Распределение Вейбулла

Вейбулла (2 параметра)

Функция плотности вероятности
Кумулятивная функция распределения
Параметры	${\ Displaystyle \ лямбда \ в (0, + \ infty) \,}$ масштабная форма ${\ Displaystyle к \ в (0, + \ infty) \,}$
Поддерживать	${\ Displaystyle х \ в [0, + \ infty) \,}$
PDF	${\ displaystyle f (x) = {\ begin {case} {\ frac {k} {\ lambda}} \ left ({\ frac {x} {\ lambda}} \ right) ^ {k-1} e ^ {- (x / \ lambda) ^ {k}} & x \ geq 0 \\ 0 & x <0 \ end {case}}}$
CDF	${\ displaystyle {\ begin {cases} 1- \ mathrm {e} ^ {- (x / \ lambda) ^ {k}} & x \ geq 0 \\ 0 & x <0 \ end {cases}}}$
Иметь в виду	${\ Displaystyle \ лямбда \, \ Гамма (1 + 1 / к) \,}$
Медиана	${\ Displaystyle \ лямбда (\ пер 2) ^ {1 / к} \,}$
Режим	${\displaystyle {\begin{cases}\lambda \left({\frac {k-1}{k}}\right)^{1/k}\,&k>1\\0&k\leq 1\end{cases}}}$
Дисперсия	${\displaystyle \lambda ^{2}\left[\Gamma \left(1+{\frac {2}{k}}\right)-\left(\Gamma \left(1+{\frac {1}{k}}\right)\right)^{2}\right]\,}$
Асимметрия	${\displaystyle {\frac {\Gamma (1+3/k)\lambda ^{3}-3\mu \sigma ^{2}-\mu ^{3}}{\sigma ^{3}}}}$
Бывший. эксцесс	(см. текст)
Энтропия	${\displaystyle \gamma (1-1/k)+\ln(\lambda /k)+1\,}$
MGF	${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {t^{n}\lambda ^{n}}{n!}}\Gamma (1+n/k),\ k\geq 1}$
CF	${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(it)^{n}\lambda ^{n}}{n!}}\Gamma (1+n/k)}$
Расхождение Кульбака-Лейблера	Смотри ниже

В теории вероятностей и статистике , в Вейбулла распределения / v eɪ б ʊ л / непрерывное распределение вероятностей . Он назван в честь шведского математика Валодди Вейбулла , который подробно описал его в 1951 году, хотя впервые он был идентифицирован Фреше (1927) и впервые применен Розином и Раммлером (1933) для описания распределения частиц по размерам .

Определение [ править ]

Стандартная параметризация [ править ]

Функция плотности вероятности случайной величины Вейбулла : ^[1]

${\displaystyle f(x;\lambda ,k)={\begin{cases}{\frac {k}{\lambda }}\left({\frac {x}{\lambda }}\right)^{k-1}\mathrm {e} ^{-(x/\lambda )^{k}}&x\geq 0,\\0&x<0,\end{cases}}}$

где k > 0 - параметр формы, а λ> 0 - масштабный параметр распределения. Его дополнительная кумулятивная функция распределения представляет собой растянутую экспоненциальную функцию . Распределение Вейбулла связано с рядом других распределений вероятностей; в частности, он интерполирует между экспоненциальным распределением ( k = 1) и распределением Рэлея ( k = 2 и ^[2] ).${\displaystyle \lambda ={\sqrt {2}}\sigma }$

Если величина X представляет собой "время до отказа", распределение Вейбулла дает распределение, для которого частота отказов пропорциональна степени времени. Форма параметр, к , является то , что власть плюс один, и поэтому этот параметр можно интерпретировать непосредственно следующим образом : ^[3]

• Значение указывает на то, что частота отказов со временем уменьшается ( эффект Линди ). Это происходит, если наблюдается значительная «младенческая смертность» или если дефектные элементы выходят из строя раньше, и частота отказов со временем снижается, поскольку дефектные элементы исключаются из популяции. В контексте распространения инноваций это означает негативную молва: функция риска - это монотонно убывающая функция доли последователей;${\displaystyle k<1\,}$
• Значение указывает, что интенсивность отказов остается постоянной во времени. Это может означать, что случайные внешние события вызывают смертность или отказ. Распределение Вейбулла сводится к экспоненциальному распределению;${\displaystyle k=1\,}$
• Значение указывает, что частота отказов увеличивается со временем. Это происходит, если есть процесс «старения» или детали, которые с большей вероятностью выйдут из строя со временем. В контексте распространения инноваций это означает положительную молву: функция риска - это монотонно возрастающая функция доли последователей. Функция сначала выпуклая, затем вогнутая с точкой перегиба в .${\displaystyle k>1\,}$${\displaystyle (\mathrm {e} ^{1/k}-1)/\mathrm {e} ^{1/k},\,k>1\,}$

В области материаловедения параметр формы k распределения прочности известен как модуль Вейбулла . В контексте распространения инноваций распределение Вейбулла представляет собой «чистую» модель имитации / отторжения.

Альтернативные параметризации [ править ]

Приложения в медицинской статистике и эконометрике часто используют другую параметризацию. ^{[4] [5]} Параметр формы k такой же, как указано выше, а параметр масштаба - . В этом случае при x ≥ 0 функция плотности вероятности имеет вид${\displaystyle b=\lambda ^{-k}}$

${\displaystyle f(x;k,b)=bkx^{k-1}\mathrm {e} ^{-bx^{k}},}$

кумулятивная функция распределения

${\displaystyle F(x;k,b)=1-\mathrm {e} ^{-bx^{k}},}$

функция опасности

${\displaystyle h(x;k,b)=bkx^{k-1},}$

и среднее значение

${\displaystyle b^{-1/k}\Gamma (1+1/k).}$

Также можно найти третью параметризацию. ^{[6] [7]} Параметр формы k такой же, как в стандартном случае, а параметр масштаба - . Тогда при x ≥ 0 функция плотности вероятности имеет вид${\displaystyle \beta =1/\lambda }$

${\displaystyle f(x;k,\beta )=\beta k({\beta x})^{k-1}\mathrm {e} ^{-(\beta x)^{k}}}$

кумулятивная функция распределения

${\displaystyle F(x;k,\beta )=1-\mathrm {e} ^{-(\beta x)^{k}},}$

и функция опасности

${\displaystyle h(x;k,\beta )=\beta k({\beta x})^{k-1}.}$

Во всех трех параметризациях опасность уменьшается при k <1, увеличивается при k> 1 и остается постоянной при k = 1, и в этом случае распределение Вейбулла сводится к экспоненциальному распределению.

Свойства [ править ]

Функция плотности [ править ]

Форма функции плотности распределения Вейбулла резко меняется с увеличением значения k . При 0 < k <1 функция плотности стремится к ∞ по мере приближения x к нулю сверху и строго убывает. При k = 1 функция плотности стремится к 1 / λ по мере приближения x к нулю сверху и строго убывает. Для k > 1 функция плотности стремится к нулю, когда x приближается к нулю сверху, увеличивается до своего режима и уменьшается после него. Функция плотности имеет бесконечный отрицательный наклон при x = 0, если 0 < k <1, бесконечный положительный наклон при x = 0, если 1 <к <2 и наклон нулевой при х = 0 , если к > 2. К = 1 плотности имеет конечный отрицательный наклон при х = 0. При K = 2 плотности имеет конечный положительный наклон при х = 0. Поскольку к идет до бесконечности, распределение Вейбулла сходится к дельта-распределению Дирака с центром x = λ. Причем асимметрия и коэффициент вариации зависят только от параметра формы. Обобщением распределения Вейбулла является гиперболастическое распределение типа III .

Кумулятивная функция распределения [ править ]

Кумулятивная функция распределения для распределения Вейбулла

${\displaystyle F(x;k,\lambda )=1-\mathrm {e} ^{-(x/\lambda )^{k}}\,}$

для x ≥ 0 и F ( x ; k ; λ) = 0 для x <0.

Если x = λ, то F ( x ; k ; λ) = 1 -  e ⁻¹ ≈ 0,632 для всех значений  k . Наоборот: при F ( x ; k ; λ ) = 0,632 значение  x  ≈  λ .

Квантильная функция (обратное кумулятивное распределение) для распределения Вейбулла имеет вид

${\displaystyle Q(p;k,\lambda )=\lambda (-\ln(1-p))^{1/k}}$

для 0 ≤ p <1.

Частота отказов ч (или функция риска) задается

${\displaystyle h(x;k,\lambda )={k \over \lambda }\left({x \over \lambda }\right)^{k-1}.}$

Среднее время наработки на отказ MTBF является

${\displaystyle {\text{MTBF}}(k,\lambda )=\lambda \Gamma (1+1/k).}$

Моменты [ править ]

Производящая функция моментов от логарифма распределенного Вейбуллу случайной величины задается ^[8]

${\displaystyle \operatorname {E} \left[e^{t\log X}\right]=\lambda ^{t}\Gamma \left({\frac {t}{k}}+1\right)}$

где Γ - гамма-функция . Точно так же характеристическая функция log X определяется выражением

${\displaystyle \operatorname {E} \left[e^{it\log X}\right]=\lambda ^{it}\Gamma \left({\frac {it}{k}}+1\right).}$

В частности, п - й сырой момент из X задается

${\displaystyle m_{n}=\lambda ^{n}\Gamma \left(1+{\frac {n}{k}}\right).}$

Средняя и дисперсия из Вейбулла случайной величины может быть выражена как

${\displaystyle \operatorname {E} (X)=\lambda \Gamma \left(1+{\frac {1}{k}}\right)\,}$

и

${\displaystyle \operatorname {var} (X)=\lambda ^{2}\left[\Gamma \left(1+{\frac {2}{k}}\right)-\left(\Gamma \left(1+{\frac {1}{k}}\right)\right)^{2}\right]\,.}$

Асимметрия определяется выражением

${\displaystyle \gamma _{1}={\frac {\Gamma \left(1+{\frac {3}{k}}\right)\lambda ^{3}-3\mu \sigma ^{2}-\mu ^{3}}{\sigma ^{3}}}}$

где среднее значение обозначено μ, а стандартное отклонение обозначено σ .

Избыточный эксцесс определяется выражением

${\displaystyle \gamma _{2}={\frac {-6\Gamma _{1}^{4}+12\Gamma _{1}^{2}\Gamma _{2}-3\Gamma _{2}^{2}-4\Gamma _{1}\Gamma _{3}+\Gamma _{4}}{[\Gamma _{2}-\Gamma _{1}^{2}]^{2}}}}$

где . Превышение эксцесса можно также записать как:${\displaystyle \Gamma _{i}=\Gamma (1+i/k)}$

${\displaystyle \gamma _{2}={\frac {\lambda ^{4}\Gamma (1+{\frac {4}{k}})-4\gamma _{1}\sigma ^{3}\mu -6\mu ^{2}\sigma ^{2}-\mu ^{4}}{\sigma ^{4}}}-3}$

Функция создания моментов [ править ]

Для производящей функции момента самого X доступны различные выражения . Как степенная серия , поскольку исходные моменты уже известны,

${\displaystyle \operatorname {E} \left[e^{tX}\right]=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {t^{n}\lambda ^{n}}{n!}}\Gamma \left(1+{\frac {n}{k}}\right).}$

В качестве альтернативы можно попытаться иметь дело непосредственно с интегралом

${\displaystyle \operatorname {E} \left[e^{tX}\right]=\int _{0}^{\infty }e^{tx}{\frac {k}{\lambda }}\left({\frac {x}{\lambda }}\right)^{k-1}e^{-(x/\lambda )^{k}}\,dx.}$

Если предполагается, что параметр k является рациональным числом, выраженным как k = p / q, где p и q - целые числа, то этот интеграл можно вычислить аналитически. ^[9] Заменяя t на - t , можно найти

${\displaystyle \operatorname {E} \left[e^{-tX}\right]={\frac {1}{\lambda ^{k}\,t^{k}}}\,{\frac {p^{k}\,{\sqrt {q/p}}}{({\sqrt {2\pi }})^{q+p-2}}}\,G_{p,q}^{\,q,p}\!\left(\left.{\begin{matrix}{\frac {1-k}{p}},{\frac {2-k}{p}},\dots ,{\frac {p-k}{p}}\\{\frac {0}{q}},{\frac {1}{q}},\dots ,{\frac {q-1}{q}}\end{matrix}}\;\right|\,{\frac {p^{p}}{\left(q\,\lambda ^{k}\,t^{k}\right)^{q}}}\right)}$

где G - G-функция Мейера .

Характеристическая функция также была получена Muraleedharan и соавт. (2007) . Характеристической функции и моментом производящая функция 3-параметра Вейбулла распределения были также получены путем Muraleedharan & Soares (2014) путем непосредственного подхода. harvtxt error: no target: CITEREFMuraleedharanSoares2014 (help)

Энтропия Шеннона [ править ]

Информационная энтропия определяется

${\displaystyle H(\lambda ,k)=\gamma \left(1-{\frac {1}{k}}\right)+\ln \left({\frac {\lambda }{k}}\right)+1}$

где - постоянная Эйлера – Маскерони . Распределение Вейбуллу является максимальным распределением энтропии для не-отрицательной действительной случайной случайной величины с фиксированной ожидаемой величиной от й ^к равному Л ^к и фиксированному ожидаемому значению Ln ( х ^к ) , равное Ln ( λ ^к ) -  .${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle \gamma }$

Оценка параметров [ править ]

Максимальная вероятность [ править ]

Оценка максимального правдоподобия для данного параметра :${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle k}$

${\displaystyle {\widehat {\lambda }}^{k}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{k}}$

Оценка максимального правдоподобия для является решением для k следующего уравнения ^[10]${\displaystyle k}$

${\displaystyle 0={\frac {\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{k}\ln x_{i}}{\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{k}}}-{\frac {1}{k}}-{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\ln x_{i}}$

Это уравнение, определяющее только неявно, обычно необходимо решать численными методами.${\displaystyle {\widehat {k}}}$${\displaystyle k}$

Когда самые большие наблюдаемые выборки из набора данных, состоящего из более чем выборок, тогда оценка максимального правдоподобия для данного параметра равна ^[10]${\displaystyle x_{1}>x_{2}>\cdots >x_{N}}$${\displaystyle N}$${\displaystyle N}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle k}$

${\displaystyle {\widehat {\lambda }}^{k}={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}(x_{i}^{k}-x_{N}^{k})}$

Кроме того, учитывая , что условие, максимального правдоподобия оценки для это ^{[ править ]}${\displaystyle k}$

${\displaystyle 0={\frac {\sum _{i=1}^{N}(x_{i}^{k}\ln x_{i}-x_{N}^{k}\ln x_{N})}{\sum _{i=1}^{N}(x_{i}^{k}-x_{N}^{k})}}-{\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}\ln x_{i}}$

Опять же, поскольку это неявная функция, обычно нужно решать числовыми средствами.${\displaystyle k}$

Заговор Вейбулла [ править ]

Соответствие распределения Вейбулла данным можно визуально оценить с помощью графика Вейбулла. ^[11] График Вейбулла - это график эмпирической кумулятивной функции распределения данных по специальным осям в виде графика QQ . Оси против . Причина такой замены переменных заключается в том, что кумулятивная функция распределения может быть линеаризована:${\displaystyle {\widehat {F}}(x)}$${\displaystyle \ln(-\ln(1-{\widehat {F}}(x)))}$${\displaystyle \ln(x)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}F(x)&=1-e^{-(x/\lambda )^{k}}\\[4pt]-\ln(1-F(x))&=(x/\lambda )^{k}\\[4pt]\underbrace {\ln(-\ln(1-F(x)))} _{\textrm {'y'}}&=\underbrace {k\ln x} _{\textrm {'mx'}}-\underbrace {k\ln \lambda } _{\textrm {'c'}}\end{aligned}}}$

который можно увидеть в стандартной форме прямой линии. Следовательно, если данные получены из распределения Вейбулла, то на графике Вейбулла ожидается прямая линия.

Существуют различные подходы к получению эмпирической функции распределения из данных: один из методов заключается в получении вертикальной координаты для каждой точки, используя где - ранг точки данных, а - количество точек данных. ^[12]${\displaystyle {\widehat {F}}={\frac {i-0.3}{n+0.4}}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle n}$

Линейная регрессия также может использоваться для численной оценки степени соответствия и оценки параметров распределения Вейбулла. Градиент напрямую информирует о параметре формы, и параметр масштаба также может быть выведен.${\displaystyle k}$${\displaystyle \lambda }$

Расхождение Кульбака – Лейблера [ править ]

${\displaystyle D_{\text{KL}}(\mathrm {Weib} _{1}\parallel \mathrm {Weib} _{2})=\log {\frac {k_{1}}{\lambda _{1}^{k_{1}}}}-\log {\frac {k_{2}}{\lambda _{2}^{k_{2}}}}+(k_{1}-k_{2})\left[\log \lambda _{1}-{\frac {\gamma }{k_{1}}}\right]+\left({\frac {\lambda _{1}}{\lambda _{2}}}\right)^{k_{2}}\Gamma \left({\frac {k_{2}}{k_{1}}}+1\right)-1}$^[13]

Приложения [ править ]

Используется распределение Вейбулла ^{[ необходима ссылка ]}

• В анализе выживаемости
• В проектировании надежности и анализе отказов
• В электротехнике для представления перенапряжения в электрической системе.
• В промышленном строительстве для представления производства и доставки раз
• В теории экстремальных ценностей
• В прогнозировании погоды и ветроэнергетике для описания распределения скорости ветра , поскольку естественное распределение часто соответствует форме Вейбулла ^[14]
• В проектировании систем связи
  • В радиолокационных системах для моделирования разброса уровня принимаемых сигналов от некоторых типов помех.
  • Для моделирования каналов с замираниями в беспроводной связи, поскольку модель замирания Вейбулла, кажется, хорошо подходит для экспериментальных измерений каналов замирания.

• В поиске информации для моделирования времени пребывания на веб-страницах. ^[16]
• В общем страховании модели размера перестраховочных претензий, а совокупное развития асбестоза потерь
• При прогнозировании технологических изменений (также известный как модель шариф-ислам) ^[17]
• В гидрологии распределение Вейбулла применяется к экстремальным явлениям, таким как годовые максимальные однодневные осадки и сток рек.
• В анализе кривой падения для моделирования кривой дебита нефти скважин сланцевой нефти. ^[18]
• При описании размера частиц, образующихся при измельчении, измельчении и дроблении , используется двухпараметрическое распределение Вейбулла, которое иногда называют распределением Розина – Раммлера. ^{[ необходима цитата ]} В этом контексте он предсказывает меньшее количество мелких частиц, чем логнормальное распределение, и обычно наиболее точен для узких распределений частиц по размеру. ^[19] Кумулятивная функция распределения интерпретируется как массовая доля частиц с диаметром меньше, чем , где - средний размер частиц и${\displaystyle F(x;k,\lambda )}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle k}$ является мерой разброса размеров частиц.
• При описании случайных облаков точек (например, позиции частиц в идеальном газе): вероятность найти ближайший сосед частицу на расстоянии от данной частицы задаются Вейбуллой распределения с и равна плотностью частиц. ^[20]${\displaystyle x}$${\displaystyle k=3}$${\displaystyle \rho =1/\lambda ^{3}}$

Связанные дистрибутивы [ править ]

• Переведенное распределение Вейбулла (или 3-параметрическое распределение Вейбулла) содержит дополнительный параметр. ^[8] Он имеет функцию плотности вероятности

  ${\displaystyle f(x;k,\lambda ,\theta )={k \over \lambda }\left({x-\theta \over \lambda }\right)^{k-1}e^{-\left({x-\theta \over \lambda }\right)^{k}}\,}$

  for и for , где - параметр формы , является параметром масштаба и является параметром местоположения распределения. value устанавливает начальное время безотказной работы до начала обычного процесса Weibull. Когда это сводится к двухпараметрическому распределению.${\displaystyle x\geq \theta }$${\displaystyle f(x;k,\lambda ,\theta )=0}$${\displaystyle x<\theta }$${\displaystyle k>0}$${\displaystyle \lambda >0}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \theta =0}$
• Распределение Вейбулла можно охарактеризовать как распределение случайной величины , при которой случайная величина${\displaystyle W}$

  ${\displaystyle X=\left({\frac {W}{\lambda }}\right)^{k}}$

  - стандартное экспоненциальное распределение с интенсивностью 1. ^[8]
• Это означает, что распределение Вейбулла также можно охарактеризовать в терминах равномерного распределения : если оно равномерно распределено на , то случайная величина распределена Вейбулла с параметрами и . Обратите внимание, что здесь эквивалентно чуть выше. Это приводит к легко реализуемой численной схеме для моделирования распределения Вейбулла.${\displaystyle U}$${\displaystyle (0,1)}$${\displaystyle W=\lambda (-\ln(U))^{1/k}\,}$${\displaystyle k}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle -\ln(U)}$${\displaystyle X}$
• Распределение Вейбулла интерполирует между экспоненциальным распределением с интенсивностью когда и распределением Рэлея моды когда .${\displaystyle 1/\lambda }$${\displaystyle k=1}$${\displaystyle \sigma =\lambda /{\sqrt {2}}}$${\displaystyle k=2}$
• Распределение Вейбулла (обычно достаточное для проектирования надежности ) является частным случаем экспоненциального трехпараметрического распределения Вейбулла, где дополнительный показатель равен 1. Экспоненциальное распределение Вейбулла учитывает унимодальные , имеющие форму ванны ^[21] и монотонные интенсивности отказов .
• Распределение Вейбулла - это частный случай обобщенного распределения экстремальных значений . Именно в этой связи это распределение было впервые идентифицировано Морисом Фреше в 1927 году. ^[22] Тесно родственное распределение Фреше , названное в честь этой работы, имеет функцию плотности вероятности

  ${\displaystyle f_{\rm {Frechet}}(x;k,\lambda )={\frac {k}{\lambda }}\left({\frac {x}{\lambda }}\right)^{-1-k}e^{-(x/\lambda )^{-k}}=-f_{\rm {Weibull}}(x;-k,\lambda ).}$

• Распределение случайной величины, которая определяется как минимум из нескольких случайных величин, каждая из которых имеет различное распределение Вейбулла, является распределением поливейбулла .
• Распределение Вейбулла было впервые применено Розином и Раммлером (1933) для описания распределения частиц по размерам. Он широко используется при переработке полезных ископаемых для описания гранулометрического состава в процессах измельчения . В этом контексте кумулятивное распределение определяется как

  ${\displaystyle f(x;P_{\rm {80}},m)={\begin{cases}1-e^{\ln \left(0.2\right)\left({\frac {x}{P_{\rm {80}}}}\right)^{m}}&x\geq 0,\\0&x<0,\end{cases}}}$

  куда
  • ${\displaystyle x}$ размер частиц
  • ${\displaystyle P_{\rm {80}}}$ 80-й процентиль распределения частиц по размерам
  • ${\displaystyle m}$ - параметр, описывающий разброс распределения
• Поскольку он доступен в электронных таблицах , он также используется там, где базовое поведение фактически лучше моделируется распределением Эрланга . ^[23]
• Если то ( экспоненциальное распределение )${\displaystyle X\sim \mathrm {Weibull} (\lambda ,{\frac {1}{2}})}$${\displaystyle {\sqrt {X}}\sim \mathrm {Exponential} ({\frac {1}{\sqrt {\lambda }}})}$
• Для одних и тех же значений k гамма-распределение принимает аналогичные формы, но распределение Вейбулла является более пластичным .

См. Также [ править ]

• Теорема Фишера – Типпета – Гнеденко.
• Логистическая дистрибуция
• Распределение канифоли – Раммлера для анализа размеров частиц
• Распределение Рэлея

Ссылки [ править ]

Библиография [ править ]

• Фреше, Морис (1927), "Sur la loi de probabilité de l'écart maximum", Annales de la Société Polonaise de Mathématique, Cracovie , 6 : 93–116.
• Джонсон, Норман Л .; Коц, Самуэль; Балакришнан Н. (1994), Непрерывные одномерные распределения. Vol. 1 , Wiley Series in Probability and Mathematical Statistics: Applied Probability and Statistics (2-е изд.), Нью-Йорк: John Wiley & Sons , ISBN 978-0-471-58495-7, MR  1299979
• Манн, Нэнси Р .; Schafer, Ray E .; Сингпурвалла, Нозер Д. (1974), Методы статистического анализа данных о надежности и продолжительности жизни , Ряд Уайли в вероятности и математической статистике: прикладная вероятность и статистика (1-е изд.), Нью-Йорк: John Wiley & Sons , ISBN 978-0-471-56737-0
• Muraleedharan, G .; Рао, AD; Куруп PG; Наир, Н. Унникришнан; Синха, Мурани (2007), «Модифицированное распределение Вейбулла для моделирования и прогнозирования максимальной и значительной высоты волны», Coastal Engineering , 54 (8): 630–638, doi : 10.1016 / j.coastaleng.2007.05.001
• Канифоль, P .; Раммлер, Э. (1933), «Законы, регулирующие тонкость порошкового угля», Журнал Института топлива , 7 : 29–36.
• Сагиас, Северная Каролина; Карагианнидис, ГК (2005). "Многомерные распределения Вейбулла гауссовского класса: теория и приложения в каналах с замираниями". IEEE Transactions по теории информации . 51 (10): 3608–19. DOI : 10.1109 / TIT.2005.855598 . Руководство по ремонту  2237527 .
• Вейбулл, W. (1951), "Статистическая функция распределения широкого применения" (PDF) , Journal of Applied Mechanics , 18 (3): 293–297, Bibcode : 1951JAM .... 18..293W.
• «Распределение Вейбулла» . Справочник по инженерной статистике . Национальный институт стандартов и технологий . 2008 г.
• Нельсон-младший, Ральф (05 февраля 2008 г.). «Диспергирование порошков в жидкостях, Часть 1, Глава 6: Распределение частиц по объему» . Проверено 5 февраля 2008 .

Внешние ссылки [ править ]

• «Распределение Вейбулла» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Mathpages - анализ Вейбулла
• Распределение Вейбулла
• Анализ надежности с помощью Weibull
• Интерактивная графика: одномерные отношения распределения
• Онлайн-построение вероятностей Вейбулла