Гамбель раздача

Гамбель

Функция плотности вероятности
Кумулятивная функция распределения
Параметры	${\ displaystyle \ mu,}$ местоположение ( реальный ) масштаб (реальный) ${\ displaystyle \ beta> 0,}$
Поддерживать	${\ Displaystyle х \ in \ mathbb {R}}$
PDF	${\ displaystyle {\ frac {1} {\ beta}} e ^ {- (z + e ^ {- z})}}$ куда ${\ Displaystyle Z = {\ гидроразрыва {x- \ mu} {\ beta}}}$
CDF	${\ Displaystyle е ^ {- е ^ {- (х- \ му) / \ бета}}}$
Иметь в виду	${\ displaystyle \ mu + \ beta \ gamma}$ где - постоянная Эйлера – Маскерони${\ displaystyle \ gamma}$
Медиана	${\ Displaystyle \ му - \ бета \ пер (\ пер 2)}$
Режим	${\ displaystyle \ mu}$
Дисперсия	${\ displaystyle {\ frac {\ pi ^ {2}} {6}} \ beta ^ {2}}$
Асимметрия	${\ displaystyle {\ frac {12 {\ sqrt {6}} \, \ zeta (3)} {\ pi ^ {3}}} \ приблизительно 1,14}$
Бывший. эксцесс	${\ displaystyle {\ frac {12} {5}}}$
Энтропия	${\ Displaystyle \ пер (\ бета) + \ гамма +1}$
MGF	${\ Displaystyle \ Гамма (1- \ бета т) е ^ {\ му т}}$
CF	${\ Displaystyle \ Гамма (1-я \ бета т) е ^ {я \ му т}}$

В теории вероятностей и статистике , то распределение Gumbel (Обобщенные экстремальных значения распределение типа I) используются для моделирования распределения максимума (или минимума) ряда образцов различных распределений.

Это распределение можно использовать для представления распределения максимального уровня реки в конкретный год, если существует список максимальных значений за последние десять лет. Это полезно для прогнозирования вероятности возникновения сильного землетрясения, наводнения или другого стихийного бедствия. Потенциальная применимость распределения Гамбеля для представления распределения максимумов связана с теорией экстремальных значений , которая указывает на то, что оно, вероятно, будет полезно, если распределение базовых данных выборки будет нормального или экспоненциального типа. В этой статье для моделирования распределения максимального значения используется распределение Гамбеля . Чтобы смоделировать минимальное значение, используйте отрицательное из исходных значений.

Распределение Гамбеля - это частный случай обобщенного распределения экстремальных значений (также известного как распределение Фишера-Типпетта). Оно также известно как логарифмическое распределение Вейбулла и двойное экспоненциальное распределение (термин, который иногда также используется для обозначения распределения Лапласа ). Это связано с распределением Гомперца : когда его плотность сначала отражается относительно начала координат, а затем ограничивается положительной полупрямой, получается функция Гомперца.

В формулировке латентных переменных полиномиальной логит- модели, распространенной в теории дискретного выбора, ошибки скрытых переменных следуют распределению Гамбеля. Это полезно, потому что разница двух случайных величин, распределенных по Гамбелю, имеет логистическое распределение .

Распределение Гамбеля названо в честь Эмиля Джулиуса Гамбеля (1891–1966) на основе его оригинальных статей, описывающих распределение. ^{[1] [2]}

Определения [ править ]

Кумулятивная функция распределения распределения Гумбеля является

${\displaystyle F(x;\mu ,\beta )=e^{-e^{-(x-\mu )/\beta }}.\,}$

Стандартное распределение Gumbel [ править ]

Стандартное распределение Гамбеля - это случай, когда и с кумулятивной функцией распределения${\displaystyle \mu =0}$${\displaystyle \beta =1}$

${\displaystyle F(x)=e^{-e^{(-x)}}\,}$

и функция плотности вероятности

${\displaystyle f(x)=e^{-(x+e^{-x})}.}$

В этом случае мода равна 0, медиана равна , среднее значение ( постоянная Эйлера – Маскерони ), а стандартное отклонение равно${\displaystyle -\ln(\ln(2))\approx 0.3665}$${\displaystyle \gamma \approx 0.5772}$${\displaystyle \pi /{\sqrt {6}}\approx 1.2825.}$

Кумулянты для n> 1 равны

${\displaystyle \kappa _{n}=(n-1)!\zeta (n).}$

Свойства [ править ]

Режим - μ, а медиана - и среднее значение -${\displaystyle \mu -\beta \ln \left(\ln 2\right),}$

${\displaystyle \operatorname {E} (X)=\mu +\gamma \beta }$,

где - постоянная Эйлера-Маскерони .${\displaystyle \gamma }$

Стандартное отклонение является , следовательно , ^[3]${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \beta \pi /{\sqrt {6}}}$${\displaystyle \beta =\sigma {\sqrt {6}}/\pi \approx 0.78\sigma .}$

В режиме, где значение становится равным , независимо от значения${\displaystyle x=\mu }$${\displaystyle F(x;\mu ,\beta )}$${\displaystyle e^{-1}\approx 0.37}$${\displaystyle \beta .}$

Связанные дистрибутивы [ править ]

• Если имеет распределение Гумбеля, то условное распределение Y = −X при условии, что Y положительно, или, что эквивалентно, при условии, что X отрицательно, имеет распределение Гомперца . Cdf G для Y связан с F , cdf для X , формулой для y > 0. Следовательно, плотности связаны следующим образом : плотность Гомперца пропорциональна отраженной плотности Гамбеля, ограниченная положительной полупрямой. ^[4]${\displaystyle X}$${\displaystyle G(y)=P(Y\leq y)=P(X\geq -y|X\leq 0)=(F(0)-F(-y))/F(0)}$${\displaystyle g(y)=f(-y)/F(0)}$
• Если X - экспоненциально распределенная переменная со средним значением 1, то −log ( X ) имеет стандартное распределение Гамбеля.
• Если и затем (см. Логистическое распределение ).${\displaystyle X\sim \mathrm {Gumbel} (\alpha _{X},\beta )}$${\displaystyle Y\sim \mathrm {Gumbel} (\alpha _{Y},\beta )}$${\displaystyle X-Y\sim \mathrm {Logistic} (\alpha _{X}-\alpha _{Y},\beta )\,}$
• Если и тогда . Обратите внимание на это .${\displaystyle X}$${\displaystyle Y\sim \mathrm {Gumbel} (\alpha ,\beta )}$${\displaystyle X+Y\nsim \mathrm {Logistic} (2\alpha ,\beta )\,}$${\displaystyle E(X+Y)=2\alpha +2\beta \gamma \neq 2\alpha =E\left(\mathrm {Logistic} (2\alpha ,\beta )\right)}$

Теория, относящаяся к обобщенному многомерному логарифмически-гамма-распределению, предоставляет многомерную версию распределения Гамбеля.

Возникновение и применение [ править ]

Гамбель показал, что максимальное значение (или статистика последнего порядка ) в выборке случайной величины, следующей экспоненциальному распределению минус натуральный логарифм размера выборки ^[6], приближается к распределению Гамбеля с увеличением размера выборки. ^[7]

В гидрология , следовательно, распределение Gumbel используется для анализа таких переменных , как месячные и годовые максимальные значения суточного количества осадков и объемов стока рек, ^[3] , а также для описания засухи. ^[8]

Гумбеля также показала , что оценка ^г / _{( п + 1)} для вероятности события - где г есть ранг количество наблюдаемого значения в серии данных , и п представляет собой общее количество наблюдений - это несмещенная оценка из кумулятивная вероятность вокруг режима распределения. Поэтому этот оценщик часто используется в качестве позиции для построения графика .

В теории чисел распределение Гамбеля аппроксимирует количество членов в случайном разбиении целого числа ^[9], а также скорректированные на тенденцию размеры максимальных промежутков между простыми числами и максимальных промежутков между комбинациями простых чисел . ^[10]

В машинном обучении распределение Гамбеля иногда используется для генерации выборок из категориального распределения . ^[11]

Вычислительные методы [ править ]

Документ о вероятности [ править ]

До появления программного обеспечения использовалась вероятностная бумага для изображения распределения Гамбеля (см. Иллюстрацию). Работа основана на линеаризации кумулятивной функции распределения  :${\displaystyle F}$

${\displaystyle -\ln[-\ln(F)]=(x-\mu )/\beta }$

В статье горизонтальная ось построена в двойном логарифмическом масштабе. Вертикальная ось линейная. Построив график по горизонтальной оси листа бумаги, а переменную по вертикальной оси, можно представить распределение в виде прямой линии с наклоном 1 . Когда стало доступно программное обеспечение для подгонки распределения, такое как CumFreq , задача построения распределения упростилась, как показано в следующем разделе.${\displaystyle F}$${\displaystyle x}$${\displaystyle /\beta }$

Генерация вариаций Гамбеля [ править ]

Поскольку функция квантиля (обратная кумулятивная функция распределения ), распределения Гамбеля задается выражением${\displaystyle Q(p)}$

${\displaystyle Q(p)=\mu -\beta \ln(-\ln(p)),}$

переменная имеет распределение Гамбеля с параметрами и случайную переменную, взятую из равномерного распределения на интервале .${\displaystyle Q(U)}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle U}$${\displaystyle (0,1)}$

См. Также [ править ]

• Распределение гамбелей типа 1
• Распределение Гамбеля Тип-2
• Теория экстремальных ценностей
• Обобщенное распределение экстремальных значений
• Теорема Фишера – Типпета – Гнеденко.
• Эмиль Юлиус Гамбель

Ссылки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

Викискладе есть медиафайлы по теме: Гамбель раздача