Логарифмическая интегральная функция

В математике , то интегральный логарифм или интеграл логарифм Li ( х ) представляет собой специальную функцию . Это актуально в задачах физики и имеет теоретико-числовое значение. В частности, согласно теореме Зигеля-Вальфиса, это очень хорошее приближение к функции подсчета простых чисел , которая определяется как количество простых чисел, меньших или равных заданному значению .${\ displaystyle x}$

График логарифмической интегральной функции

Интегральное представление [ править ]

Логарифмический интеграл имеет интегральное представление, определяемое для всех положительных действительных чисел x  1 определенным интегралом

${\ displaystyle \ operatorname {li} (x) = \ int _ {0} ^ {x} {\ frac {dt} {\ ln t}}.}$

Здесь ln обозначает натуральный логарифм . Функция 1 / (ln t ) имеет особенность при t = 1 , а интеграл для x > 1 интерпретируется как главное значение Коши ,

${\displaystyle \operatorname {li} (x)=\lim _{\varepsilon \to 0+}\left(\int _{0}^{1-\varepsilon }{\frac {dt}{\ln t}}+\int _{1+\varepsilon }^{x}{\frac {dt}{\ln t}}\right).}$

Смещение логарифмического интеграла [ править ]

Смещения логарифмический интеграл или Эйлерово логарифмический интеграл определяется как

${\displaystyle \operatorname {Li} (x)=\int _{2}^{x}{\frac {dt}{\ln t}}=\operatorname {li} (x)-\operatorname {li} (2).}$

Таким образом, интегральное представление имеет то преимущество, что позволяет избежать сингулярности в области интегрирования.

Особые значения [ править ]

Функция li ( x ) имеет единственный положительный нуль; это происходит при x ≈ 1,45136 92348 83381 05028 39684 85892 02744 94930 ... OEIS :  A070769 ; это число известно как постоянная Рамануджана – Зольднера .

−Li (0) = li (2) ≈ 1.045163 780117 492784 844588 889194 613136 522615 578151 ... OEIS :  A069284

Вот где находится неполная гамма-функция . Его следует понимать как главное значение функции Коши .${\displaystyle -(\Gamma \left(0,-\ln 2\right)+i\,\pi )}$${\displaystyle \Gamma \left(a,x\right)}$

Представление серии [ править ]

Функция li ( x ) связана с экспоненциальным интегралом Ei ( x ) уравнением

${\displaystyle {\hbox{li}}(x)={\hbox{Ei}}(\ln x),\,\!}$

что справедливо для x  > 0. Это тождество дает представление li ( x ) в виде ряда

${\displaystyle \operatorname {li} (e^{u})={\hbox{Ei}}(u)=\gamma +\ln |u|+\sum _{n=1}^{\infty }{u^{n} \over n\cdot n!}\quad {\text{ for }}u\neq 0\;,}$

где γ ≈ 0,57721 56649 01532 ... OEIS :  A001620 - постоянная Эйлера – Маскерони . Более быстро сходящийся ряд Рамануджана ^[1] имеет вид

${\displaystyle \operatorname {li} (x)=\gamma +\ln \ln x+{\sqrt {x}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}(\ln x)^{n}}{n!\,2^{n-1}}}\sum _{k=0}^{\lfloor (n-1)/2\rfloor }{\frac {1}{2k+1}}.}$

Асимптотическое разложение [ править ]

Асимптотика при x  → ∞ равна

${\displaystyle \operatorname {li} (x)=O\left({x \over \ln x}\right)\;.}$

где есть большое обозначение O . Полное асимптотическое разложение имеет вид${\displaystyle O}$

${\displaystyle \operatorname {li} (x)\sim {\frac {x}{\ln x}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {k!}{(\ln x)^{k}}}}$

или же

${\displaystyle {\frac {\operatorname {li} (x)}{x/\ln x}}\sim 1+{\frac {1}{\ln x}}+{\frac {2}{(\ln x)^{2}}}+{\frac {6}{(\ln x)^{3}}}+\cdots .}$

Это дает следующую более точную асимптотику:

${\displaystyle \operatorname {li} (x)-{x \over \ln x}=O\left({x \over \ln ^{2}x}\right)\;.}$

В качестве асимптотического разложения этот ряд не сходится : это разумное приближение, только если ряд усекается до конечного числа членов и используются только большие значения x . Это разложение следует непосредственно из асимптотического разложения для экспоненциального интеграла .

Это означает, например, что мы можем заключить li в скобки как:

${\displaystyle 1+{\frac {1}{\ln x}}<\operatorname {li} (x){\frac {\ln x}{x}}<1+{\frac {1}{\ln x}}+{\frac {3}{(\ln x)^{2}}}}$

для всех .${\displaystyle \ln x\geq 11}$

Теоретико-числовое значение [ править ]

Логарифмический интеграл важен в теории чисел , поскольку он появляется в оценках количества простых чисел, меньших заданного значения. Например, теорема о простых числах утверждает, что:

${\displaystyle \pi (x)\sim \operatorname {Li} (x)}$

где обозначает количество простых чисел, меньших или равных .${\displaystyle \pi (x)}$${\displaystyle x}$

Принимая гипотезу Римана , мы становимся еще сильнее: ^[2]

${\displaystyle \operatorname {Li} (x)-\pi (x)=O({\sqrt {x}}\log x)}$

См. Также [ править ]

• Йорген Педерсен Грам
• Число Скьюза

Ссылки [ править ]

• Абрамовиц, Милтон ; Стегун, Ирен Энн , ред. (1983) [июнь 1964]. «Глава 5» . Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами . Прикладная математика. 55 (Девятое переиздание с дополнительными исправлениями, десятое оригинальное издание с исправлениями (декабрь 1972 г.); первое изд.). Вашингтон, округ Колумбия; Нью-Йорк: Министерство торговли США, Национальное бюро стандартов; Dover Publications. п. 228. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN  64-60036 . Руководство по ремонту  0167642 . LCCN  65-12253 .
• Темме, Н.М. (2010), «Экспоненциальные, логарифмические, синусоидальные и косинусные интегралы» , в Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M .; Бойсверт, Рональд Ф .; Кларк, Чарльз В. (ред.), Справочник по математическим функциям NIST , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR  2723248