Большие числа

Эта статья поднимает множество проблем. Пожалуйста, помогите улучшить его или обсудите эти проблемы на странице обсуждения . ( Узнайте, как и когда удалить эти сообщения-шаблоны ) Эта статья требует дополнительных ссылок для проверки . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , добавив цитаты из надежных источников . Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален. Поиск источников:  «Большие числа»  -  новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( ноябрь 2011 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения ) Эта статья может содержать чрезмерное количество сложных деталей, которые могут заинтересовать только определенную аудиторию . Пожалуйста, помогите, выделив или переместив любую соответствующую информацию и удалив лишние детали, которые могут противоречить политике включения Википедии . ( Январь 2019 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

Большие числа - это числа, которые значительно больше тех, которые обычно используются в повседневной жизни, например, при простом счете или в денежных транзакциях. Термин обычно относится к большим положительным целым числам или, в более общем смысле, большим положительным действительным числам , но он также может использоваться в других контекстах. Изучение номенклатуры и свойств больших чисел иногда называют гугологией. ^{[1] [2]}

Очень большие числа часто встречаются в таких областях, как математика , космология , криптография и статистическая механика . Иногда люди называют числа «астрономически большими». Однако математически легко определить числа, которые намного больше, чем те, которые используются в астрономии.

В повседневном мире [ править ]

Научная нотация была создана для обработки широкого диапазона значений, встречающихся в научных исследованиях. Например, 1,0 × 10 ⁹ означает один миллиард , за единицей следуют девять нулей: 1 000 000 000, а 1,0 × 10 ⁻⁹ означает одну миллиардную, или 0,000 000 001. Написание 10 ⁹ вместо девяти нулей экономит усилия читателей. и опасность подсчета длинной серии нулей, чтобы увидеть, насколько велико число.

Примеры больших чисел, описывающих повседневные объекты реального мира, включают:

• Количество клеток в организме человека (по оценкам 3,72 × 10 ¹³ ) ^[3]
• Количество бит на жестком диске компьютера (по состоянию на 2020 год ^{[Обновить]}, обычно около 10 ¹³ , 1–2  ТБ )
• Количество нейронных связей в головном мозге человека (оценивается в 10 ¹⁴ )
• Константа Авогадро - это количество «элементарных объектов» (обычно атомов или молекул) в одном моль ; количество атомов в 12 граммах углерода-12  - примерно6.022 × 10 ²³ .
• Общее количество пар оснований ДНК во всей биомассе на Земле, как возможное приближение глобального биоразнообразия , оценивается в (5,3 ± 3,6) × 10 ^{37 [4] [5]}
• Масса Земли составляет примерно 4х10 ⁵¹ нуклон.
• Расчетное количество атомов в наблюдаемой Вселенной (10 ⁸⁰ )
• Нижняя граница сложности дерева игр в шахматы, также известная как « число Шеннона » (оценивается примерно в 10 ¹²⁰ ) ^[6]

Астрономический [ править ]

Другие большие числа, касающиеся длины и времени, можно найти в астрономии и космологии . Например, текущая модель Большого взрыва предполагает, что возраст Вселенной составляет 13,8 миллиарда лет (4,355 × 10 ¹⁷ секунд), а наблюдаемая Вселенная - 93 миллиарда световых лет в поперечнике (8,8 × 10 ²⁶ метров) и содержит около 5 × 10 Согласно наблюдениям космического телескопа Хаббл, ²² звезды, организованные в 125 миллиардов (1,25 × 10 ¹¹ ) галактик. По приблизительной оценке, в наблюдаемой Вселенной около 10 ⁸⁰ атомов . ^[7]

По словам Дона Пейджа , физика из Университета Альберты, Канада, самое длинное конечное время, которое до сих пор явно вычислялось любым физиком, равно

${\ displaystyle 10 ^ {10 ^ {10 ^ {10 ^ {10 ^ {1.1}}}}} {\ mbox {лет}}}$

что соответствует масштабу предполагаемого времени повторения Пуанкаре для квантового состояния гипотетического ящика, содержащего черную дыру с предполагаемой массой всей Вселенной, наблюдаемой или нет, в предположении определенной инфляционной модели с инфлатоном с массой 10 ⁻⁶ Планковские массы . ^{[8] [9] На} этот раз предполагается, что статистическая модель подвержена повторению Пуанкаре. Очень упрощенный способ думать об этом времени - это модель, в которой история Вселенной повторяется произвольно много раз из-за свойств статистической механики.; это временная шкала, когда она сначала снова будет в некоторой степени подобна (для разумного выбора «подобного») своему текущему состоянию.

Комбинаторные процессы быстро генерируют еще большие числа. Факториала функция, которая определяет число перестановок на множестве неподвижных объектов, растет очень быстро , с числом объектов. Формула Стирлинга дает точное асимптотическое выражение для этой скорости роста.

Комбинаторные процессы генерируют очень большие числа в статистической механике. Эти числа настолько велики, что обычно ссылаются только на их логарифмы .

Числа Гёделя и подобные числа, используемые для представления битовых строк в алгоритмической теории информации , очень велики даже для математических утверждений разумной длины. Однако некоторые патологические числа даже больше, чем числа Гёделя типичных математических утверждений.

Логик Харви Фридман сделал работу , связанную с очень большими числами, например, с теоремой дерева Крускала и теоремы Робертсона-Сеймура .

«Миллиарды и миллиарды» [ править ]

Чтобы помочь зрителям Космоса отличить «миллионы» от «миллиардов», астроном Карл Саган подчеркнул букву «b». Однако Саган никогда не говорил « миллиарды и миллиарды ». Общественная ассоциация этой фразы и Сагана возникла из пародии на Tonight Show . Пародируя аффект Сагана, Джонни Карсон пошутил «миллиарды и миллиарды». ^[10] Эта фраза, однако, теперь превратилась в юмористическое вымышленное число - Саган . Ср. , Sagan Unit .

Примеры [ править ]

• гугол =${\ displaystyle 10 ^ {100}}$
• сентиллион = или , в зависимости от системы именования чисел${\ displaystyle 10 ^ {303}}$${\ displaystyle 10 ^ {600}}$
• миллиниллион = или , в зависимости от системы именования чисел${\ displaystyle 10 ^ {3003}}$${\ displaystyle 10 ^ {6000}}$
• миллиниллиниллион = или , в зависимости от системы именования чисел${\ displaystyle 10 ^ {3000003}}$${\ displaystyle 10 ^ {6000000}}$
• Наибольший известный число Смита = (10 ^{тысяча тридцать один} -1) × (10 ⁴⁵⁹⁴ + 3 × 10 ²²⁹⁷ + 1) ¹⁴⁷⁶ × 10 ^{3 913 210}
• Наибольшее известное простое число Мерсенна = (по состоянию на 21 декабря 2018 г. )${\ displaystyle 2 ^ {82,589,933} -1}$
• googolplex =${\ displaystyle 10 ^ {\ text {googol}} = 10 ^ {10 ^ {100}}}$
• Числа Скьюза : первое примерно , второе${\ displaystyle 10 ^ {10 ^ {10 ^ {34}}}}$${\ displaystyle 10 ^ {10 ^ {10 ^ {964}}}}$
• Число Грэма больше, чем можно представить даже с помощью силовых башен ( тетрация ). Тем не менее, это может быть представлено с помощью обозначения Кнута со стрелкой вверх
• Число Райо - это большое число, названное в честь Агустина Райо, которое, как утверждается, является самым большим именным числом. Первоначально это было определено в «дуэли с большим числом» в Массачусетском технологическом институте 26 января 2007 г.

Стандартизированная система письма [ править ]

Стандартизированный способ записи очень больших чисел позволяет легко сортировать их в порядке возрастания, и можно получить хорошее представление о том, насколько одно число больше другого.

Чтобы сравнить числа в экспоненциальном представлении, скажем 5 × 10 ⁴ и 2 × 10 ⁵ , сначала сравните показатели степени, в данном случае 5> 4, поэтому 2 × 10 ⁵ > 5 × 10 ⁴ . Если показатели равны, следует сравнить мантиссу (или коэффициент), таким образом, 5 × 10 ⁴ > 2 × 10 ^4, потому что 5> 2.

Тетрация с основанием 10 дает последовательность , башни мощности чисел 10, где обозначает функциональную мощность функции (функция также выражается суффиксом «-plex», как в googolplex, см. Семейство Googol ).${\displaystyle 10\uparrow \uparrow n=10\to n\to 2=(10\uparrow )^{n}1}$${\displaystyle (10\uparrow )^{n}}$${\displaystyle f(n)=10^{n}}$

Это очень круглые числа, каждое из которых представляет порядок величины в обобщенном смысле. Грубый способ указать, насколько велико число, - указать, между какими двумя числами в этой последовательности оно находится.

Точнее, числа между ними могут быть выражены в форме , то есть с градусом из 10 и числом наверху, возможно, в научной записи, например , числом между и (обратите внимание, что если ). (См. Также расширение тетрации до реальных высот .)${\displaystyle (10\uparrow )^{n}a}$${\displaystyle 10^{10^{10^{10^{10^{4.829}}}}}=(10\uparrow )^{5}4.829}$${\displaystyle 10\uparrow \uparrow 5}$${\displaystyle 10\uparrow \uparrow 6}$${\displaystyle 10\uparrow \uparrow n<(10\uparrow )^{n}a<10\uparrow \uparrow (n+1)}$${\displaystyle 1<a<10}$

Таким образом, гуголплекс ${\displaystyle 10^{10^{100}}=(10\uparrow )^{2}100=(10\uparrow )^{3}2}$

Другой пример:

${\displaystyle 2\uparrow \uparrow \uparrow 4={\begin{matrix}\underbrace {2_{}^{2^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{2}}}}}}} \\\qquad \quad \ \ \ 65,536{\mbox{ copies of }}2\end{matrix}}\approx (10\uparrow )^{65,531}(6\times 10^{19,728})\approx (10\uparrow )^{65,533}4.3}$(между и )${\displaystyle 10\uparrow \uparrow 65,533}$${\displaystyle 10\uparrow \uparrow 65,534}$

Таким образом, «порядок величины» числа (в большем масштабе, чем обычно подразумевается) можно охарактеризовать количеством раз ( n ), которое нужно взять, чтобы получить число от 1 до 10. Таким образом, число равно между и . Как объяснялось, более точное описание числа также указывает значение этого числа от 1 до 10, или предыдущее число (логарифм на один раз меньше) от 10 до 10 ¹⁰ , или следующее число от 0 до 1.${\displaystyle log_{10}}$${\displaystyle 10\uparrow \uparrow n}$${\displaystyle 10\uparrow \uparrow (n+1)}$

Обратите внимание, что

${\displaystyle 10^{(10\uparrow )^{n}x}=(10\uparrow )^{n}10^{x}}$

То есть, если число x слишком велико для представления, мы можем сделать башню мощности на одну выше, заменив x на log ₁₀ x , или найти x из представления log ₁₀ целого числа в нижней башне . Если бы вышка электростанции содержала одно или несколько чисел, отличных от 10, эти два подхода привели бы к разным результатам, что соответствует тому факту, что удлинение башни мощности с помощью 10 внизу не то же самое, что расширение ее с помощью 10 в нижней части. верхний (но, конечно, аналогичные замечания применимы, если вся башня власти состоит из копий с одинаковым номером, отличным от 10).${\displaystyle (10\uparrow )^{n}x}$

Если высота башни велика, к самой высоте можно применить различные представления для больших чисел. Если высота дана только приблизительно, указывать значение вверху не имеет смысла, поэтому мы можем использовать обозначение с двумя стрелками, например . Если значение после двойной стрелки само по себе является очень большим числом, вышеуказанное можно рекурсивно применить к этому значению.${\displaystyle 10\uparrow \uparrow (7.21\times 10^{8})}$

Примеры:

${\displaystyle 10\uparrow \uparrow 10^{\,\!10^{10^{3.81\times 10^{17}}}}}$(между и )${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow 2}$${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow 3}$

${\displaystyle 10\uparrow \uparrow 10\uparrow \uparrow (10\uparrow )^{497}(9.73\times 10^{32})=(10\uparrow \uparrow )^{2}(10\uparrow )^{497}(9.73\times 10^{32})}$(между и )${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow 4}$${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow 5}$

Аналогично предыдущее, если показатель точно не дано , то дает значение в правой части не имеет смысла, и мы можем, вместо того чтобы использовать мощности нотацию , добавить 1 к экспоненту , так что мы получаем , например .${\displaystyle (10\uparrow )}$${\displaystyle (10\uparrow )}$${\displaystyle (10\uparrow \uparrow )}$${\displaystyle (10\uparrow \uparrow )^{3}(2.8\times 10^{12})}$

Если показатель большой, к самому этому показателю могут применяться различные представления для больших чисел. Если этот показатель не указан точно, то, опять же, указание значения справа не имеет смысла, и мы можем вместо использования обозначения степени использовать оператор тройной стрелки, например .${\displaystyle (10\uparrow \uparrow )}$${\displaystyle (10\uparrow \uparrow )}$${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow (7.3\times 10^{6})}$

Если правый аргумент оператора тройной стрелки велик, к нему применимо вышеупомянутое, поэтому у нас есть, например, (между и ). Это можно сделать рекурсивно, так что у нас будет степень оператора тройной стрелки.${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow (10\uparrow \uparrow )^{2}(10\uparrow )^{497}(9.73\times 10^{32})}$${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow 10\uparrow \uparrow \uparrow 4}$${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow 10\uparrow \uparrow \uparrow 5}$

Мы можем продолжить с операторами с большим количеством написанных стрелок .${\displaystyle \uparrow ^{n}}$

Сравните это обозначение с оператором гипер и обозначением стрелок Конвея :

${\displaystyle a\uparrow ^{n}b}$= ( a → b → n ) = hyper ( a ,  n  + 2,  b )

Преимущество первого является то , что , когда рассматриваются как функция от Ь , существует естественное обозначение для степеней этой функции (так же , как при записи в п стрелке): . Например:${\displaystyle (a\uparrow ^{n})^{k}b}$

${\displaystyle (10\uparrow ^{2})^{3}b}$= (10 → (10 → (10 → b → 2) → 2) → 2)

и только в особых случаях сокращается нотация длинной вложенной цепочки; при b = 1 получаем:

${\displaystyle 10\uparrow ^{3}3=(10\uparrow ^{2})^{3}1}$ = (10 → 3 → 3)

Поскольку b также может быть очень большим, обычно мы пишем число с последовательностью степеней с уменьшающимися значениями n (с точно заданными целыми показателями ) с числом в конце в обычной научной записи. Когда a слишком велико, чтобы его можно было указать точно, значение увеличивается на 1 и все справа от него перезаписывается.${\displaystyle (10\uparrow ^{n})^{k_{n}}}$${\displaystyle {k_{n}}}$${\displaystyle {k_{n}}}$${\displaystyle {k_{n+1}}}$${\displaystyle ({n+1})^{k_{n+1}}}$

Для приближенного описания чисел отклонения от порядка убывания значений n не нужны. Например , и . Таким образом, мы получаем несколько противоречивый результат, что число x может быть настолько большим, что в некотором смысле x и 10 ^x «почти равны» (арифметику больших чисел см. Также ниже).${\displaystyle 10\uparrow (10\uparrow \uparrow )^{5}a=(10\uparrow \uparrow )^{6}a}$${\displaystyle 10\uparrow (10\uparrow \uparrow \uparrow 3)=10\uparrow \uparrow (10\uparrow \uparrow 10+1)\approx 10\uparrow \uparrow \uparrow 3}$

Если верхний индекс направленной вверх стрелки большой, к самому этому верхнему индексу можно применить различные представления больших чисел. Если этот надстрочный индекс не указан точно, то нет смысла повышать степень оператора до определенной степени или изменять значение, на которое он действует. Мы можем просто использовать стандартное значение справа, скажем 10, и выражение сокращается до с приблизительным n . Для таких чисел больше не действует преимущество использования нотации со стрелкой вверх, и мы также можем использовать нотацию цепочки.${\displaystyle 10\uparrow ^{n}10=(10\to 10\to n)}$

Вышеупомянутое может быть применено рекурсивно для этого n , поэтому мы получаем обозначение в верхнем индексе первой стрелки и т.д., или у нас есть обозначение вложенной цепочки, например:${\displaystyle \uparrow ^{n}}$

(10 → 10 → (10 → 10 → )) =${\displaystyle 3\times 10^{5}}$${\displaystyle 10\uparrow ^{10\uparrow ^{3\times 10^{5}}10}10}$

Если количество уровней становится слишком большим для удобства, используется обозначение, в котором это количество уровней записывается в виде числа (например, использование верхнего индекса стрелки вместо написания множества стрелок). Вводя функцию = (10 → 10 → n ), эти уровни становятся функциональными степенями f , что позволяет нам записать число в форме, где m задано точно, а n - целое число, которое может быть задано точно или нет (например, :) . Если n большое, мы можем использовать любое из вышеперечисленного для его выражения. Самыми «круглыми» из этих чисел являются числа вида f ^m (1) = (10 → 10 → m → 2). Например,${\displaystyle f(n)=10\uparrow ^{n}10}$${\displaystyle f^{m}(n)}$${\displaystyle f^{2}(3\times 10^{5})}$${\displaystyle (10\to 10\to 3\to 2)=10\uparrow ^{10\uparrow ^{10^{10}}10}10}$

Сравните определение числа Грэма: оно использует числа 3 вместо 10, имеет 64 уровня стрелок и цифру 4 вверху; таким образом , но также .${\displaystyle G<3\rightarrow 3\rightarrow 65\rightarrow 2<(10\to 10\to 65\to 2)=f^{65}(1)}$${\displaystyle G<f^{64}(4)<f^{65}(1)}$

Если m in слишком велико, чтобы дать точное значение, мы можем использовать фиксированное n , например n = 1, и применить вышесказанное рекурсивно к m , т. Е. Количество уровней стрелки вверх само представлено в обозначении стрелки вверх с индексом и т. Д. Использование обозначения функциональной мощности f дает несколько уровней f . Вводя функцию, эти уровни становятся функциональными степенями g , что позволяет нам записать число в форме, где m дано точно, а n - целое число, которое может быть или не может быть дано точно. Имеем (10 → 10 → m → 3) = g ^m (1). Если${\displaystyle f^{m}(n)}$${\displaystyle g(n)=f^{n}(1)}$${\displaystyle g^{m}(n)}$n большое, мы можем использовать любое из вышеперечисленного для его выражения. Точно так же мы можем ввести функцию h и т. Д. Если нам нужно много таких функций, мы можем лучше пронумеровать их вместо того, чтобы каждый раз использовать новую букву, например, в качестве нижнего индекса, поэтому мы получаем числа в форме, где k и m заданы точно и n - целое число, которое может быть или не быть точным. Используя k = 1 для f выше, k = 2 для g и т. Д., Мы имеем (10 → 10 → n → k ) = . Если n большое, мы можем использовать любое из вышеперечисленного для его выражения. Таким образом, мы получаем вложение форм, идущих внутрь.${\displaystyle f_{k}^{m}(n)}$${\displaystyle f_{k}(n)=f_{k-1}^{n}(1)}$${\displaystyle {f_{k}}^{m_{k}}}$k уменьшается, а в качестве внутреннего аргумента - последовательность степеней с уменьшающимися значениями n (где все эти числа являются точными целыми числами) с числом в конце в обычной научной записи.${\displaystyle (10\uparrow ^{n})^{p_{n}}}$

Когда k слишком велико, чтобы его можно было указать точно, соответствующее число можно выразить как = (10 → 10 → 10 → n ) с приблизительным n . Обратите внимание, что процесс перехода от последовательности = (10 → n ) к последовательности = (10 → 10 → n ) очень похож на переход от последней к последовательности = (10 → 10 → 10 → n ): это общий процесс добавления элемента 10 к цепочке в обозначении цепочки; этот процесс можно повторить снова (см. также предыдущий раздел). При нумерации последующих версий этой функции число может быть описано с помощью функций , вложенных в лексикографическом порядке с помощью q${\displaystyle {f_{n}}(10)}$${\displaystyle 10^{n}}$${\displaystyle 10\uparrow ^{n}10}$${\displaystyle {f_{n}}(10)}$${\displaystyle {f_{qk}}^{m_{qk}}}$старшее число, но с убывающим порядком для q и для k ; в качестве внутреннего аргумента у нас есть последовательность степеней с убывающими значениями n (где все эти числа являются точными целыми числами) с числом в конце в обычной научной записи.${\displaystyle (10\uparrow ^{n})^{p_{n}}}$

Для числа, слишком большого для записи в нотации со стрелками Конвея, мы можем описать его размер по длине этой цепочки, например, используя только элементы 10 в цепочке; другими словами, мы указываем его позицию в последовательности 10, 10 → 10, 10 → 10 → 10, .. Если даже позиция в последовательности является большим числом, мы можем снова применить те же методы для этого.

Примеры [ править ]

Числа, выражаемые в десятичной системе счисления:

• 2 ² = 4
• 2 ^{2 2} = 2 ↑↑ 3 = 16
• 3 ³ = 27
• 4 ⁴ = 256
• 5 ⁵ = 3,125
• 6 ⁶ = 46 656
• ${\displaystyle 2^{2^{2^{2}}}}$ = 2 ↑↑ 4 = 2 ↑↑↑ 3 = 65 536
• 7 ⁷ = 823 543
• 10 ⁶ = 1 000 000 = 1 миллион
• 8 ⁸ = 16 777 216
• 9 ⁹ = 387 420 489
• 10 ⁹ = 1 000 000 000 = 1 миллиард
• 10 ¹⁰ = 10 000 000 000
• 10 ¹² = 1 000 000 000 000 = 1 триллион
• 3 ^{3 3} = 3 ↑↑ 3 = 7 625 597 484 987 ≈ 7,63 × 10 ¹²
• 10 ¹⁵ = 1 000 000 000 000 000 = 1 миллион миллиардов = 1 квадриллион

Числа, выражаемые в экспоненциальной записи:

• Приблизительное количество атомов в наблюдаемой Вселенной = 10 ⁸⁰ = 10000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
• гугол = 10 ¹⁰⁰ = 10,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000
• 4 ^{4 4} = 4 ↑↑ 3 = 2 ⁵¹² ≈ 1,34 × 10 ¹⁵⁴ ≈ (10 ↑) ² 2,2
• Приблизительное количество объемов Планка, составляющих объем наблюдаемой Вселенной = 8,5 × 10 ¹⁸⁴
• 5 ^{5 5} = 5 ↑↑ 3 = 5 ³¹²⁵ ≈ 1,91 × 10 ²¹⁸⁴ ≈ (10 ↑) ² 3,3
• ${\displaystyle 2^{2^{2^{2^{2}}}}=2\uparrow \uparrow 5=2^{65,536}\approx 2.0\times 10^{19,728}\approx (10\uparrow )^{2}4.3}$
• 6 ^{6 6} = 6 ↑↑ 3 ≈ 2,66 × 10 ^36,305 ≈ (10 ↑) ² 4,6
• 7 ^{7 7} = 7 ↑↑ 3 ≈ 3,76 × 10 ^695,974 ≈ (10 ↑) ² 5,8
• 8 ^{8 8} = 8 ↑↑ 3 ≈ 6,01 × 10 ^15,151,335 ≈ (10 ↑) ² 7,2
• ${\displaystyle M_{77,232,917}\approx 4.67\times 10^{23,249,424}\approx 10^{10^{7.37}}=(10\uparrow )^{2}\ 7.37}$, 50-е число и по состоянию на январь 2018 года - ^[update]самое большое известное простое число Мерсенна .
• 9 ^{9 9} = 9 ↑↑ 3 ≈ 4,28 × 10 ^{369 693 099} ≈ (10 ↑) ² 8,6
• 10 ^{10 10} = 10 ↑↑ 3 = 10 10 ^{000 000 000} = (10 ↑) ³ 1
• ${\displaystyle 3^{3^{3^{3}}}=3\uparrow \uparrow 4\approx 1.26\times 10^{3,638,334,640,024}\approx (10\uparrow )^{3}1.10}$

Числа, представленные в (10 ↑) ⁿ k обозначениях:

• googolplex = ${\displaystyle 10^{10^{100}}=(10\uparrow )^{3}2}$
• ${\displaystyle 2^{2^{2^{2^{2^{2}}}}}=2\uparrow \uparrow 6=2^{2^{65,536}}\approx 2^{(10\uparrow )^{2}4.3}\approx 10^{(10\uparrow )^{2}4.3}=(10\uparrow )^{3}4.3}$
• ${\displaystyle 10^{10^{10^{10}}}=10\uparrow \uparrow 4=(10\uparrow )^{4}1}$
• ${\displaystyle 3^{3^{3^{3^{3}}}}=3\uparrow \uparrow 5\approx 3^{10^{3.6\times 10^{12}}}\approx (10\uparrow )^{4}1.10}$
• ${\displaystyle 2^{2^{2^{2^{2^{2^{2}}}}}}=2\uparrow \uparrow 7\approx (10\uparrow )^{4}4.3}$
• 10 ↑↑ 5 = (10 ↑) ⁵ 1
• 3 ↑↑ 6 ≈ (10 ↑) ⁵ 1,10
• 2 ↑↑ 8 ≈ (10 ↑) ⁵ 4,3
• 10 ↑↑ 6 = (10 ↑) ⁶ 1
• 10 ↑↑↑ 2 = 10 ↑↑ 10 = (10 ↑) ¹⁰ 1
• 2 ↑↑↑↑ 3 = 2 ↑↑↑ 4 = 2 ↑↑ 65,536 ≈ (10 ↑) ^65,533 4,3 находится между 10 ↑↑ 65,533 и 10 ↑↑ 65,534

Большие числа:

• 3 ↑↑↑ 3 = 3 ↑↑ (3 ↑↑ 3) ≈ 3 ↑↑ 7,6 × 10 ¹² ≈ 10 ↑↑ 7,6 × 10 ¹² находится между (10 ↑↑) ² 2 и (10 ↑↑) ² 3
• ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow 3=(10\uparrow \uparrow )^{3}1}$ = (10 → 3 → 3)
• ${\displaystyle (10\uparrow \uparrow )^{2}11}$
• ${\displaystyle (10\uparrow \uparrow )^{2}10^{\,\!10^{10^{3.81\times 10^{17}}}}}$
• ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow 4=(10\uparrow \uparrow )^{4}1}$ = (10 → 4 → 3)
• ${\displaystyle (10\uparrow \uparrow )^{2}(10\uparrow )^{497}(9.73\times 10^{32})}$
• ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow 5=(10\uparrow \uparrow )^{5}1}$ = (10 → 5 → 3)
• ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow 6=(10\uparrow \uparrow )^{6}1}$ = (10 → 6 → 3)
• ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow 7=(10\uparrow \uparrow )^{7}1}$ = (10 → 7 → 3)
• ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow 8=(10\uparrow \uparrow )^{8}1}$ = (10 → 8 → 3)
• ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow 9=(10\uparrow \uparrow )^{9}1}$ = (10 → 9 → 3)
• ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 2=10\uparrow \uparrow \uparrow 10=(10\uparrow \uparrow )^{10}1}$ = (10 → 2 → 4) = (10 → 10 → 3)
• Первый член в определении числа Грэма, g ₁ = 3 ↑↑↑↑ 3 = 3 ↑↑↑ (3 ↑↑↑ 3) ≈ 3 ↑↑↑ (10 ↑↑ 7,6 × 10 ¹² ) ≈ 10 ↑↑↑ (10 ↑↑ 7,6 × 10 ¹² ) находится между (10 ↑↑↑) ² 2 и (10 ↑↑↑) ² 3 (см . Число Грэма # Величина )
• ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 3=(10\uparrow \uparrow \uparrow )^{3}1}$ = (10 → 3 → 4)
• ${\displaystyle 4\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 4}$ = (4 → 4 → 4) ${\displaystyle \approx (10\uparrow \uparrow \uparrow )^{2}(10\uparrow \uparrow )^{3}154}$
• ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 4=(10\uparrow \uparrow \uparrow )^{4}1}$ = (10 → 4 → 4)
• ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 5=(10\uparrow \uparrow \uparrow )^{5}1}$ = (10 → 5 → 4)
• ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 6=(10\uparrow \uparrow \uparrow )^{6}1}$ = (10 → 6 → 4)
• ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 7=(10\uparrow \uparrow \uparrow )^{7}1=}$ = (10 → 7 → 4)
• ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 8=(10\uparrow \uparrow \uparrow )^{8}1=}$ = (10 → 8 → 4)
• ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 9=(10\uparrow \uparrow \uparrow )^{9}1=}$ = (10 → 9 → 4)
• ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 2=10\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 10=(10\uparrow \uparrow \uparrow )^{10}1}$ = (10 → 2 → 5) = (10 → 10 → 4)
• (2 → 3 → 2 → 2) = (2 → 3 → 8)
• (3 → 2 → 2 → 2) = (3 → 2 → 9) = (3 → 3 → 8)
• (10 → 10 → 10) = (10 → 2 → 11)
• (10 → 2 → 2 → 2) = (10 → 2 → 100)
• (10 → 10 → 2 → 2) = (10 → 2 → ) =${\displaystyle 10^{10}}$${\displaystyle 10\uparrow ^{10^{10}}10}$
• Второй член в определении числа Грэма, g ₂ = 3 ↑ ^{g ₁} 3> 10 ↑ ^{g ₁ - 1} 10.
• (10 → 10 → 3 → 2) = (10 → 10 → (10 → 10 → )) =${\displaystyle 10^{10}}$${\displaystyle 10\uparrow ^{10\uparrow ^{10^{10}}10}10}$
• g ₃ = (3 → 3 → g ₂ )> (10 → 10 → g ₂ - 1)> (10 → 10 → 3 → 2)
• g ₄ = (3 → 3 → g ₃ )> (10 → 10 → g _3-1 )> (10 → 10 → 4 → 2)
• ...
• g ₉ = (3 → 3 → g ₈ ) находится между (10 → 10 → 9 → 2) и (10 → 10 → 10 → 2)
• (10 → 10 → 10 → 2)
• g ₁₀ = (3 → 3 → g ₉ ) находится между (10 → 10 → 10 → 2) и (10 → 10 → 11 → 2)
• ...
• g ₆₃ = (3 → 3 → g ₆₂ ) находится между (10 → 10 → 63 → 2) и (10 → 10 → 64 → 2)
• (10 → 10 → 64 → 2)
• Число Грэма, г ₆₄ ^[11]
• (10 → 10 → 65 → 2)
• (10 → 10 → 10 → 3)
• (10 → 10 → 10 → 4)
• (10 → 10 → 10 → 10)
• (10 → 10 → 10 → 10 → 10)
• (10 → 10 → 10 → 10 → 10 → 10)
• (10 → 10 → 10 → 10 → 10 → 10 → 10 → ... → 10 → 10 → 10 → 10 → 10 → 10 → 10 → 10) где есть (10 → 10 → 10) «10» с

Другие обозначения [ править ]

Некоторые обозначения для очень больших чисел:

• Нотация Кнута со стрелкой вверх / гипероператоры / функция Аккермана , включая тетрацию
• Обозначение стрелок Конвея
• Обозначения Штейнгауза-Мозера ; Помимо метода построения больших чисел, здесь также используются графические обозначения с помощью многоугольников . Альтернативные обозначения, такие как более традиционные обозначения функций, также могут использоваться с теми же функциями.
• Быстрорастущая иерархия
• Матричная система Башику

Эти обозначения по сути являются функциями целых переменных, которые очень быстро увеличиваются с этими целыми числами. Все быстрее растущие функции можно легко построить рекурсивно, применяя эти функции с большими целыми числами в качестве аргумента.

Функция с вертикальной асимптотой бесполезна при определении очень большого числа, хотя функция растет очень быстро: нужно определить аргумент, очень близкий к асимптоте, то есть использовать очень маленькое число, и построение этого эквивалентно построению очень большое число, например, обратное.

Сравнение базовых значений [ править ]

Следующее иллюстрирует влияние основания, отличного от 10, основания 100. Оно также иллюстрирует представление чисел и арифметику.

${\displaystyle 100^{12}=10^{24}}$, с основанием 10 показатель степени удваивается.

${\displaystyle 100^{100^{12}}=10^{2*10^{24}}}$, то же самое.

${\displaystyle 100^{100^{100^{12}}}\approx 10^{10^{2*10^{24}+0.30103}}}$, самый высокий показатель почти удвоен (увеличен на log ₁₀ 2).

• ${\displaystyle 100\uparrow \uparrow 2=10^{200}}$
• ${\displaystyle 100\uparrow \uparrow 3=10^{2\times 10^{200}}}$
• ${\displaystyle 100\uparrow \uparrow 4=(10\uparrow )^{2}(2\times 10^{200}+0.3)=(10\uparrow )^{2}(2\times 10^{200})=(10\uparrow )^{3}200.3=(10\uparrow )^{4}2.3}$
• ${\displaystyle 100\uparrow \uparrow n=(10\uparrow )^{n-2}(2\times 10^{200})=(10\uparrow )^{n-1}200.3=(10\uparrow )^{n}2.3<10\uparrow \uparrow (n+1)}$(таким образом, если n велико, справедливо будет сказать, что "приблизительно равно" )${\displaystyle 100\uparrow \uparrow n}$${\displaystyle 10\uparrow \uparrow n}$
• ${\displaystyle 100\uparrow \uparrow \uparrow 2=(10\uparrow )^{98}(2\times 10^{200})=(10\uparrow )^{100}2.3}$
• ${\displaystyle 100\uparrow \uparrow \uparrow 3=10\uparrow \uparrow (10\uparrow )^{98}(2\times 10^{200})=10\uparrow \uparrow (10\uparrow )^{100}2.3}$
• ${\displaystyle 100\uparrow \uparrow \uparrow n=(10\uparrow \uparrow )^{n-2}(10\uparrow )^{98}(2\times 10^{200})=(10\uparrow \uparrow )^{n-2}(10\uparrow )^{100}2.3<10\uparrow \uparrow \uparrow (n+1)}$(сравните ; таким образом, если n большое, кажется справедливым сказать, что "приблизительно равно" )${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow n=(10\uparrow \uparrow )^{n-2}(10\uparrow )^{10}1<10\uparrow \uparrow \uparrow (n+1)}$${\displaystyle 100\uparrow \uparrow \uparrow n}$${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow n}$
• ${\displaystyle 100\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 2=(10\uparrow \uparrow )^{98}(10\uparrow )^{100}2.3}$(сравнить )${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 2=(10\uparrow \uparrow )^{8}(10\uparrow )^{10}1}$
• ${\displaystyle 100\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 3=10\uparrow \uparrow \uparrow (10\uparrow \uparrow )^{98}(10\uparrow )^{100}2.3}$(сравнить )${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 3=10\uparrow \uparrow \uparrow (10\uparrow \uparrow )^{8}(10\uparrow )^{10}1}$
• ${\displaystyle 100\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow n=(10\uparrow \uparrow \uparrow )^{n-2}(10\uparrow \uparrow )^{98}(10\uparrow )^{100}2.3}$(сравните ; если n большое, это "приблизительно" равно)${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow n=(10\uparrow \uparrow \uparrow )^{n-2}(10\uparrow \uparrow )^{8}(10\uparrow )^{10}1}$

Точность [ править ]

Для числа изменение n на одну единицу изменяет результат в 10 раз. В таких числах, как результат правильного округления с использованием значащих цифр 6,2, истинное значение показателя степени может быть на 50 меньше или на 50 больше. Следовательно, результат может быть слишком большим или слишком маленьким. Это кажется крайне низкой точностью, но для такого большого числа это можно считать справедливым (большая ошибка при большом количестве может быть «относительно маленькой» и, следовательно, приемлемой).${\displaystyle 10^{n}}$${\displaystyle 10^{\,\!6.2\times 10^{3}}}$${\displaystyle 10^{50}}$

Для очень больших чисел [ править ]

В случае аппроксимации очень большого числа относительная ошибка может быть большой, но все же может быть в каком-то смысле мы хотим рассматривать числа как «близкие по величине». Например, рассмотрим

${\displaystyle 10^{10}}$ и ${\displaystyle 10^{9}}$

Относительная ошибка

${\displaystyle 1-{\frac {10^{9}}{10^{10}}}=1-{\frac {1}{10}}=90\%}$

большая относительная ошибка. Однако мы также можем учитывать относительную ошибку логарифмов; в данном случае логарифмы (с основанием 10) равны 10 и 9, поэтому относительная ошибка логарифмов составляет всего 10%.

Дело в том, что экспоненциальные функции значительно увеличивают относительные ошибки - если a и b имеют небольшую относительную ошибку,

${\displaystyle 10^{a}}$ и ${\displaystyle 10^{b}}$

относительная ошибка больше, и

${\displaystyle 10^{10^{a}}}$ и ${\displaystyle 10^{10^{b}}}$

будет иметь еще большую относительную ошибку. Тогда возникает вопрос: на каком уровне повторных логарифмов мы хотим сравнивать два числа? В некотором смысле мы можем захотеть рассмотреть

${\displaystyle 10^{10^{10}}}$ и ${\displaystyle 10^{10^{9}}}$

быть «близкими по величине». Относительная ошибка между этими двумя числами велика, а относительная ошибка между их логарифмами все еще велика; однако относительная ошибка в их повторных логарифмах мала:

${\displaystyle \log _{10}(\log _{10}(10^{10^{10}}))=10}$ и ${\displaystyle \log _{10}(\log _{10}(10^{10^{9}}))=9}$

Подобные сравнения повторных логарифмов обычны, например, в аналитической теории чисел .

Приближенная арифметика [ править ]

Есть несколько общих правил, относящихся к обычным арифметическим операциям, выполняемым с очень большими числами:

• Сумма и произведение двух очень больших чисел «приблизительно» равны большему.
• ${\displaystyle (10^{a})^{\,\!10^{b}}=10^{a10^{b}}=10^{10^{b+\log _{10}a}}}$

Следовательно:

• Очень большое число, возведенное в очень большую степень, «приблизительно» равно большему из следующих двух значений: первое значение и 10 в степени второго. Например, для очень большого n у нас есть (см., Например, вычисление мега ), а также . Таким образом , см. Табл .${\displaystyle n^{n}\approx 10^{n}}$${\displaystyle 2^{n}\approx 10^{n}}$${\displaystyle 2\uparrow \uparrow 65536\approx 10\uparrow \uparrow 65533}$

Систематическое создание быстрорастущих последовательностей [ править ]

Учитывая строго возрастающую целочисленную последовательность / функцию ( n ≥1), мы можем создать быстрорастущую последовательность (где верхний индекс n обозначает n- ^ю функциональную мощность ). Это можно повторить любое количество раз , если каждая последовательность будет расти намного быстрее, чем предыдущая. Тогда мы могли бы определить , которое растет намного быстрее, чем любое при конечном k (здесь ω - первое бесконечное порядковое число , представляющее предел всех конечных чисел k). Это основа для быстрорастущей иерархии функций, в которой индекс индексации расширяется до все более крупных порядковых номеров.${\displaystyle f_{0}(n)}$${\displaystyle f_{1}(n)=f_{0}^{n}(n)}$ ${\displaystyle f_{k}(n)=f_{k-1}^{n}(n)}$${\displaystyle f_{\omega }(n)=f_{n}(n)}$${\displaystyle f_{k}}$

Например, начиная с f ₀ ( n ) = n + 1:

• f ₁ ( n ) = f ₀ ⁿ ( n ) = n + n = 2 n
• f ₂ ( n ) = f ₁ ⁿ ( n ) = 2 ⁿ n > (2 ↑) n для n ≥ 2 (с использованием обозначения Кнута, стрелки вверх )
• f ₃ ( n ) = f ₂ ⁿ ( n )> (2 ↑) ⁿ n ≥ 2 ↑ ² n для n ≥ 2
• f _{k +1} ( n )> 2 ↑ ^k n для n ≥ 2, k <ω
• f _ω ( n ) = f _n ( n )> 2 ↑ ^{n - 1} n > 2 ↑ ^{n - 2} ( n + 3) - 3 = A ( n , n ) для n ≥ 2, где A - функция Аккермана ( из которых f _ω - унарная версия)
• f _{ω + 1} (64)> f _ω ⁶⁴ (6)> число Грэма (= g ₆₄ в последовательности, определяемой g ₀ = 4, g _{k +1} = 3 ↑ ^{g _k} 3)
  • Отсюда следует, что f _ω ( n )> 2 ↑ ^{n - 1} n > 3 ↑ ^{n - 2} 3 + 2, и, следовательно, f _ω ( g _k + 2)> g _{k +1} + 2
• f _ω ( n )> 2 ↑ ^{n - 1} n = (2 → n → n -1) = (2 → n → n -1 → 1) (с использованием обозначения стрелки Конвея )
• f _{ω + 1} ( n ) = f _ω ⁿ ( n )> (2 → n → n -1 → 2) (потому что если g _k ( n ) = X → n → k, то X → n → k +1 = g _k ⁿ (1))
• f _{ω + k} ( n )> (2 → n → n -1 → k +1)> ( n → n → k )
• f _ω2 ( n ) = f _{ω + n} ( n )> ( n → n → n ) = ( n → n → n → 1)
• f _{ω2 + k} ( n )> ( n → n → n → k )
• f _ω3 ( n )> ( n → n → n → n )
• f _{ω k} ( n )> ( n → n → ... → n → n ) (Цепочка из k +1 n )
• f _{ω ²} ( n ) = f _{ω n} ( n )> ( n → n → ... → n → n ) (цепочка из n +1 n )

В некоторых невычислимых последовательностях [ править ]

Функция занятого бобра Σ является примером функции, которая растет быстрее, чем любая вычислимая функция. Его ценность даже при относительно небольшом вводе огромна. Значения Σ ( n ) для n = 1, 2, 3, 4 равны 1, 4, 6, 13 (последовательность A028444 в OEIS ). Σ (5) неизвестно, но определенно ≥ 4098. Σ (6) не менее 3,5 × 10 ¹⁸²⁶⁷ .

Бесконечные числа [ править ]

Хотя все упомянутые выше числа очень велики, все они безусловно конечны . Некоторые области математики определяют бесконечные и трансфинитные числа . Например, алеф-нуль является кардинальным из бесконечного множества из натуральных чисел , и алеф-один является следующим наибольшим кардинальным числом. - мощность действительных чисел . Утверждение, известное как гипотеза континуума .${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$${\displaystyle {\mathfrak {c}}=\aleph _{1}}$

См. Также [ править ]

Ссылки [ править ]