Масштабный параметр

Эта статья требует дополнительных ссылок для проверки . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , добавив цитаты из надежных источников . Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален Найти источники:  «Параметр масштаба»  -  новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( декабрь 2009 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить это сообщение-шаблон )

В теории вероятностей и статистике , масштабный параметр представляет собой особый вид числового параметра в виде параметрического семейства из вероятностных распределений . Чем больше параметр масштаба, тем более разбросано распределение.

Определение [ править ]

Если семейство вероятностных распределений таково, что существует параметр s (и другие параметры θ ), для которого интегральная функция распределения удовлетворяет

${\ Displaystyle F (х; s, \ theta) = F (x / s; 1, \ theta), \!}$

тогда s называется масштабным параметром , поскольку его значение определяет « масштаб » или статистическую дисперсию распределения вероятностей. Если s велико, то распределение будет более разбросанным; если s мало, то он будет более концентрированным.

Анимация, показывающая влияние параметра масштаба на распределение вероятностей, поддерживаемое положительной действительной линией.

Влияние масштабного параметра на смесь двух нормальных распределений вероятностей

Если плотность вероятности существует для всех значений полного набора параметров, то плотность (как функция только параметра масштаба) удовлетворяет

${\ displaystyle f_ {s} (x) = f (x / s) / s, \!}$

где е является плотностью стандартизированной версии плотности, то есть .${\ Displaystyle е (х) \ эквив f_ {s = 1} (х)}$

Оценка параметра масштаба называется оценкой масштаба.

Семьи с параметрами местоположения [ править ]

В случае, когда параметризованное семейство имеет параметр местоположения , часто используется несколько иное определение, как показано ниже. Если мы обозначим параметр местоположения как , а параметр масштаба , то нам потребуется, чтобы где - cmd для параметризованного семейства. ^[1] Эта модификация необходима для того, чтобы стандартное отклонение нецентрального гауссиана было параметром масштаба, поскольку в противном случае среднее значение изменилось бы при изменении масштаба . Однако это альтернативное определение используется не всегда. ^[2]${\ displaystyle m}$${\ displaystyle s}$${\ Displaystyle F (х; s, м, \ theta) = F ((xm) / s; 1,0, \ theta)}$${\ Displaystyle F (х, s, м, \ theta)}$${\ displaystyle x}$

Простые манипуляции [ править ]

Мы можем записать в терминах следующее:${\ displaystyle f_ {s}}$${\ Displaystyle г (х) = х / с}$

${\ displaystyle f_ {s} (x) = f \ left ({\ frac {x} {s}} \ right) \ cdot {\ frac {1} {s}} = f (g (x)) g ' (Икс).}$

Поскольку f является функцией плотности вероятности, она интегрируется до единицы:

${\displaystyle 1=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,dx=\int _{g(-\infty )}^{g(\infty )}f(x)\,dx.}$

По правилу замены интегрального исчисления, мы тогда имеем

${\displaystyle 1=\int _{-\infty }^{\infty }f(g(x))g'(x)\,dx=\int _{-\infty }^{\infty }f_{s}(x)\,dx.}$

Так тоже правильно нормализовано.${\displaystyle f_{s}}$

Оценить параметр [ редактировать ]

Некоторые семейства распределений используют параметр скорости (или « параметр обратной шкалы »), который является просто обратной величиной параметра шкалы . Так, например, экспоненциальное распределение с параметром масштаба β и плотностью вероятности

${\displaystyle f(x;\beta )={\frac {1}{\beta }}e^{-x/\beta },\;x\geq 0}$

эквивалентно можно записать с параметром скорости λ как

${\displaystyle f(x;\lambda )=\lambda e^{-\lambda x},\;x\geq 0.}$

Примеры [ править ]

• Равномерное распределение может быть параметрироваться с параметром местоположения из и масштабного параметра .${\displaystyle (a+b)/2}$${\displaystyle |b-a|}$
• Нормальное распределение имеет два параметра: параметр местоположения и параметр масштаба . На практике нормальное распределение часто параметризуется с помощью шкалы в квадрате , которая соответствует дисперсии распределения.${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \sigma ^{2}}$
• Гамма - распределение обычно параметризовать в терминах параметра масштаба или его обратного.${\displaystyle \theta }$
• Частные случаи распределений, в которых масштабный параметр равен единице, при определенных условиях можно назвать «стандартными». Например, если параметр местоположения равен нулю, а параметр масштаба равен единице, нормальное распределение известно как стандартное нормальное распределение, а распределение Коши - как стандартное распределение Коши.

Оценка [ править ]

Статистику можно использовать для оценки параметра масштаба, если он:

• Не зависит от местоположения,
• Масштабируется линейно с параметром масштаба, и
• Сходится по мере увеличения размера выборки.

Им удовлетворяют различные меры статистической дисперсии . Чтобы сделать статистику непротиворечивой оценкой для параметра масштаба, необходимо, как правило, умножать статистику на постоянный коэффициент масштабирования . Этот масштабный коэффициент определяется как теоретическое значение значения, полученного путем деления требуемого масштабного параметра на асимптотическое значение статистики. Обратите внимание, что масштабный коэффициент зависит от рассматриваемого распределения.

Например, для того , чтобы использовать медиану абсолютное отклонение (MAD) , чтобы оценить стандартное отклонение от нормального распределения , нужно умножить на коэффициент

${\displaystyle 1/\Phi ^{-1}(3/4)\approx 1.4826,}$

где Φ ⁻¹ - функция квантиля (обратная к кумулятивной функции распределения ) для стандартного нормального распределения. (Подробности см. В MAD .) То есть MAD не является последовательной оценкой для стандартного отклонения нормального распределения, но 1.4826 ... MAD является последовательной оценкой. Точно так же среднее абсолютное отклонение необходимо умножить примерно на 1,2533, чтобы получить последовательную оценку стандартного отклонения. Для оценки стандартного отклонения потребуются различные факторы, если популяция не соответствует нормальному распределению.

См. Также [ править ]

• Основная тенденция
• Инвариантная оценка
• Параметр местоположения
• Семья в масштабе местоположения
• Средне сохраняющий спред
• Статистическая дисперсия
• Масштабная смесь

Ссылки [ править ]

Дальнейшее чтение [ править ]

• Настроение, AM; Graybill, FA; Бос, округ Колумбия (1974). «VII.6.2 Масштабная инвариантность ». Введение в теорию статистики (3-е изд.). Нью-Йорк: Макгроу-Хилл.