В теории чисел , число скьюза является одной из нескольких больших чисел , используемых в ЮАР математику Станли Скус в качестве верхних границ для наименьшего натурального числа для которого
где π - функция счета простых чисел, а li - логарифмическая интегральная функция . Число Скьюза намного больше, но теперь известно, что рядом есть переход. Неизвестно, будет ли он самым маленьким.
Числа Скьюза
Джон Эденсор Литтлвуд , который был научным руководителем Скьюза, доказал в Littlewood (1914), что такое число существует (а значит, первое такое число); и действительно обнаружил, что знак разницыменяется бесконечно много раз. Все имеющиеся на тот момент числовые свидетельства, казалось, предполагали, что всегда было меньше чем . Однако доказательство Литтлвуда не показало конкретного такого числа..
Скьюс (1933) доказал, что, если предположить, что гипотеза Римана верна, существует число нарушение ниже
- .
В Skewes (1955) , не принимая гипотезу Римана, Skewes доказал, что должно существовать значение ниже
- .
Задача Скьюза заключалась в том, чтобы сделать доказательство существования Литтлвуда эффективным : показать некоторую конкретную верхнюю границу для первого изменения знака. По словам Георга Крайзеля , в то время это даже в принципе не считалось очевидным.
Более свежие оценки
Эти верхние границы с тех пор были значительно уменьшены за счет использования крупномасштабных компьютерных вычислений нулей дзета-функции Римана . Первую оценку фактического значения точки пересечения дал Lehman (1966) , который показал, что где-то между а также есть более чем последовательные целые числа с участием . Не принимая гипотезу Римана, HJJ te Riele ( 1987 ) доказал верхнюю границу. Лучшая оценка былаобнаружены Bays & Hudson (2000) , которые показали, что существует по крайней мере последовательные целые числа где-то рядом с этим значением, где . Бэйс и Хадсон нашли несколько гораздо меньших значений где приближается к ; возможность того, что рядом с этими значениями есть точки пересечения, еще не исключена, хотя компьютерные расчеты показывают, что они вряд ли существуют. Chao & Plymen (2010) дали небольшое улучшение и исправление результата Бейса и Хадсона. Саутер и Демишель (2010) нашли меньший интервал для пересечения, который был немного улучшен Зеговицем (2010) . Из того же источника видно, что существует ряд нарушение ниже . Это можно свести к, предполагая гипотезу Римана. Stoll & Demichel (2011) дали.
Год | около x | # использованных комплексных нулей | от |
---|---|---|---|
2000 г. | 1,39822 × 10 316 | 1 × 10 6 | Бэйс и Гудзон |
2010 г. | 1,39801 × 10 316 | 1 × 10 7 | Чао и Плимен |
2010 г. | 1.397166 × 10 316 | 2,2 × 10 7 | Саутер и Демишель |
2011 г. | 1.397162 × 10 316 | 2,0 × 10 11 | Столл и Демишель |
Неукоснительно, Rosser & Schoenfeld (1962) доказал , что нет точек кроссовера ниже, улучшенный Брентом (1975) до, По Kotnik (2008) в, Платт и Трудгиан (2014) на, и Бюте (2015) на.
Нет явного значения известно наверняка, что имеет собственность хотя компьютерные расчеты предлагают некоторые точные цифры, которые вполне могут удовлетворить это.
Несмотря на то, что естественная плотность положительных целых чисел, для которыхне существует, Винтнер (1941) показал, что логарифмическая плотность этих положительных целых чисел действительно существует и положительна. Рубинштейн и Сарнак (1994) показали, что эта пропорция составляет около 0,00000026, что удивительно велико, учитывая, как далеко нужно зайти, чтобы найти первый пример.
Формула Римана
Риман дал явную формулу для, главные термины которого (игнорируя некоторые тонкие вопросы о конвергенции)
где сумма по всем в множестве нетривиальных нулей дзета-функции Римана .
Наибольшая ошибка в приближении (если гипотеза Римана верна) отрицательна, показывая, что обычно больше, чем . Остальные термины, приведенные выше, несколько меньше и, кроме того, имеют разные, кажущиеся случайными сложные аргументы, поэтому в большинстве случаев они сокращаются. Иногда, однако, у нескольких более крупных аргументов может быть примерно один и тот же сложный аргумент, и в этом случае они будут усиливать друг друга, а не отменять, и подавляют термин..
Причина, по которой число Скьюза настолько велико, заключается в том, что эти меньшие члены намного меньше, чем главный член ошибки, в основном потому, что первый комплексный нуль дзета-функции имеет довольно большую мнимую часть, поэтому большое число (несколько сотен) из них необходимо иметь примерно одинаковые аргументы, чтобы подавить доминирующий термин. Шанс случайные комплексные числа, имеющие примерно одинаковый аргумент, составляют примерно 1 в . Это объясняет, почему иногда больше, чем а также почему это случается редко. Это также показывает, почему поиск мест, где это происходит, зависит от крупномасштабных вычислений миллионов высокоточных нулей дзета-функции Римана.
Приведенный выше аргумент не является доказательством, поскольку он предполагает, что нули дзета-функции Римана случайны, что неверно. Грубо говоря, доказательство Литтлвуда состоит из аппроксимационной теоремы Дирихле, показывающей, что иногда многие члены имеют примерно одинаковые аргументы. В случае, если гипотеза Римана неверна, аргумент намного проще, по сути, потому что термины для нулей, нарушающих гипотезу Римана (действительная часть которых больше 1/2) в конечном итоге больше, чем .
Причина срока это, грубо говоря, на самом деле считает степени простых чисел, а не сами простые числа, с взвешенный . Термин примерно аналогична поправке второго порядка с учетом квадратов простых чисел.
Эквивалент для простых k-кортежей
Эквивалентное определение числа Скьюза существует для простых k -наборов ( Tóth (2019) ). Позволятьобозначим простой ( k + 1) -набор, количество простых чисел ниже такой, что все простые, пусть и разреши обозначим его постоянную Харди-Литтлвуда (см. первую гипотезу Харди-Литтлвуда ). Тогда первое простое числочто нарушает неравенство Харди-Литтлвуда для ( k + 1) -набора, т. е. первое простое число такой, что
(если такое простое число существует) - это число Скьюза для.
В таблице ниже показаны известные в настоящее время числа Скьюза для простых k -элементов:
Prime к -кратному | Число перекосов | Найдено |
---|---|---|
( р , р + 2) | 1369391 | Волк (2011) |
( р , р + 4) | 5206837 | Тот (2019) |
( р , р + 2, р + 6) | 87613571 | Тот (2019) |
( р , р + 4, р + 6) | 337867 | Тот (2019) |
( р , р + 2, р + 6, р + 8) | 1172531 | Тот (2019) |
( р , р + 4, р +6, р + 10) | 827929093 | Тот (2019) |
( p , p + 2, p + 6, p + 8, p + 12) | 21432401 | Тот (2019) |
( p , p +4, p +6, p + 10, p + 12) | 216646267 | Тот (2019) |
( p , p + 4, p + 6, p + 10, p + 12, p + 16) | 251331775687 | Тот (2019) |
Число Скьюза (если существует) для сексуальных простых чисел пока неизвестно.
Также неизвестно, есть ли у всех допустимых наборов k соответствующее число Скьюза.
Рекомендации
- Bays, C .; Хадсон, Р.Х. (2000), «Новая граница для самых маленьких. с участием " (PDF) , Математика вычислений , 69 (231): 1285–1296, DOI : 10.1090 / S0025-5718-99-01104-7 , MR 1752093 , Zbl 1042.11001
- Brent, Р. П. (1975), "Неровности в распределении простых чисел и простых чисел близнецов", Математика вычислений , 29 (129): 43-56, DOI : 10,2307 / 2005460 , JSTOR 2005460 , МР 0369287 , Zbl +0295,10002
- Бют, Ян (2015), Аналитический метод оценки, arXiv : 1511.02032 , Bibcode : 2015arXiv151102032B
- Чао, Куок Фай; Плимен, Роджер (2010), «Новая граница для самых маленьких. с участием ", Международный журнал теории чисел , 6 (03): 681–690, arXiv : math / 0509312 , doi : 10.1142 / S1793042110003125 , MR 2652902 , Zbl 1215.11084
- Kotnik, Т. (2008), "Функция прайм-подсчитывая и его аналитические аппроксимации", Успехи в области вычислительной математики , 29 (1): 55-70, DOI : 10.1007 / s10444-007-9039-2 , МР 2420864 , Zbl 1149.11004
- Леман, Р. Шерман (1966), "О различии π ( Икс ) - Ли ( Икс ) {\ displaystyle \ pi (x) - \ operatorname {li} (x)} " , Acta Арифметика , 11 : 397-410, DOI : 10,4064 / аа-11-4-397-410 , МР 0202686 , Zbl +0151,04101
- Литтлвуд, JE (1914), "Sur La распределение де nombres премьеров", Comptes Rendus , 158 : 1869-1872, СУЛ 45.0305.01
- Платт, диджей; Труджян, Т.С. (2014), О первой смене знака, arXiv : 1407.1914 , Bibcode : 2014arXiv1407.1914P
- te Riele, HJJ (1987), "О знаке различия", Математика вычислений , 48 (177): 323–328, DOI : 10.1090 / s0025-5718-1987-0866118-6 , JSTOR 2007893 , MR 0866118
- Россер, JB ; Шенфельд, Л. (1962), «Приближенные формулы для некоторых функций от простых чисел», Illinois Journal of Mathematics , 6 : 64–94, MR 0137689
- Саутер, Янник; Демишель, Патрик (2010), «Острый регион, гдеположительно», Математика вычислений , 79 (272): 2395-2405, DOI : 10,1090 / S0025-5718-10-02351-3 , МР 2684372
- Рубинштейн, М .; Сарнак, P. (1994), "смещение Чебышева" , Экспериментальная математика , 3 (3): 173-197, DOI : 10,1080 / 10586458.1994.10504289 , MR 1329368
- Скьюс, С. (1933), «О различии», Журнал Лондонского математического общества , 8 : 277-283, DOI : 10,1112 / jlms / s1-8.4.277 , JFM 59.0370.02 , Zbl 0007,34003
- Скьюс, С. (1955), «О различии(II)», Труды Лондонского математического общества , 5 : 48-70, DOI : 10,1112 / ПНИЛ / s3-5.1.48 , MR 0067145
- Столл, Дуглас; Демишель, Патрик (2011), «Влияние комплексные нули на для », Математика вычислений , 80 (276): 2381-2394, DOI : 10,1090 / S0025-5718-2011-02477-4 , МР 2813366
- Тот, Ласло (2019), "Об асимптотической плотности простых k-наборов и гипотезе Харди и Литтлвуда" (PDF) , Вычислительные методы в науке и технологиях , 25 (3).
- Винтнер, А. (1941), "О функции распределения остаточного члена теоремы простого числа", Американский журнал математики , 63 (2): 233-248, DOI : 10,2307 / 2371519 , JSTOR 2371519 , MR 0004255
- Вольф, Марек (2011), «Число Скьюза для простых чисел-близнецов: подсчет изменений знака π2 (x) - C2Li2 (x)» (PDF) , Вычислительные методы в науке и технологиях , 17.
- Зеговиц, Стефани (2010), О положительной области π ( Икс ) - Ли ( Икс ) {\ displaystyle \ pi (x) - \ operatorname {li} (x)} , Магистерская диссертация, Манчестерский институт математических наук, Школа математики, Манчестерский университет
Внешние ссылки
- Демичелс, Патрик. «Функция подсчета простых чисел и связанные предметы» (PDF) . Демишель . Архивировано из оригинала (PDF) на 8 сентября 2006 года . Проверено 29 сентября 2009 .
- Азимов И. (1976). «Шашлык!». О большом и малом . Нью-Йорк: Ace Books. ISBN 978-0441610723.