. фон Зольднер | |
1811 г. | 22 | Карл Фридрих Гаусс | |
1812 г. | 40 | Фридрих Бернхард Готфрид Николаи | |
1857 г. | 34 | Кристиан Фредрик Линдман | |
1861 г. | 41 год | Людвиг Эттингер | |
1867 г. | 49 | Уильям Шанкс | |
1871 г. | 99 | Джеймс В.Л. Глейшер | |
1871 г. | 101 | Уильям Шанкс | |
1877 г. | 262 | Джей Си Адамс | |
1952 г. | 328 | Джон Уильям Ренч младший | |
1961 г. | 1 050 | Гельмут Фишер и Карл Целлер | |
1962 г. | 1 271 | Дональд Кнут | [39] |
1962 г. | 3 566 | Дура В. Суини | |
1973 | 4 879 | Уильям А. Бейер и Майкл С. Уотерман | |
1977 г. | 20 700 | Ричард П. Брент | |
1980 г. | 30 100 | Ричард П. Брент и Эдвин М. Макмиллан | |
1993 г. | 172 000 | Джонатан Борвейн | |
1999 г. | 108 000 000 | Патрик Демишель и Ксавье Гурдон | |
13 марта 2009 г. | 29 844 489 545 | Александр Дж. Йи и Раймонд Чан | [40] [41] |
22 декабря 2013 г. | 119 377 958 182 | Александр Дж. Йи | [41] |
15 марта 2016 г. | 160 000 000 000 | Питер Труб | [41] |
18 мая, 2016 | 250 000 000 000 | Рон Уоткинс | [41] |
23 августа 2017 г. | 477 511 832 674 | Рон Уоткинс | [41] |
26 мая 2020 | 600 000 000 100 | Сынмин Ким и Ян Катресс | [41] [42] |
Рекомендации
- Бретшнайдер, Карл Антон (1837) [1835]. "Theoriae logarithmi integralis lineamenta nova" . Журнал Крелля (на латыни). 17 : 257–285.
- Хэвил, Джулиан (2003). Гамма: исследование константы Эйлера . Издательство Принстонского университета. ISBN 978-0-691-09983-5.
- Рам Мурти, М .; Сарадха, Н. (2010). «Константы Эйлера – Лемера и гипотеза Эрдоша» . Журнал теории чисел . 130 (12): 2671–2681. DOI : 10.1016 / j.jnt.2010.07.004 . ISSN 0022-314X .
Сноски
- ^ Слоан, Н. Дж. А. (ред.). «Последовательность A001620 (десятичное разложение константы Эйлера (или константы Эйлера-Маскерони), гамма)» . Он -лайн энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд OEIS.
- ^ а б Слоан, Н. Дж. А. (ред.). «Последовательность A002852 (непрерывная дробь для постоянной Эйлера)» . Он -лайн энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд OEIS.
- ^ а б в г д Лагариас, Джеффри К. (октябрь 2013 г.). «Константа Эйлера: работы Эйлера и современные разработки». Бюллетень Американского математического общества . 50 (4): 556. arXiv : 1303.1856 . DOI : 10.1090 / s0273-0979-2013-01423-х . S2CID 119612431 .
- γ_=_
''c''_=_ ="texhtml_"_>0,577215_664901_532860_618112_090082_3.."_on_[httpsbooksgooglecombookshlfiidOAoPAAAAIAAJpgPA260_p._260]-4">^ Бретшнайдер 1837 , " γ = c = 0,577215 664901 532860 618112 090082 3 .. " на стр. 260 . ="nowrap"> - ^ Де Морган, Август (1836–1842). Дифференциальное и интегральное исчисление . Лондон: Болдуин и Крэддок. « γ » на стр. 578 .
- ^ Пещеры, Карлтон М .; Фукс, Кристофер А. (1996). «Квантовая информация: сколько информации в векторе состояния?». Дилемма Эйнштейна, Подольского и Розена - 60 лет спустя . Физическое общество Израиля. arXiv : квант-ph / 9601025 . Bibcode : 1996quant.ph..1025C . ISBN 9780750303941. OCLC 36922834 .
- ^ а б Хейбл, Бруно; Папаниколау, Томас (1998). Бюлер, Джо П. (ред.). «Быстрое вычисление множественной точности серий рациональных чисел». Алгоритмическая теория чисел . Конспект лекций по информатике. Springer. 1423 : 338–350. DOI : 10.1007 / bfb0054873 . ISBN 9783540691136.
- ^ Папаниколау, Т. (1997). Entwurf und Entwicklung einer objektorientierten Bibliothek für algorithmische Zahlentheorie (Thesis) (на немецком языке). Universität des Saarlandes.
- ^ a b См. также Сондоу, Джонатан (2003). «Критерии иррациональности постоянной Эйлера». Труды Американского математического общества . 131 (11): 3335–3344. arXiv : math.NT / 0209070 . DOI : 10.1090 / S0002-9939-03-07081-3 . S2CID 91176597 .
- ^ Малер, Курт; Морделл, Луи Джоэл (4 июня 1968 г.). «Приложения теоремы А.Б. Шидловского». Труды Лондонского королевского общества. Серия А. Математические и физические науки . 305 (1481): 149–173. Bibcode : 1968RSPSA.305..149M . DOI : 10,1098 / rspa.1968.0111 . S2CID 123486171 .
- ^ Аптекарев А.И. (28 февраля 2009 г.). «О линейных формах, содержащих постоянную Эйлера». arXiv : 0902.1768 [ math.NT ].
- ^ Ривоал, Танги (2012). «Об арифметической природе значений гамма-функции, постоянной Эйлера и постоянной Гомперца» . Мичиганский математический журнал . 61 (2): 239–254. DOI : 10.1307 / MMJ / 1339011525 . ISSN 0026-2285 .
- ^ а б Рам Мурти и Сарада 2010 .
- ^ Мурти, М. Рам; Зайцева, Анастасия (2013). «Трансцендентность обобщенных констант Эйлера» . Американский математический ежемесячник . 120 (1): 48–54. DOI : 10,4169 / amer.math.monthly.120.01.048 . ISSN 0002-9890 .
- ^ а б в г Кремер, Стефан (2005). Die Eulersche Konstante γ und verwandte Zahlen (на немецком языке). Геттингенский университет.
- ^ Сондоу, Джонатан (1998). «Антисимметричная формула для постоянной Эйлера» . Математический журнал . 71 : 219–220. Архивировано из оригинала на 2011-06-04 . Проверено 29 мая 2006 .
- ^ а б Сондов, Джонатан (2005), "Двойные интегралы для постоянной Эйлера и и аналог формулы Хаджикостаса », American Mathematical Monthly , 112 (1): 61–65, arXiv : math.CA/0211148 , doi : 10.2307 / 30037385 , JSTOR 30037385
- ^ Сондоу, Джонатан (1 августа 2005a). Новый рациональный ряд типа Вакки для постоянной Эйлера и ее «знакопеременный» аналог. arXiv : math.NT / 0508042 .
- ^ Сондоу, Джонатан; Зудилин, Вадим (2006). «Константа Эйлера, q -логарифмы и формулы Рамануджана и Госпера». Журнал Рамануджана . 12 (2): 225–244. arXiv : math.NT / 0304021 . DOI : 10.1007 / s11139-006-0075-1 . S2CID 1368088 .
- ^ ДеТемпл, Дуэйн В. (май 1993 г.). «Более быстрая сходимость к постоянной Эйлера». Американский математический ежемесячник . 100 (5): 468–470. DOI : 10.2307 / 2324300 . ISSN 0002-9890 . JSTOR 2324300 .
- ^ Havil 2003 , стр. 75-8.
- ^ Blagouchine 2016 .
- ^ Вакка, Г. (1910). «Новое аналитическое выражение для числа π и некоторые исторические соображения». Бюллетень Американского математического общества . 16 : 368–369.
- ^ Глейшер, Джеймс Уитбред Ли (1910). «О сериале доктора Вакки для γ ». QJ Pure Appl. Математика . 41 : 365–368.
- ^ Харди, GH (1912). «Заметка о серии д-ра Вакки для γ ». QJ Pure Appl. Математика . 43 : 215–216.
- ^ Вакка, Г. (1926). "Новая серия для костанте ди Эйлеро, C = 0,577 ...". Rendiconti, Accademia Nazionale dei Lincei, Roma, Classe di Scienze Fisiche ". Matematiche e Naturali (на итальянском языке). 6 (3): 19–20.
- ^ Kluyver, JC (1927). «По некоему сериалу мистера Харди». QJ Pure Appl. Математика . 50 : 185–192.
- ^ а б в Благушин, Ярослав В. (2016), «Разложения обобщенных констант Эйлера в ряды многочленов от π −2 и в формальные охватывающие ряды только с рациональными коэффициентами», J. Теория чисел , 158 : 365–396, arXiv : 1501.00740 , DOI : 10.1016 / j.jnt.2015.06.012
- ^ Благушин, Ярослав В. (2014). «Повторное открытие интегралов Мальмстена, их оценка методами контурного интегрирования и некоторые связанные результаты» . Журнал Рамануджана . 35 (1): 21–110. DOI : 10.1007 / s11139-013-9528-5 . S2CID 120943474 .
- ^ а б в Благушин, Ярослав В. (2018), «Три заметки о представлениях Сера и Хассе для дзета-функций» , INTEGERS: Электронный журнал комбинаторной теории чисел , 18A (# A3): 1–45, arXiv : 1606.02044 , Bibcode : 2016arXiv160602044B
- ^ а б Алабдулмохсин, Ибрагим М. (2018). Исчисление суммируемости. Комплексная теория дробных конечных сумм . Springer . С. 147–8. ISBN 9783319746487.
- ^ Слоан, Н. Дж. А. (ред.). «Последовательность A302120 (Абсолютное значение числителей ряда, сходящихся к постоянной Эйлера)» . Он -лайн энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд OEIS.
- ^ Слоан, Н. Дж. А. (ред.). «Последовательность A302121 (знаменатели ряда, сходящегося к постоянной Эйлера)» . Он -лайн энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд OEIS.
- ^ Вайсштейн, Эрик В. «Мертенс Констан» . WolframMathWorld (Исследования Вольфрама) .
- ^ Слоан, Н. Дж. А. (ред.). «Последовательность A073004 (десятичное представление exp (гамма))» . Он -лайн энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд OEIS.
- ^ Сондоу, Джонатан (2003). «Бесконечное произведение для e γ через гипергеометрические формулы для постоянной Эйлера γ ». arXiv : math.CA/0306008 .
- ^ Чой, Джунесанг; Шривастава, HM (1 сентября 2010 г.). «Интегральные представления для постоянной Эйлера – Маскерони γ». Интегральные преобразования и специальные функции . 21 (9): 675–690. DOI : 10.1080 / 10652461003593294 . ISSN 1065-2469 . S2CID 123698377 .
- ^ Havil 2003 , стр. 117-8.
- ^ Кнут, Дональд Э. (июль 1962 г.). «Константа Эйлера на 1271 место» . Математика вычислений . Американское математическое общество . 16 (79): 275–281.
- ^ Йи, Александр Дж. (7 марта 2011 г.). «Большие вычисления» . www.numberworld.org .
- ^ а б в г д е Йи, Александр Дж. "Рекорды, установленные y-cruncher" . www.numberworld.org . Проверено 30 апреля 2018 года .
Йи, Александр Дж. «Y-cruncher - многопоточная Pi-программа» . www.numberworld.org . - ^ «Константа Эйлера-Маскерони» . Сборщик Polymath .
дальнейшее чтение
- Borwein, Jonathan M .; Дэвид М. Брэдли; Ричард Э. Крэндалл (2000). «Вычислительные стратегии для дзета-функции Римана» (PDF) . Журнал вычислительной и прикладной математики . 121 (1-2): 11. Bibcode : 2000JCoAM.121..247B . DOI : 10.1016 / s0377-0427 (00) 00336-8 .Выводит γ как сумму по дзета-функциям Римана.
- Герст, И. (1969). «Некоторые ряды для постоянной Эйлера». Амер. Математика. Ежемесячно . 76 (3): 237–275. DOI : 10.2307 / 2316370 . JSTOR 2316370 .
- Глейшер, Джеймс Уитбред Ли (1872). «К истории постоянной Эйлера». Вестник математики . 1 : 25–30. JFM 03.0130.01 .
- Гурдон, Ксавье; Себах, П. (2002). «Сборник формул для постоянной Эйлера γ » .
- Гурдон, Ксавье; Себах, П. (2004). «Постоянная Эйлера: γ » .
- Карацуба, Е.А. (1991). «Быстрая оценка трансцендентных функций». Пробл. Инф. Трансм . 27 (44): 339–360.
- Карацуба, Е.А. (2000). «О вычислении постоянной Эйлера γ ». Журнал численных алгоритмов . 24 (1-2): 83–97. DOI : 10,1023 / A: 1019137125281 . S2CID 21545868 .
- Кнут, Дональд (1997). Искусство программирования, Vol. 1 (3-е изд.). Эддисон-Уэсли. С. 75, 107, 114, 619–620. ISBN 0-201-89683-4.
- Лемер, Д.Х. (1975). «Константы Эйлера для арифметических прогрессий» (PDF) . Acta Arith . 27 (1): 125–142. DOI : 10,4064 / аа-27-1-125-142 .
- Лерх, М. (1897). "Новые выражения де ла константе д'Эулера". Sitzungsberichte der Königlich Böhmischen Gesellschaft der Wissenschaften . 42 : 5.
- Маскерони, Лоренцо (1790), Adnotationes ad Calculum integlem Euleri, in quibus nonnulla problemata ab Eulero proposita resolvuntur , Галеати, Тичини
- Сондоу, Джонатан (2002). «Гипергеометрический подход через линейные формы, включающие логарифмы, к критериям иррациональности для постоянной Эйлера». Mathematica Slovaca . 59 : 307–314. arXiv : math.NT / 0211075 . Bibcode : 2002math ..... 11075S .с приложением Сергея Злобина
Внешние ссылки
- «Константа Эйлера» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
- Вайсштейн, Эрик В. «Константа Эйлера – Маскерони» . MathWorld .
- Джонатан Сондоу.
- Быстрые алгоритмы и метод FEE , Е.А. Карацуба (2005).
- Другие формулы, использующие константу: Gourdon and Sebah (2004).