Огастес Де Морган

Огастес Де Морган
Огастес де Морган (1806–1871)
Родившийся	( 1806-06-27 )27 июня 1806 г. Мадурай , президентство Мадраса , Британская империя (современная Индия)
Умер	18 марта 1871 г. (1871-03-18)(64 года) Лондон, Англия
Национальность	Британский
Альма-матер	Тринити-колледж , Кембридж
Известен	Законы Де Моргана Алгебра Де Моргана Алгебра отношений Универсальная алгебра
Научная карьера
Поля	Математик и логик
Учреждения	Университетский колледж Лондонский университетский колледж
Академические консультанты	Джон Филипс Хигман Джордж Пикок Уильям Уэвелл
Известные студенты	Эдвард Раут Джеймс Джозеф Сильвестр Фредерик Гатри Уильям Стэнли Джевонс Ада Лавлейс Фрэнсис Гатри Стивен Джозеф Перри
Влияния	Джордж Буль
Под влиянием	Томас Корвин Менденхолл Исаак Тодхантер
Примечания
Он был отцом Уильяма Де Моргана .

Август де Морган (27 июня 1806-18 марта 1871) был британским математиком и логиком . Он сформулировал законы Де Моргана и ввел термин математическая индукция , сделав его идею строгой. ^[1]

Биография [ править ]

Детство [ править ]

Август Де Морган родился в Мадурае , Индия, в 1806 году. ^[ A ^] Его отцом был подполковник Джон Де Морган (1772–1816), который занимал различные должности на службе в Ост-Индской компании . Его мать, Элизабет Додсон (1776–1856), была потомком Джеймса Додсона , который вычислил таблицу антилогарифмов, то есть чисел, соответствующих точным логарифмам.. Огастес Де Морган ослеп на один глаз через месяц или два после рождения. Семья переехала в Англию, когда Августу было семь месяцев. Поскольку его отец и дед оба родились в Индии, Де Морган имел обыкновение говорить, что он не был ни англичанином, ни шотландцем, ни ирландцем, а был британцем, «непривязанным», используя технический термин, применяемый к студенту Оксфорда или Кембриджа, который является не состоит ни в одном из колледжей.

Когда Де Моргану было десять лет, умер его отец. Миссис Де Морган жила в разных местах на юго-западе Англии, а ее сын получил начальное образование в различных школах, не имеющих большого значения. Его математические способности оставались незамеченными, пока ему не исполнилось четырнадцать, когда друг семьи обнаружил, что он рисовал фигуру Евклида с помощью линейки и циркуля . Она объяснила цель Евклида Августу и дала ему посвящение в демонстрацию.

Он получил среднее образование у мистера Парсонса, сотрудника Ориэл-колледжа в Оксфорде , который ценил классику больше, чем математику. Его мать была активным и горячим членом англиканской церкви и желала, чтобы ее сын стал священником, но к этому времени Де Морган начал проявлять свое несоответствующее расположение. Он стал атеистом. ^{[2] [3]}

В нашем языке есть слово, с которым я не буду путать этот предмет, как из-за бесчестного использования, которое часто используется в качестве вменения одной секты другой, так и из-за разнообразия придаваемых ему значений. Я буду использовать слово «антидеизм», чтобы обозначить мнение о том, что не существует Создателя, который создал и поддерживает Вселенную.

-  Де Морган 1838 , стр. 22

Университетское образование [ править ]

В 1823 году , в возрасте шестнадцати лет, он поступил в Тринити - колледж, Кембридж , ^[4] , где он попал под влиянием Джорджа павлина и Уэвелл , который стал его друзьями на всю жизнь; в первом он черпал интерес к обновлению алгебры, а во втором - к обновлению логики - двух темах работы его будущей жизни. Его наставником в колледже был Джон Филипс Хигман , ФРС (1793–1855).

В колледже он играл на флейте для развлечения и был известным в музыкальных клубах. Его любовь к знаниям как таковым мешала тренировкам для большой математической расы; как следствие он вышел четвертым спорщиком . Это дало ему право на степень бакалавра искусств; но чтобы получить более высокую степень магистра искусств и, таким образом, получить право на стипендию, необходимо было пройти богословский экзамен. Против подписания любого такого теста Де Морган чувствовал сильное возражение, хотя он был воспитан в англиканской церкви. Примерно в 1875 г. в Оксфордском и Кембриджском университетах были отменены богословские экзамены на получение ученых степеней.

Лондонский университет [ править ]

Поскольку в его собственном университете ему не было возможности сделать карьеру, он решил поступить в Коллегию адвокатов и поселился в Лондоне; но он предпочитал преподавать математику чтению закона. Примерно в это время движение за основание Лондонского университета (ныне Университетский колледж Лондона)) принять форму. Два древних университета, Оксфорд и Кембридж, были настолько защищены теологическими экзаменами, что ни один еврей или инакомыслящий за пределами англиканской церкви не мог поступить как студент, а тем более быть назначенным на какую-либо должность. Группа либерально настроенных людей решила решить эту проблему, основав в Лондоне университет на принципах религиозного нейтралитета. Де Морган, которому тогда было 22 года, был назначен профессором математики. Его вводная лекция «Изучение математики» - это беседа о психологическом образовании, имеющая постоянную ценность, и недавно она была переиздана в США. ^{[ необходима цитата ]}

Лондонский университет был новым учреждением, и отношения между Советом управления, Сенатом профессоров и студентами не были четко определены. Между профессором анатомии и его учениками возник спор, и в результате действий Совета несколько профессоров подали в отставку во главе с Де Морганом. Был назначен еще один профессор математики, который через несколько лет утонул. Де Морган показал себя принцем учителей: его пригласили вернуться на свое кресло, которое впоследствии стало центром его трудов на тридцать лет.

Тот же самый совет реформаторов - во главе с лордом Брумом , выдающимся в науке и политике шотландцем, основавшим Лондонский университет, - основал примерно в то же время Общество по распространению полезных знаний . Его целью было распространение научных и других знаний с помощью дешевых и четко написанных трактатов лучших писателей того времени. Одним из самых объемных и эффективных авторов был Де Морган. Он написал большую работу «Дифференциальное и интегральное исчисление», которая была опубликована Обществом; и он написал шестую часть статей в Penny Cyclopedia , издаваемых Обществом и выпускаемых копейками. Когда Де Морган переехал в Лондон, он нашел близкого друга в лице Уильяма Френда., несмотря на его математическую ересь об отрицательных величинах. Оба были арифметиками и актуариями, и их религиозные взгляды были в чем-то схожи. Френд жил в тогдашнем пригороде Лондона, в загородном доме, который раньше занимали Дэниел Дефо и Исаак Уоттс . Де Морган со своей флейтой был желанным гостем.

Лондонский университет, профессором которого был Де Морган, отличался от Лондонского университета.. Лондонский университет был основан примерно десятью годами позже правительством с целью присвоения ученых степеней после экзаменов без каких-либо ограничений по месту жительства. Лондонский университет был связан как педагогический колледж с Лондонским университетом, и его название было изменено на Университетский колледж. Лондонский университет не имел успеха в качестве экзаменационной комиссии; требовался педагогический университет. Де Морган был очень успешным учителем математики. Он планировал читать лекцию в течение часа и в конце каждой лекции выдавать ряд задач и примеров, иллюстрирующих предмет, по которому он читал лекцию; его студенты должны были сесть к ним и принести ему результаты, которые он просмотрел и вернул исправленными перед следующей лекцией. По мнению Де Моргана,Полное понимание и умственное усвоение великих принципов намного перевешивает важность любой чисто аналитической ловкости в применении полупонятных принципов к конкретным случаям.

В этот период он также продвигал работу индийского математика- самоучки Рамчундры , которого называли Рамануджаном Де Моргана . Он руководил публикацией в Лондоне книги Рамчундры « Трактат о проблемах максимумов и минимумов» в 1859 году. Во введении к этой книге он признал, что знаком с индийской традицией логики, хотя неизвестно, оказало ли это какое-либо влияние на него самого. работай.

Семья [ править ]

Август был одним из семи детей, четверо из которых дожили до взрослого возраста.

• Элиза (1801–1836) вышла замуж за Льюиса Хенсли, хирурга, жившего в Бате.
• Август (1806–1871)
• Джордж (1808–1890), адвокат, который женился на Жозефине, дочери вице-адмирала Джозайи Когхилла, 3-го баронета Когхилла
• Кэмпбелл Грейг (1811–1876), хирург из больницы Мидлсекс.

Осенью 1837 года он женился на Софии Элизабет Френд (1809–1892), старшей дочери Уильяма Френда (1757–1841) и Сары Блэкберн (1779–?), Внучки Фрэнсиса Блэкберна (1705–1787), архидиакона Кливленда. . ^[5]

У Де Моргана было три сына и четыре дочери, в том числе автор сказок Мэри де Морган . Его старшим сыном был гончар Уильям Де Морган . Его второй сын Джордж получил диплом по математике в Университетском колледже и Лондонском университете. Он и другой выпускник-единомышленник задумали основать математическое общество в Лондоне, где математические работы будут не только приниматься (как Королевское общество ), но и фактически читаться и обсуждаться. Первая встреча прошла в Университетском колледже; Де Морган был первым президентом, его сын - первым секретарем. Это было начало Лондонского математического общества .

Пенсия и смерть [ править ]

В 1866 году кафедра ментальной философии в Университетском колледже освободилась. Джеймс Мартино , священнослужитель- унитарий и профессор ментальной философии, был официально рекомендован Сенатом Совету; но в Совете были одни возражали против унитарианского духовенства, другие - против теистической философии. Мирянин из школы Бэйна и Спенсерабыл назначен. Де Морган посчитал, что старый стандарт религиозного нейтралитета был нарушен, и немедленно подал в отставку. Ему было теперь 60 лет. Ученики обеспечили ему пенсию в размере 500 фунтов стерлингов в год, но затем последовали несчастья. Двумя годами позже его сын Джордж - «младший Бернулли», как Август любил слышать его называние, намекнув на выдающихся математиков-отцов и сыновей с таким именем, - умер. За этим ударом последовала смерть дочери. Через пять лет после ухода из университетского колледжа Де Морган умер от нервной прострации 18 марта 1871 года.

Математическая работа [ править ]

Де Морган был блестящим и остроумным писателем, будь то полемист или корреспондент. В его время процветали два сэра Уильяма Гамильтона, которых часто объединяли. Одним из них был сэр Уильям Гамильтон, девятый баронет (то есть его титул был унаследован), шотландец, профессор логики и метафизики в Эдинбургском университете ; другой - рыцарь (то есть завоевавший титул), ирландец, профессор астрономии Дублинского университета. Баронет внес вклад в логику, особенно в учение о количественной оценке сказуемого; рыцарь, полное имя которого было Уильям Роуэн Гамильтон , внес вклад в математику, особенно в геометрическую алгебру , и первым описал кватернионы. Де Морган интересовался работой обоих и переписывался с обоими; но переписка с шотландцем закончилась публичной полемикой, тогда как переписка с ирландцем была отмечена дружбой и закончилась только смертью. В одном из своих писем к Роуэну Де Морган говорит:

Да будет вам известно, что я обнаружил, что вы и другой сэр WH являются взаимными полярниками по отношению ко мне (интеллектуально и морально, поскольку шотландский баронет - белый медведь, а вы, я собирался сказать, полярный джентльмен ). Когда я отправляю небольшое расследование в Эдинбург, такой человек говорит, что я взял это у него. Когда я отправляю вам одну, вы берете ее у меня, обобщаете с первого взгляда, дарите ее таким образом обобщенному обществу в целом и делаете меня вторым открывателем известной теоремы.

Переписка Де Моргана с математиком Гамильтоном длилась более двадцати четырех лет; он содержит обсуждения не только математических вопросов, но и вопросов, представляющих общий интерес. Он отмечен доброжелательностью со стороны Гамильтона и остроумием со стороны Де Моргана. Вот пример: Гамильтон писал:

Моя копия работы Беркли не моя; как Беркли, знаете, я ирландец.

Де Морган ответил:

Ваша фраза «моя копия не моя» - не булл . Совершенно неплохо использовать одно и то же слово в двух разных смыслах в одном предложении, особенно когда есть употребление. Несовместимость языка - не ерунда, поскольку выражает смысл. Но несоответствие идей (как в случае с ирландцем, который натягивал веревку и обнаружил, что она не кончилась, закричал, что кто-то отрезал ее другой конец) - настоящий бык.

Де Морган был полон личных особенностей. По случаю назначения его друга лорда Брумэна ректором Эдинбургского университета Сенат предложил присвоить ему почетную степень LL. D .; он отказался от этой чести как неправильного слова. Однажды он напечатал свое имя: Август Де Морган, H - O - M - O - P - A - U - C - A - R - U - M - L - I - T - E - R - A - R - U - М (латинское для «немногословного человека»). ^{[ необходима цитата ]}

Ему не нравились провинции за пределами Лондона, и, хотя его семья наслаждалась морем, а люди науки хорошо проводили время на собрании Британской ассоциации в стране, он оставался в жарких и пыльных библиотеках мегаполиса. Он сказал, что чувствовал себя Сократом , который заявил, что чем дальше он от Афин, тем дальше он от счастья. Он никогда не стремился стать членом Королевского общества и никогда не посещал собрания Общества; он сказал, что у него нет общих идей или симпатий с физическим философом. Его отношение, вероятно, было связано с его физическим недугом, который не позволял ему быть ни наблюдателем, ни экспериментатором. Он никогда не голосовал на выборах и никогда не посещалПалата общин , Лондонский Тауэр или Вестминстерское аббатство .

Если бы труды Де Моргана, такие как его вклады в Общество полезного знания, были опубликованы в виде сборников, они составили бы небольшую библиотеку. В основном благодаря усилиям Пикока и Уэвелла в Кембридже было открыто философское общество, и Де Морган внес в его труды четыре мемуара по основам алгебры и столько же по формальной логике. Лучшее изложение его взглядов на алгебру можно найти в томе « Тригонометрия и двойная алгебра» , опубликованном в 1849 году; и его более ранний взгляд на формальную логику можно найти в томе, опубликованном в 1847 году. Его самая отличительная работа носит название «Бюджет парадоксов» ; первоначально оно появилось в виде букв в столбцах Афинэумажурнал; он был пересмотрен и расширен Де Морганом в последние годы его жизни и был опубликован посмертно его вдовой.

Теория алгебры Джорджа Пикока была значительно улучшена Д. Ф. Грегори , младшим членом Кембриджской школы, который делал упор не на постоянство эквивалентных форм, а на постоянство некоторых формальных законов. Эта новая теория алгебры как науки о символах и их законах сочетания была доведена до логического завершения Де Морганом; и его учению по этому вопросу до сих пор придерживаются английские алгебраисты в целом. Так Джордж Кристал основал свой Учебник алгебры по теории Де Моргана; хотя внимательный читатель может заметить, что он практически отказывается от нее, когда берется за предмет бесконечных рядов. Теория Де Моргана изложена в его томе по тригонометрии и двойной алгебре., где в книге II, главе II, озаглавленной «О символической алгебре», он пишет:

Отказавшись от значений символов, мы также отказываемся от значений слов, которые их описывают. Таким образом , в настоящий момент добавление должно быть пустым звуком. Это режим комбинирования, представленный ; когда получит свое значение, то же самое будет и со словом сложение . Очень важно, чтобы учащийся имел в виду, что, за одним исключением , ни одно слово или знак арифметики или алгебры не имеет одного атома значения в этой главе, объектом которого являются символы и их законы сочетания, дающие символическое значение. алгебра, которая в дальнейшем может стать грамматикой сотни различных значимых алгебр . Если бы кто-нибудь утверждал это и${\ displaystyle +}$${\ displaystyle +}$${\ displaystyle +}$${\ displaystyle -}$может означать вознаграждение и наказание, и , , и т.д. может стоять добродетели и пороки, читатель может верить ему, или противоречить ему, как ему угодно, но не из этой главы.${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle C}$

Единственное отмеченное выше исключение, имеющее некоторую долю значения, - это знак, помещенный между двумя символами, например . Это указывает на то, что два символа имеют одинаковое результирующее значение, независимо от того, какие шаги были достигнуты. Это и , если количества, - это одно и то же количество; что если операции, они имеют одинаковый эффект и т. д.${\ displaystyle =}$${\ displaystyle A = B}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$

Тригонометрия и двойная алгебра [ править ]

Работа Де Моргана « Тригонометрия и двойная алгебра» ^[6] состоит из двух частей; первый из которых является трактатом по тригонометрии , а второй - трактатом по обобщенной алгебре, которую он назвал «двойной алгеброй». Первый этап в развитии алгебры - арифметика , где используются только натуральные числа и символы операций, такие как + , × и т. Д. Следующим этапом является универсальная арифметика , где вместо чисел появляются буквы, чтобы обозначить числа универсально, и процессы выполняются без знания значений символов. Пусть a и b обозначают любые натуральные числа. Такое выражение, какa - b все еще может быть невозможно, поэтому в универсальной арифметике всегда есть оговорка, если операция возможна . Третий этап - единичная алгебра , где символ может обозначать количество вперед или количество назад, и адекватно представлен отрезками на прямой, проходящей через начало координат. Тогда отрицательные количества больше не невозможны; они представлены обратным сегментом. Но невозможность все же остается в последней части такого выражения, как a + b √ −1, которое возникает при решении квадратного уравнения. Четвертый этап - двойная алгебра. Алгебраический символ обычно обозначает отрезок прямой на данной плоскости. Это двойной символ, потому что он включает в себя две характеристики, а именно длину и направление; и √ −1 интерпретируется как обозначение квадранта. Выражение a + b √ -1 тогда представляет линию на плоскости, имеющую абсциссу a и ординату b . Арган и Уоррен так далеко развили двойную алгебру, но они не смогли интерпретировать на основе этой теории такое выражение, как e ^{a √ −1} . Де Морган попытался это сделать, приведя такое выражение к виду b + q √ −1, и он считал, что показал, что это всегда можно уменьшить. Замечательный факт заключается в том, что эта двойная алгебра удовлетворяет всем перечисленным выше фундаментальным законам, и, поскольку каждая кажущаяся невозможной комбинация символов была интерпретирована, она выглядит как законченная форма алгебры. В главе 6 он представил гиперболические функции и обсудил связь общей и гиперболической тригонометрии.

Если приведенная выше теория верна, следующей стадией развития должна быть тройная алгебра, и если a + b √ −1 действительно представляет линию в данной плоскости, должно быть возможно найти третий член, который, добавленный к вышеупомянутому, представляют собой линию в пространстве. Арган и некоторые другие предположили, что это a + b √ −1 + c √ −1 ^{√ −1,} хотя это противоречит истине, установленной Эйлером о том, что √ −1 ^{√ −1} = e ^{−π / 2}. Де Морган и многие другие много работали над проблемой, но ничего не вышло, пока проблема не была взята на себя Гамильтон. Теперь мы ясно видим причину: символ двойной алгебры обозначает не длину, а направление; но множитель и угол . В нем углы приурочены к одной плоскости. Следовательно, следующим этапом будет четверная алгебра, когда ось плоскости сделана переменной. И это дает ответ на первый вопрос; двойная алгебра - не что иное, как тригонометрия аналитической плоскости, и именно поэтому было обнаружено, что она является естественным анализом переменных токов. Но Де Морган так далеко не зашел. Он умер с верой в то, что «двойная алгебра должна оставаться полным развитием концепций арифметики в том, что касается тех символов, которые арифметика непосредственно предполагает».

В главе II книги II, следуя процитированному выше отрывку о теории символической алгебры, Де Морган переходит к описанию основных символов алгебры, а также к описанию законов алгебры. Символы , , , , , , ⁽⁾${\ displaystyle 0}$${\ displaystyle 1}$${\ displaystyle +}$${\ displaystyle -}$${\displaystyle \times }$${\displaystyle \div }$${\displaystyle ()}$, и буквы; только эти, все остальные - производные. Как объясняет Де Морган, последний из этих символов представляет собой написание последнего выражения в верхнем индексе над первым и после него. Его перечень основных законов состоит из четырнадцати заголовков, но некоторые из них являются просто определениями. Предыдущий список символов находится под первым из этих заголовков. Собственно законы могут быть сведены к следующему, который, как он допускает, не все независимы друг от друга, «но несимметричный характер экспоненциальной операции и отсутствие связующего процесса и ... делает необходимым изложить их отдельно »:${\displaystyle +}$${\displaystyle \times }$

1. Законы идентичности. ${\displaystyle a=0+a}$ ${\displaystyle =+a}$ ${\displaystyle =a+0}$ ${\displaystyle =a-0}$ ${\displaystyle =1\times a}$ ${\displaystyle =\times a}$ ${\displaystyle =a\times 1}$ ${\displaystyle =a\div 1}$ ${\displaystyle =0+1\times a}$
2. Закон знаков. ${\displaystyle +(+a)=+a,}$ ${\displaystyle +(-a)=-a,}$ ${\displaystyle -(+a)=-a,}$ ${\displaystyle -(-a)=+a,}$ ${\displaystyle \times (\times a)=\times a,}$ ${\displaystyle \times (\div a)=\div a,}$ ${\displaystyle \div (\times a)=\div a,}$ ${\displaystyle \div (\div a)=\times a}$
3. Коммутативный закон. ${\displaystyle a+b=b+a,}$ ${\displaystyle a\times b=b\times a}$
4. Распределительное право. ${\displaystyle a(b+c)=ab+ac,}$ ${\displaystyle a(b-c)=ab-ac,}$ ${\displaystyle (b+c)\div a=(b\div a)+(c\div a),}$ ${\displaystyle (b-c)\div a=(b\div a)-(c\div a)}$
5. Законы индекса. ${\displaystyle a^{0}=1,}$ ${\displaystyle a^{1}=a,}$ ${\displaystyle (a\times b)^{c}=a^{c}\times b^{c},}$ ${\displaystyle a^{b}\times a^{c}=a^{b+c},}$ ${\displaystyle (a^{b})^{c}=a^{b\times c}}$

Де Морган заявляет, что дает полный перечень законов, которым должны подчиняться символы алгебры, поскольку он говорит: «Любая система символов, подчиняющаяся этим правилам и никаким другим, за исключением того, что они образованы комбинацией этих правил, - и которая использует предыдущие символы и никакие другие - за исключением новых символов, изобретенных для сокращения комбинаций этих символов - является символической алгеброй ». С его точки зрения, ни один из вышеперечисленных принципов не является правилами; это формальные законы, то есть произвольно выбранные отношения, которым должны подчиняться алгебраические символы. Он не упоминает о законе, который уже указывал Григорий, а именно, и которому впоследствии было дано название Закон ассоциации . Если коммутативный закон не работает, ассоциативный может оставаться в силе; но нет${\displaystyle (a+b)+c=a+(b+c),(ab)c=a(bc)}$наоборот . К несчастью для символиста или формалиста, в универсальной арифметике не равно ; ибо тогда коммутативный закон имел бы полную силу. Почему он не дает этому в полной мере? Потому что основы алгебры, в конце концов, реальны, а не формальны, материальные, а не символические. Для формалистов операции с индексами чрезвычайно непрактичны, вследствие чего некоторые не принимают их во внимание, а относят к прикладной математике. ^{[ необходимая цитата ]} Составить перечень законов, которым должны подчиняться символы алгебры, является невыполнимой задачей и немало напоминает о задаче тех философов, которые пытаются дать перечень априорных знаний о разуме. ^[${\displaystyle m^{n}}$${\displaystyle n^{m}}$^{цитата необходима ][ оригинальное исследование? ]}

Формальная логика [ править ]

Когда в Кембриджском университете возродилось изучение математики, вместе с ним и изучение логики. Воодушевляющим духом был Уэвелл, магистр Тринити-колледжа, основными работами которого были « История индуктивных наук» и « Философия индуктивных наук» . Несомненно, на Де Моргана в своих логических исследованиях повлиял Уэвелл; но другими влиятельными современниками были сэр Уильям Роуэн Гамильтон из Дублина и Джордж Буль из Корка. Работа Де Моргана « Формальная логика» , опубликованная в 1847 году, главным образом примечательна его развитием численно определенного силлогизма . Последователи Аристотеля говорят, что из двух конкретных положений, таких какНекоторые M - это A , а некоторые M - это B. Из-за необходимости ничего не следует об отношении A и B. Но они идут дальше и говорят, что для того, чтобы любое отношение к A и B могло развиваться по необходимости, средний термин должен использоваться универсально в одной из предпосылок. Де Морган отметил, что от Большинства M является это и большинство РТА B это вытекает из необходимости , что некоторые А являются Б , и он сформулировал численно определенный силлогизм , который ставит этот принцип в точной количественной форме. Предположим, что количество M равно , M, которые являются A, равно , и M, которые являются B, равно ; то есть как минимум${\displaystyle m}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle (a+b-m)}$А это Б. Предположим, что на борту парохода было 1000 душ, 500 находились в салоне и 700 погибли. Из этого по необходимости следует, что погибло не менее 700 + 500 - 1000, то есть 200 седанов. Этого единственного принципа достаточно, чтобы доказать справедливость всех аристотелевских настроений. Следовательно, это фундаментальный принцип необходимых рассуждений.

Здесь Де Морган сделал большой шаг вперед, введя количественную оценку терминов . В то время сэр Уильям Гамильтон преподавал в Эдинбурге доктрину количественной оценки сказуемого, и возникла переписка. Однако Де Морган вскоре понял, что количественная оценка Гамильтона носит иной характер; что это означало, например, замену двух форм . Все A - это все B , а все A - это часть B для аристотелевской формы. Все A - это B.. Гамильтон подумал, что он поместил краеугольный камень в арку Аристотеля, как он это сформулировал. Хотя, должно быть, это была любопытная арка, которая могла бы простоять 2000 лет без замкового камня. Как следствие, у него не было места нововведениям Де Моргана. Он обвинил Де Моргана в плагиате, и спор бушевал в течение многих лет в колонках Athenum и в публикациях двух писателей.

Мемуары по логике, которые Де Морган внес в « Труды Кембриджского философского общества» после публикации его книги « Формальная логика», являются, безусловно, наиболее важным вкладом, который он внес в науку, особенно его четвертые мемуары, в которых он начинает работу в широкое поле «логики родственников».

Бюджет парадоксов [ править ]

Во введении к Бюджету парадоксов Де Морган объясняет, что он имеет в виду под этим словом:

Очень многие люди с момента появления математического метода, каждый за себя, атаковали его прямые и косвенные последствия. Я назову каждого из этих людей парадоксом , а его систему - парадоксом . Я использую это слово в старом смысле: парадокс - это что-то, что находится вне общего мнения, будь то предмет, метод или заключение. Многие из предложенных вещей теперь будут называться вязанием крючком , что является ближайшим словом, которое у нас есть для старого парадокса . Но есть разница в том, что, называя вещь крючком, мы имеем в виду легкомысленно говорить о ней; что не было необходимым чувством парадокса. Так, в XVI веке многие говорили о движении Земли как о парадоксе Коперника.и очень высоко ценил изобретательность этой теории, а некоторые, я думаю, даже склонялись к ней. В семнадцатом веке потеря смысла имела место, по крайней мере, в Англии.

Как можно отличить звуковой парадокс от ложного парадокса? Де Морган предлагает следующий тест:

То, как парадоксальный человек проявит себя в смысле рассудительности или бессмыслицы, будет зависеть не от того, что он утверждает, а от того, достаточно ли он осведомлен о том, что сделали другие, особенно в отношении способа поведения. делая это, перед изобретением знания для себя ... Новое знание для любой цели должно прийти через созерцание старого знания во всех вопросах, касающихся мысли; механические приспособления иногда, не очень часто, избегают этого правила. Все люди, которых сейчас называют первооткрывателями, в каждом вопросе, управляемом мыслью, были людьми, сведущими в умах своих предшественников и изучившими то, что было до них. Нет ни одного исключения.

Бюджет состоит из обзора большой коллекции парадоксальных книг , которые накопились де Морган в своей библиотеке, частично путем покупки в этажерках, отчасти из книг , присланных ему на рассмотрение, отчасти из книг , присланных ему авторы. Он дает следующую классификацию: квадратики круга, трисектора угла, дубликаторы куба, конструкторы вечного движения, разрушители гравитации, застоявшиеся земли, строители вселенной. Вы все еще найдете образцы всех этих классов в Новом Свете и в новом веке. Де Морган делится своими знаниями о парадоксах.

Я подозреваю, что знаю английский язык больше, чем кто-либо в Британии. Я никогда не вёл никаких счетов: но я знаю, что один год с другим? и меньше в последние годы, чем в более раннее время? - Я разговаривал более чем с пятью в год, давая более ста пятидесяти образцов. В этом я уверен, что это моя вина, если их не было тысячи. Никто не знает, как они роятся, кроме тех, к кому они прибегают. Они всех рангов и профессий, любого возраста и характера. Это очень серьезные люди, и их цель - добросовестное распространение их парадоксов. Очень многие - в действительности масса - неграмотны, многие растрачивают свои средства и находятся в нищете или приближаются к ней. Эти первооткрыватели презирают друг друга.

Парадоксом, которому Де Морган сделал комплимент, который Ахиллес сделал Гектору - снова и снова таскал его по стенам, - был Джеймс Смит, успешный купец из Ливерпуля. Он нашел . Его рассуждения представляли собой любопытную карикатуру на reductio ad absurdum Евклида. Он сказал «пусть» , а затем показал, что, исходя из этого предположения, любое другое значение должно быть абсурдным. Следовательно, это истинное значение. Ниже приводится пример того, как Де Морган волочился по стенам Трои:${\displaystyle \pi =3{\tfrac {1}{8}}}$${\displaystyle \pi =3{\tfrac {1}{8}}}$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle \pi =3{\tfrac {1}{8}}}$

Мистер Смит продолжает писать мне длинные письма, на которые он намекает, что я должен ответить. В его последнем из 31 тщательно написанных сторон листочков, он сообщает мне, со ссылкой на мое упрямом молчание, что , хотя я думаю , что сам , и я думал , что другие , чтобы быть математическим Голиаф, я решил играть математическую улитку, и держать внутри моей оболочки. Математическая улитка ! Это не может быть так называемая вещь, которая регулирует бой часов; поскольку это означало бы, что я должен заставить мистера Смита озвучить истинное время дня, что я ни в коем случае не предпринял бы для часов, которые показывают разницу в 19 секунд в каждом часе на ложное квадративное значение . Но он осмеливается сказать мне, что камешки из пращи простой истины и здравого смысла в конечном итоге сломают мою раковину и выведут меня из строя.${\displaystyle \pi }$. Забавно смешение образов: Голиаф превратился в улитку, которой нужно было избегать, и Джеймс Смит, эсквайр, из Совета дока Мерси: и выбил из строя гальку с пращи. Если бы Голиаф влез в раковину улитки, Давид сломал бы филистимлянина ногой. Есть что-то вроде скромности в том, что камешек из трещинной раковины еще не подействовал; Можно было подумать, что пращник к этому времени уже пел - И трижды [с одной восьмой] я разбил всех своих врагов, И трижды [с одной восьмой] я убил убитых.${\displaystyle \pi =3{\tfrac {1}{8}}}$

В области чистой математики Де Морган мог легко отличить ложь от истинного парадокса; но он не был настолько опытным в области физики. Его тесть был парадоксальным, а его жена парадоксальным; и, по мнению философов-физиков, самому Де Моргану почти не удалось спастись. Его жена написала книгу, описывающую явления спиритизма, стучания по столу, переворачивания стола и т. Д .; и Де Морган написал предисловие, в котором он сказал, что он знает некоторые из утвержденных фактов, верит другим на основании показаний, но не претендует на то, что знает , были ли они вызваны духами или имели какое-то неизвестное и невообразимое происхождение. Из этой альтернативы он исключил обычные материальные причины. Фарадей прочитал лекцию о спиритизме, в котором он заявил, что в исследовании мы должны исходить из идеи того, что физически возможно или что невозможно; Де Морган этому не поверил.

Отношения [ править ]

Де Морган разработал исчисление отношений в своей программе предложенной системы логики (1966: 208–46), впервые опубликованной в 1860 году. Де Морган смог показать, что рассуждение с помощью силлогизмов можно заменить композицией отношений . ^[7] Исчисление было описано как логика родственников по Чарльзу Сандерса Пирса , который восхищался Де Морганом и встретился с ним незадолго до его смерти. Исчисление было далее расширено в третьем томе книги Эрнста Шредера « Vorlesungen über die Algebra der Logik» . Бинарные отношения , особенно теория порядка, Оказалось критическим для Principia Mathematica из Бертрана Рассела и Альфреда Норта Уайтхеда . В свою очередь, это исчисление стало предметом дальнейших исследований, начиная с 1940 года, Альфреда Тарски и его коллег и студентов из Калифорнийского университета .

Спиритизм [ править ]

Позже Де Морган заинтересовался феноменом спиритизма . В 1849 году он исследовал ясновидение и был впечатлен этим предметом. Позже он проводил исследования паранормальных явлений в собственном доме с американской медиумом Марией Хайден. Результат этих расследований позже опубликовала его жена София. Де Морган считал, что его карьера ученого могла бы пострадать, если бы он проявил интерес к изучению спиритизма, поэтому он помог опубликовать книгу анонимно. ^[8] Книга была опубликована в 1863 году под названием « От материи к духу: результат десятилетнего опыта духовных проявлений» .

По словам историка Джанет Оппенгейм , жена Де Моргана София была убежденным спиритуалистом, но Де Морган разделял позицию третьего пути в отношении спиритических феноменов, которую Оппенгейм определил как «выжидательную позицию»; он не был ни верующим, ни скептиком. Напротив, его точка зрения заключалась в том, что методология физических наук не исключает автоматически психические явления и что такие явления могут быть объяснены во времени возможным существованием естественных сил, которые физики еще не определили. ^[9]

В предисловии к книге « От материи к духу» (1863 г.) Де Морган заявил:

Считая весьма вероятным, что во Вселенной может быть несколько агентств - скажем, полмиллиона - о которых никто ничего не знает, я не могу не подозревать, что небольшая часть этих агентств - скажем, пять тысяч - может быть в той или иной степени компетентна в производстве все [спиритуалистические] феномены, или, возможно, вполне справляются с задачей среди них. Физические объяснения, которые я видел, просты, но ужасно недостаточны: спиритуалистическая гипотеза достаточна, но чрезвычайно трудна. Время и размышления решат, второй спросит у первого больше результатов испытания.

Психолог Джон Белофф писал, что Де Морган был первым известным ученым в Великобритании, проявившим интерес к изучению спиритизма, и его исследования повлияли на решение Уильяма Крукса также изучать спиритизм. Белофф также утверждает, что Де Морган был атеистом, и поэтому ему отказали в должности в Оксфорде или Кембридже. ^[10]

Наследие [ править ]

Помимо его великого математического наследия, штаб-квартира Лондонского математического общества называется Дом Де Моргана, а студенческое общество математического факультета Лондонского университетского колледжа называется Обществом Августа Де Моргана.

Кратер Де Морган на Луне назван в его честь.

Избранные произведения [ править ]

См. Также [ править ]

• Закон Мерфи

Ссылки [ править ]

Примечания [ править ]

Цитаты [ править ]

Источники [ править ]

Дальнейшее чтение [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

В Wikisource есть оригинальные работы, написанные Августом Де Морганом или о нем.

В Wikiquote есть цитаты, связанные с: Августом Де Морганом

• СМИ, связанные с Августом Де Морганом на Викискладе?
• Работы Августа Де Моргана в Project Gutenberg
• Работы Августа Де Моргана или о нем в Internet Archive
• Работы Августа Де Моргана в LibriVox (аудиокниги в общественном достоянии)
• О'Коннор, Джон Дж .; Робертсон, Эдмунд Ф. , «Огастес Де Морган» , архив истории математики MacTutor , Сент-Эндрюсский университет.
• Документы Августа Де Моргана хранятся в библиотеке Сената Лондонского университета
• Библиотека Августа Де Моргана
• «Архивные материалы, касающиеся Августа Де Моргана» . Национальный архив Великобритании .
• Портреты Августа де Моргана в Национальной портретной галерее, Лондон