Асимптотическое разложение

В математике , в асимптотическом разложении , асимптотический ряд или расширения Пуанкара (после того, как Анри Пуанкаре ) является формальным рядом функций, обладает тем свойством , что усечения серии после конечного числа слагаемых обеспечивает приближение к данной функции в качестве аргумента функции стремится к определенной, часто бесконечной, точке. Исследования Дингла (1973) показали, что расходящаяся часть асимптотического разложения имеет скрытый смысл, т.е. содержит информацию о точном значении расширенной функции.

Наиболее распространенный тип асимптотического разложения - это степенной ряд по положительным или отрицательным степеням. Методы создания таких разложений включают формулу суммирования Эйлера – Маклорена и интегральные преобразования, такие как преобразования Лапласа и Меллина . Повторное интегрирование по частям часто приводит к асимптотическому разложению.

Поскольку сходящийся ряд Тейлора также соответствует определению асимптотического разложения, фраза «асимптотический ряд» обычно подразумевает несходящийся ряд. Несмотря на отсутствие сходимости, асимптотическое разложение полезно при усечении до конечного числа членов. Приближение может обеспечить преимущества, будучи более математически управляемым, чем расширяемая функция, или за счет увеличения скорости вычисления расширенной функции. Как правило, наилучшее приближение дается, когда ряд усекается по наименьшему члену. Этот способ оптимального усечения асимптотического разложения известен как суперсимптотика . ^[1] Тогда ошибка обычно имеет вид ~ exp (- c / ε).где ε - параметр разложения. Таким образом, ошибка выходит за рамки всех порядков параметра расширения. Можно улучшить суперсимптотическую ошибку, например, используя методы пересуммирования, такие как пересуммирование Бореля к расходящемуся хвосту. Такие методы часто называют гиперсимптотическими приближениями .

См. Асимптотический анализ и нотацию большого O для обозначений, используемых в этой статье.

Формальное определение [ править ]

Сначала мы определяем асимптотическую шкалу, а затем даем формальное определение асимптотического разложения.

Если - последовательность непрерывных функций в некоторой области, и если L - предельная точка области, то последовательность составляет асимптотическую шкалу, если для каждого n ,${\ displaystyle \ varphi _ {n}}$

${\ displaystyle \ varphi _ {n + 1} (x) = o (\ varphi _ {n} (x)) \ (x \ to L).}$

( L можно принять равным бесконечности.) Другими словами, последовательность функций является асимптотической шкалой, если каждая функция в последовательности растет строго медленнее (в пределе ), чем предыдущая функция.${\ displaystyle x \ to L}$

Если f - непрерывная функция в области определения асимптотической шкалы, то f имеет асимптотическое разложение порядка N по шкале в виде формального ряда

${\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {N} a_ {n} \ varphi _ {n} (x)}$

если

${\ displaystyle f (x) - \ sum _ {n = 0} ^ {N-1} a_ {n} \ varphi _ {n} (x) = O (\ varphi _ {N} (x)) \ ( х \ к L)}$

или же

${\ Displaystyle е (х) - \ сумма _ {п = 0} ^ {N-1} а_ {п} \ varphi _ {n} (х) = о (\ varphi _ {N-1} (х)) \ (x \ к L).}$

Если то или иное верно для всех N , то мы пишем ^{[ необходима цитата ]}

${\ displaystyle f (x) \ sim \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} a_ {n} \ varphi _ {n} (x) \ (x \ to L).}$

В отличие от сходящегося ряда для , в котором ряд сходится для любого фиксированного в пределе , можно думать об асимптотическом ряду как сходящемся при фиксированном в пределе (с возможно бесконечным).${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle x}$${\ displaystyle N \ to \ infty}$ ${\ displaystyle N}$${\ displaystyle x \ to L}$${\ displaystyle L}$

Примеры [ править ]

Графики абсолютного значения дробной ошибки в асимптотическом разложении гамма-функции (слева). По горизонтальной оси отложено количество членов асимптотического разложения. Синие точки соответствуют x  = 2, а красные - x  = 3 . Можно видеть, что наименьшая ошибка возникает, когда имеется 14 членов для x  = 2 и 20 членов для x  = 3 , за пределами которых ошибка расходится.

• Гамма-функция

${\ displaystyle {\ frac {e ^ {x}} {x ^ {x} {\ sqrt {2 \ pi x}}}} \ Gamma (x + 1) \ sim 1 + {\ frac {1} {12x }} + {\ frac {1} {288x ^ {2}}} - {\ frac {139} {51840x ^ {3}}} - \ cdots \ (x \ to \ infty)}$

• Экспоненциальный интеграл

${\ displaystyle xe ^ {x} E_ {1} (x) \ sim \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {n} n!} {x ^ {n }}} \ (от x \ до \ infty)}$

• Логарифмический интеграл

${\displaystyle \operatorname {li} (x)\sim {\frac {x}{\ln x}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {k!}{(\ln x)^{k}}}}$

• Дзета-функция Римана

${\displaystyle \zeta (s)\sim \sum _{n=1}^{N}n^{-s}-{\frac {N^{1-s}}{s-1}}-{\frac {N^{-s}}{2}}+N^{-s}\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {B_{2m}s^{\overline {2m-1}}}{(2m)!N^{2m-1}}}}$

где - числа Бернулли, а - возрастающий факториал . Это разложение справедливо для всех комплексных х и часто используется для вычисления дзета функции, используя достаточно большое значение N , например .${\displaystyle B_{2m}}$${\displaystyle s^{\overline {2m-1}}}$${\displaystyle N>|s|}$

• Функция ошибки

${\displaystyle {\sqrt {\pi }}xe^{x^{2}}{\rm {erfc}}(x)\sim 1+\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {(2n-1)!!}{(2x^{2})^{n}}}\ (x\to \infty )}$

где (2 n  - 1) !! - двойной факториал .

Пример работы [ править ]

Асимптотические разложения часто возникают, когда обычный ряд используется в формальном выражении, которое заставляет принимать значения вне области сходимости . Так, например, можно начать с обычного ряда

${\displaystyle {\frac {1}{1-w}}=\sum _{n=0}^{\infty }w^{n}.}$

Выражение слева справедливо для всей комплексной плоскости , в то время как правая часть сходится только для . Умножение и интегрирование обеих сторон дает${\displaystyle w\neq 1}$${\displaystyle |w|<1}$${\displaystyle e^{-w/t}}$

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-{\frac {w}{t}}}}{1-w}}\,dw=\sum _{n=0}^{\infty }t^{n+1}\int _{0}^{\infty }e^{-u}u^{n}\,du,}$

после замены справа. Интеграл в левой части, понимаемый как главное значение Коши , может быть выражен через экспоненциальный интеграл . Интеграл в правой части можно распознать как гамма-функцию . Оценивая оба, получаем асимптотическое разложение${\displaystyle u=w/t}$

${\displaystyle e^{-{\frac {1}{t}}}\operatorname {Ei} \left({\frac {1}{t}}\right)=\sum _{n=0}^{\infty }n!t^{n+1}.}$

Здесь правая часть явно не сходится ни при каком ненулевом значении t . Однако, усекая ряд справа до конечного числа членов, можно получить довольно хорошее приближение к значению для достаточно малых t . Подставляя и отмечая, что приводит к асимптотическому разложению, приведенному ранее в этой статье.${\displaystyle \operatorname {Ei} \left({\tfrac {1}{t}}\right)}$${\displaystyle x=-{\tfrac {1}{t}}}$${\displaystyle \operatorname {Ei} (x)=-E_{1}(-x)}$

Свойства [ править ]

Уникальность для данной асимптотической шкалы [ править ]

Для данной асимптотической шкалы асимптотическое разложение функции единственно. ^[2] То есть коэффициенты однозначно определяются следующим образом:${\displaystyle \{\varphi _{n}(x)\}}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle \{a_{n}\}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}a_{0}&=\lim _{x\to L}{\frac {f(x)}{\varphi _{0}(x)}}\\a_{1}&=\lim _{x\to L}{\frac {f(x)-a_{0}\varphi _{0}(x)}{\varphi _{1}(x)}}\\&\ \vdots \\a_{N}&=\lim _{x\to L}{\frac {f(x)-\sum _{n=0}^{N-1}a_{n}\varphi _{n}(x)}{\varphi _{N}(x)}}\end{aligned}}}$

где - предельная точка этого асимптотического разложения (может быть ).${\displaystyle L}$${\displaystyle \pm \infty }$

Неуникальность для данной функции [ править ]

У данной функции может быть много асимптотических разложений (каждое с разным асимптотическим масштабом). ^[2]${\displaystyle f(x)}$

Субдоминирование [ править ]

Асимптотическое разложение может быть асимптотическим разложением более чем одной функции. ^[2]

См. Также [ править ]

Связанные поля [ править ]

• Асимптотический анализ
• Сингулярное возмущение

Асимптотические методы [ править ]

• Лемма Ватсона
• Преобразование Меллина
• Метод Лапласа
• Приближение стационарной фазы
• Метод наискорейшего спуска

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• Абловиц, MJ, и Fokas, AS (2003). Сложные переменные: введение и приложения . Издательство Кембриджского университета .
• Бендер, С.М., и Орзаг, С.А. (2013). Передовые математические методы для ученых и инженеров I: Асимптотические методы и теория возмущений . Springer Science & Business Media .
• Блейстейн, Н., Хандельсман, Р. (1975), Асимптотические разложения интегралов , Dover Publications .
• Кэрриер, Г.Ф., Крук, М., и Пирсон, CE (2005). Функции комплексной переменной: теория и техника . Общество промышленной и прикладной математики .
• Копсон, ET (1965), Асимптотические разложения , Cambridge University Press .
• Дингл, РБ (1973), Асимптотические разложения: их вывод и интерпретация , Academic Press.
• Erdélyi, A. (1955), Асимптотические разложения , Dover Publications .
• Фрючард А., Шефке Р. (2013), Составные асимптотические разложения , Springer.
• Харди, GH (1949), Divergent Series , Oxford University Press .
• Олвер, Ф. (1997). Асимптотика и специальные функции . А.К. Петерс / CRC Press.
• Пэрис, Р. Б., Каминский, Д. (2001), Асимптотика и интегралы Меллина-Барнса , Cambridge University Press .
• Whittaker, ET , Watson, GN (1963), Курс современного анализа , четвертое издание, Cambridge University Press .

Внешние ссылки [ править ]

• "Асимптотическое разложение" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Wolfram Mathworld: асимптотическая серия