Экспоненциальный интеграл

График функции (вверху) и функции (внизу).${\ displaystyle E_ {1}}$${\ displaystyle \ operatorname {Ei}}$

В математике экспоненциальный интеграл Ei - это специальная функция на комплексной плоскости . Он определяется как один конкретный определенный интеграл отношения между экспоненциальной функцией и ее аргументом .

Определения [ править ]

Для вещественных ненулевых значений  x экспоненциальный интеграл Ei ( x ) определяется как

${\displaystyle \operatorname {Ei} (x)=-\int _{-x}^{\infty }{\frac {e^{-t}}{t}}\,dt=\int _{-{\infty }}^{x}{\frac {e^{t}}{t}}\,dt.\,}$

Риш алгоритм показывает , что Ei не является элементарной функцией . Приведенное выше определение можно использовать для положительных значений  x , но интеграл следует понимать в терминах главного значения Коши из-за сингулярности подынтегрального выражения в нуле.

Для комплексных значений аргумента определение становится неоднозначным из-за точек ветвления в 0 и . ^[1] Вместо Ei используются следующие обозначения, ^[2]${\displaystyle \infty }$

${\displaystyle E_{1}(z)=\int _{z}^{\infty }{\frac {e^{-t}}{t}}\,dt,\qquad |{\rm {Arg}}(z)|<\pi }$

(обратите внимание, что для положительных значений  x мы имеем ).${\displaystyle -E_{1}(x)=\operatorname {Ei} (-x)}$

В общем, разрез ветви выполняется на отрицательной действительной оси, и E ₁ может быть определено аналитическим продолжением в другое место на комплексной плоскости.

Для положительных значений действительной части это можно записать ^[3]${\displaystyle z}$

${\displaystyle E_{1}(z)=\int _{1}^{\infty }{\frac {e^{-tz}}{t}}\,dt=\int _{0}^{1}{\frac {e^{-z/u}}{u}}\,du,\qquad \Re (z)\geq 0.}$

Поведение E ₁ вблизи сечения ветви можно увидеть из следующего соотношения: ^[4]

${\displaystyle \lim _{\delta \to 0+}E_{1}(-x\pm i\delta )=-\operatorname {Ei} (x)\mp i\pi ,\qquad x>0.}$

Свойства [ править ]

Некоторые свойства экспоненциального интеграла, приведенного ниже, в некоторых случаях позволяют избежать его явного вычисления через определение выше.

Конвергентная серия [ править ]

Для вещественных или сложных аргументов вне отрицательной действительной оси может быть выражено как ^[5]${\displaystyle E_{1}(z)}$

${\displaystyle E_{1}(z)=-\gamma -\ln z-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-z)^{k}}{k\;k!}}\qquad (|\operatorname {Arg} (z)|<\pi )}$

где - постоянная Эйлера – Маскерони . Сумма сходится для всего комплекса , и мы берем обычное значение комплексного логарифма, имеющего ветвь, разрезанную вдоль отрицательной действительной оси.${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle z}$

Эта формула может использоваться для вычислений с операциями с плавающей запятой для вещественных значений от 0 до 2,5. Ибо результат неточный из-за отмены .${\displaystyle E_{1}(x)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x>2.5}$

Рамануджан обнаружил более быстрый сходящийся ряд :

${\displaystyle {\rm {Ei}}(x)=\gamma +\ln x+\exp {(x/2)}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}x^{n}}{n!\,2^{n-1}}}\sum _{k=0}^{\lfloor (n-1)/2\rfloor }{\frac {1}{2k+1}}}$

Эти чередующиеся ряды также можно использовать для получения хороших асимптотических оценок для малых x, например ^{[ ссылка ]} :

${\displaystyle 1-{\frac {3x}{4}}\leq {\rm {Ei}}(x)-\gamma -\ln x\leq 1-{\frac {3x}{4}}+{\frac {11x^{2}}{36}}}$

для .${\displaystyle x\geq 0}$

Асимптотические (расходящиеся) ряды [ править ]

Относительная погрешность асимптотического приближения для разного числа слагаемых в усеченной сумме${\displaystyle ~N~}$

К сожалению, сходимость приведенного выше ряда медленная для аргументов с большим модулем. Например, для x  = 10 требуется более 40 членов, чтобы получить правильный ответ до трех значащих цифр для . ^[6] Однако существует приближение расходящихся рядов, которое может быть получено интегрированием по частям: ^[7]${\displaystyle E_{1}(z)}$${\displaystyle ze^{z}E_{1}(z)}$

${\displaystyle E_{1}(z)={\frac {\exp(-z)}{z}}\sum _{n=0}^{N-1}{\frac {n!}{(-z)^{n}}}}$

который имеет ошибку порядка и действителен для больших значений . Относительная погрешность приведенного выше приближения показана на рисунке справа для различных значений , количества членов в усеченной сумме ( красным, розовым).${\displaystyle O(N!z^{-N})}$${\displaystyle \operatorname {Re} (z)}$${\displaystyle N}$${\displaystyle N=1}$${\displaystyle N=5}$

Экспоненциальное и логарифмическое поведение: скобки [ править ]

Брекетинг элементарных функций${\displaystyle E_{1}}$

Из двух серий, предложенных в предыдущих подразделах, следует, что он ведет себя как отрицательная экспонента для больших значений аргумента и как логарифм для малых значений. Для положительных вещественных значений аргумента, можно заключить в скобки элементарными функциями следующим образом: ^[8]${\displaystyle E_{1}}$${\displaystyle E_{1}}$

${\displaystyle {\frac {1}{2}}e^{-x}\,\ln \!\left(1+{\frac {2}{x}}\right)<E_{1}(x)<e^{-x}\,\ln \!\left(1+{\frac {1}{x}}\right)\qquad x>0}$

Левая часть этого неравенства показана на графике слева синим цветом; центральная часть показана черным цветом, а правая часть - красным.${\displaystyle E_{1}(x)}$

Определение Эйна [ править ]

И то, и другое можно записать проще, используя целую функцию ^[9], определенную как${\displaystyle \operatorname {Ei} }$${\displaystyle E_{1}}$ ${\displaystyle \operatorname {Ein} }$

${\displaystyle \operatorname {Ein} (z)=\int _{0}^{z}(1-e^{-t}){\frac {dt}{t}}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k+1}z^{k}}{k\;k!}}}$

(обратите внимание, что это просто чередующийся ряд в приведенном выше определении ). Тогда у нас есть${\displaystyle \mathrm {E} _{1}}$

${\displaystyle E_{1}(z)\,=\,-\gamma -\ln z+{\rm {Ein}}(z)\qquad |\operatorname {Arg} (z)|<\pi }$

${\displaystyle \operatorname {Ei} (x)\,=\,\gamma +\ln x-\operatorname {Ein} (-x)\qquad x>0}$

Связь с другими функциями [ править ]

Уравнение Куммера

${\displaystyle z{\frac {d^{2}w}{dz^{2}}}+(b-z){\frac {dw}{dz}}-aw=0}$

обычно решается конфлюэнтными гипергеометрическими функциями и Но когда и это так,${\displaystyle M(a,b,z)}$${\displaystyle U(a,b,z).}$${\displaystyle a=0}$${\displaystyle b=1,}$

${\displaystyle z{\frac {d^{2}w}{dz^{2}}}+(1-z){\frac {dw}{dz}}=0}$

у нас есть

${\displaystyle M(0,1,z)=U(0,1,z)=1}$

для всех з . Второе решение тогда дается E ₁ ( −z ). Фактически,

${\displaystyle E_{1}(-z)=-\gamma -i\pi +{\frac {\partial [U(a,1,z)-M(a,1,z)]}{\partial a}},\qquad 0<{\rm {Arg}}(z)<2\pi }$

с производной, вычисленной в. Другая связь с конфлюэнтными гипергеометрическими функциями заключается в том, что E ₁ является экспоненциальной функцией, умноженной на функцию U (1,1, z ):${\displaystyle a=0.}$

${\displaystyle E_{1}(z)=e^{-z}U(1,1,z)}$

Экспоненциальный интеграл тесно связан с логарифмической интегральной функцией li ( x ) формулой

${\displaystyle \operatorname {li} (e^{x})=\operatorname {Ei} (x)}$

для ненулевых реальных значений .${\displaystyle x}$

Экспоненциальный интеграл также можно обобщить на

${\displaystyle E_{n}(x)=\int _{1}^{\infty }{\frac {e^{-xt}}{t^{n}}}\,dt,}$

которую можно записать как частный случай неполной гамма-функции : ^[10]

${\displaystyle E_{n}(x)=x^{n-1}\Gamma (1-n,x).}$

Обобщенную форму иногда называют функцией Мисры ^[11] , определяемой как${\displaystyle \varphi _{m}(x)}$

${\displaystyle \varphi _{m}(x)=E_{-m}(x).}$

Включение логарифма определяет обобщенную интегро-экспоненциальную функцию ^[12]

${\displaystyle E_{s}^{j}(z)={\frac {1}{\Gamma (j+1)}}\int _{1}^{\infty }(\log t)^{j}{\frac {e^{-zt}}{t^{s}}}\,dt.}$

Неопределенный интеграл:

${\displaystyle \operatorname {Ei} (a\cdot b)=\iint e^{ab}\,da\,db}$

аналогичен по форме к обычной производящей функции для , числа делителей из :${\displaystyle d(n)}$${\displaystyle n}$

${\displaystyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }d(n)x^{n}=\sum \limits _{a=1}^{\infty }\sum \limits _{b=1}^{\infty }x^{ab}}$

Производные [ править ]

Производные обобщенных функций можно вычислить по формуле ^[13]${\displaystyle E_{n}}$

${\displaystyle E_{n}'(z)=-E_{n-1}(z)\qquad (n=1,2,3,\ldots )}$

Обратите внимание, что функцию легко оценить (что делает эту рекурсию полезной), поскольку она просто . ^[14]${\displaystyle E_{0}}$${\displaystyle e^{-z}/z}$

Экспоненциальный интеграл мнимого аргумента [ править ]

${\displaystyle E_{1}(ix)}$против ; реальная часть черная, мнимая часть красная.${\displaystyle x}$

Если мнимый, он имеет неотрицательную действительную часть, поэтому мы можем использовать формулу${\displaystyle z}$

${\displaystyle E_{1}(z)=\int _{1}^{\infty }{\frac {e^{-tz}}{t}}\,dt}$

чтобы получить связь с тригонометрическими интегралами и :${\displaystyle \operatorname {Si} }$${\displaystyle \operatorname {Ci} }$

${\displaystyle E_{1}(ix)=i\left[-{\tfrac {1}{2}}\pi +\operatorname {Si} (x)\right]-\operatorname {Ci} (x)\qquad (x>0)}$

Реальная и мнимая части изображены на рисунке справа черными и красными кривыми.${\displaystyle \mathrm {E} _{1}(ix)}$

Приближения [ править ]

Было несколько приближений для экспоненциальной интегральной функции. К ним относятся:

• Приближение Свами и Охиджа ^[15]

${\displaystyle E_{1}(x)=\left(A^{-7.7}+B\right)^{-0.13},}$

куда

${\displaystyle {\begin{aligned}A&=\ln \left[\left({\frac {0.56146}{x}}+0.65\right)(1+x)\right]\\B&=x^{4}e^{7.7x}(2+x)^{3.7}\end{aligned}}}$

• Приближение Аллена и Гастингса ^{[15] [16]}

${\displaystyle E_{1}(x)={\begin{cases}-\ln x+{\textbf {a}}^{T}{\textbf {x}}_{5},&x\leq 1\\{\frac {e^{-x}}{x}}{\frac {{\textbf {b}}^{T}{\textbf {x}}_{3}}{{\textbf {c}}^{T}{\textbf {x}}_{3}}},&x\geq 1\end{cases}}}$

куда

${\displaystyle {\begin{aligned}{\textbf {a}}&\triangleq [-0.57722,0.99999,-0.24991,0.05519,-0.00976,0.00108]^{T}\\{\textbf {b}}&\triangleq [0.26777,8.63476,18.05902,8.57333]^{T}\\{\textbf {c}}&\triangleq [3.95850,21.09965,25.63296,9.57332]^{T}\\{\textbf {x}}_{k}&\triangleq [x^{0},x^{1},\dots ,x^{k}]^{T}\end{aligned}}}$

• Расширение непрерывной дроби ^[16]

${\displaystyle E_{1}(x)={\cfrac {e^{-x}}{x+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{x+{\cfrac {2}{1+{\cfrac {2}{x+{\cfrac {3}{\dots }}}}}}}}}}}}.}$

• Приближение Барри и др. ^[17]

${\displaystyle E_{1}(x)={\frac {e^{-x}}{G+(1-G)e^{-{\frac {x}{1-G}}}}}\ln \left[1+{\frac {G}{x}}-{\frac {1-G}{(h+bx)^{2}}}\right],}$

куда:

${\displaystyle {\begin{aligned}h&={\frac {1}{1+x{\sqrt {x}}}}+{\frac {h_{\infty }q}{1+q}}\\q&={\frac {20}{47}}x^{\sqrt {\frac {31}{26}}}\\h_{\infty }&={\frac {(1-G)(G^{2}-6G+12)}{3G(2-G)^{2}b}}\\b&={\sqrt {\frac {2(1-G)}{G(2-G)}}}\\G&=e^{-\gamma }\end{aligned}}}$

с является постоянной Эйлера-Mascheroni .${\displaystyle \gamma }$

Приложения [ править ]

• Зависящая от времени теплопередача
• Неравновесный поток грунтовых вод в растворе Тейса (так называемая скважинная функция )
• Перенос излучения в атмосфере звезды и планеты
• Уравнение радиальной диффузии для переходного или нестационарного потока с линейными источниками и стоками
• Решения уравнения переноса нейтронов в упрощенных 1-D геометриях ^[18]

См. Также [ править ]

• Интеграл Гудвина – Стэтона
• Функции Бикли – Нейлора

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• Абрамовиц, Милтон; Ирен Стегун (1964). Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами . Абрамовиц и Стегун . Нью-Йорк: Дувр. ISBN 978-0-486-61272-0., Глава 5 .
• Бендер, Карл М .; Стивен А. Орзаг (1978). Современные математические методы для ученых и инженеров . Макгроу-Хилл. ISBN 978-0-07-004452-4.
• Блейстейн, Норман; Ричард А. Хандельсман (1986). Асимптотические разложения интегралов . Дувр. ISBN 978-0-486-65082-1.
• Басбридж, Ида В. (1950). «Об интегро-экспоненциальной функции и вычислении некоторых интегралов с ее участием». Кварта. J. Math. (Оксфорд) . 1 (1): 176–184. Bibcode : 1950QJMat ... 1..176B . DOI : 10.1093 / qmath / 1.1.176 .
• Станкевич, А. (1968). «Таблицы интегро-экспоненциальных функций». Acta Astronomica . 18 : 289. Bibcode : 1968AcA .... 18..289S .
• Шарма, Р.Р .; Зохури, Бахман (1977). «Общий метод точного вычисления экспоненциальных интегралов E ₁ (x), x> 0». J. Comput. Phys . 25 (2): 199–204. Bibcode : 1977JCoPh..25..199S . DOI : 10.1016 / 0021-9991 (77) 90022-5 .
• Кёльбиг, KS (1983). «Об интеграле exp (- μt ) t ν − 1 log m t  dt » . Математика. Comput . 41 (163): 171–182. DOI : 10.1090 / S0025-5718-1983-0701632-1 .
• Милгрэм, MS (1985). «Обобщенная интегро-экспоненциальная функция» . Математика вычислений . 44 (170): 443–458. DOI : 10.1090 / S0025-5718-1985-0777276-4 . JSTOR  2007964 . Руководство по ремонту  0777276 .
• Мишра, Рама Дхар; Родился М. (1940). «Об устойчивости кристаллических решеток. II». Математические труды Кембриджского философского общества . 36 (2): 173. Bibcode : 1940PCPS ... 36..173M . DOI : 10.1017 / S030500410001714X .
• Chiccoli, C .; Lorenzutta, S .; Майно, Г. (1988). «Об вычислении обобщенных экспоненциальных интегралов E _ν (x)». J. Comput. Phys . 78 (2): 278–287. Bibcode : 1988JCoPh..78..278C . DOI : 10.1016 / 0021-9991 (88) 90050-2 .
• Chiccoli, C .; Lorenzutta, S .; Майно, Г. (1990). «Последние результаты для обобщенных экспоненциальных интегралов». Компьютерная математика. Applic . 19 (5): 21–29. DOI : 10.1016 / 0898-1221 (90) 90098-5 .
• МакЛауд, Аллан Дж. (2002). «Эффективное вычисление некоторых обобщенных экспоненциальных интегралов» . J. Comput. Прил. Математика . 148 (2): 363–374. Bibcode : 2002JCoAm.138..363M . DOI : 10.1016 / S0377-0427 (02) 00556-3 .
• Нажмите, WH; Теукольский, С.А. Феттерлинг, Вашингтон; Фланнери, Б.П. (2007), «Раздел 6.3. Экспоненциальные интегралы» , Численные рецепты: Искусство научных вычислений (3-е изд.), Нью-Йорк: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88068-8
• Темме, Н.М. (2010), «Экспоненциальные, логарифмические, синусоидальные и косинусные интегралы» , в Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M .; Бойсверт, Рональд Ф .; Кларк, Чарльз В. (ред.), Справочник по математическим функциям NIST , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR  2723248

Внешние ссылки [ править ]

• "Интегральная экспоненциальная функция" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Документация NIST по обобщенному экспоненциальному интегралу
• Вайсштейн, Эрик В. «Экспоненциальный интеграл» . MathWorld .
• Вайсштейн, Эрик В. " En -Function" . MathWorld .
• «Экспоненциальный интеграл Ei» . Сайт функций Wolfram .
• Экспоненциальные, логарифмические, синусоидальные и косинусные интегралы в DLMF .