В теории чисел , теоремы Мертенса три +1874 результаты , связанные с плотностью простых чисел доказанных Франца Мертенс . [1] «Теорема Мертенса» может также относиться к его теореме в анализе .
В теории чисел
Далее пусть означают все простые числа, не превышающие n .
Первая теорема Мертенса :
не превышает 2 по абсолютной величине для любого . ( A083343 )
Вторая теорема Мертенса :
где M - постоянная Мейселя – Мертенса ( A077761 ). Точнее, Мертенс [1] доказывает, что выражение под пределом по модулю не превосходит
для любой .
Третья теорема Мертенса :
где γ - постоянная Эйлера – Маскерони ( A001620 ).
Изменения в знаке
В статье [2] о скорости роста функции суммы делителей, опубликованной в 1983 г., Гай Робин доказал, что во 2-й теореме Мертенса разность
меняет знак бесконечно часто, и что в 3-й теореме Мертенса разница
меняет знак бесконечно часто. Результаты Робина аналогичны Лнттлвуда «s известной теоремы о том , что разница π ( х ) - ли ( х ) меняет знак бесконечно часто. Никакой аналог числа Скьюза (верхняя граница первого натурального числа x, для которого π ( x )> li ( x )) не известен в случае 2-й и 3-й теорем Мертенса.
Вторая теорема Мертенса и теорема о простых числах
Относительно этой асимптотической формулы Мертенс ссылается в своей статье на «две любопытные формулы Лежандра» [1], первая из которых является прототипом второй теоремы Мертенса (а вторая - прототипом третьей теоремы Мертенса: см. Самые первые строки статьи. ). Он напоминает, что она содержится в третьем издании Лежандра его «Теории чисел» (1830; она уже упоминалась во втором издании 1808 года), а также что более сложная версия была доказана Чебышевым в 1851 году [3]. ] Отметим, что уже в 1737 году Эйлер знал асимптотику этой суммы.
Мертенс дипломатично описывает свое доказательство как более точное и строгое. На самом деле ни одно из предыдущих доказательств неприемлемо по современным стандартам: вычисления Эйлера включают бесконечность (и гиперболический логарифм бесконечности, и логарифм логарифма бесконечности!); Аргумент Лежандра эвристичен; Доказательство Чебышева, хотя и совершенно здравое, использует гипотезу Лежандра-Гаусса, которая не была доказана до 1896 года и стала более известной как теорема о простых числах .
Доказательство Мертенса не апеллирует ни к какой недоказанной гипотезе (1874 г.), а только к элементарному реальному анализу. Это произошло за 22 года до первого доказательства теоремы о простых числах, которое, напротив, опирается на тщательный анализ поведения дзета-функции Римана как функции комплексной переменной. Доказательство Мертенса в этом отношении примечательно. Действительно, в современных обозначениях это дает
тогда как можно показать, что теорема о простых числах (в ее простейшей форме, без оценки ошибок) эквивалентна [4]
В 1909 году Эдмунд Ландау , используя лучшую версию теоремы о простых числах, имевшуюся тогда в его распоряжении, доказал [5], что
держит; в частности, член ошибки меньше, чемдля любого фиксированного целого k . Простое суммирование по частям с использованием сильнейшей известной формы теоремы о простых числах улучшает это до
для некоторых .
Аналогичным образом частичное суммирование показывает, что эквивалентен PNT.
Третья теорема Мертенса и теория решета
Оценка вероятности () без фактора дан кем-то
Это тесно связано с третьей теоремой Мертенса, которая дает асимптотическое приближение
В теории суммируемости
В теории суммирования , Мертенс теорема утверждает , что если в действительной или комплексной бесконечной серии
сходится к A, а другой
абсолютно сходится к B, то их произведение Коши сходится к AB .
Доказательство
Главный шаг - это
где последнее равенство требует что следует из .
Таким образом, мы доказали, что
- .
А частичное суммирование дает
- .
Рекомендации
- ^ a b c Ф. Мертенс. J. Reine Angew. Математика. 78 (1874), 46–62 Ein Beitrag zur analytischen Zahlentheorie
- ^ Робин, Г. (1983). "Sur l'ordre maximum de la fonction somme des diviseurs". Семинэр Деланж – Пизо – Пуату, Теория имен (1981–1982). Успехи в математике . 38 : 233–244.
- ^ PL Tchebychev. Sur la fonction qui détermine la totalité des nombres premiers. Mémoires présentés à l'Académie Impériale des Sciences de Saint-Pétersbourg par divers savants, VI 1851, 141–157
- ^ Хотя эта эквивалентность здесь явно не упоминается, ее, например, легко вывести из материала главы I.3: G. Tenenbaum. Введение в аналитическую и вероятностную теорию чисел. Перевод со второго французского издания (1995) CB Thomas. Кембриджские исследования по высшей математике, 46. Издательство Кембриджского университета, Кембридж, 1995.
- ^ Эдмунд Ландау. Handbuch der Lehre von der Verteilung der Primzahlen, Teubner, Leipzig 1909, Repr. Chelsea New York 1953, § 55, стр. 197-203.
дальнейшее чтение
Внешние ссылки
- Вайсштейн, Эрик В. «Мертенс Констан» . MathWorld .
- Сондоу, Джонатан и Вайсштейн, Эрик В. «Теорема Мертенса» . MathWorld .
- Вайсштейн, Эрик В. "Вторая теорема Мертенса" . MathWorld .
- Варун Раджкумар, π (x) и Решето Эратосфена