Функции Бесселя , сначала определенные математиком Даниэлем Бернулли, а затем обобщенные Фридрихом Бесселем , являются каноническими решениями y ( x ) дифференциального уравнения Бесселя
для произвольного комплексного числа α - порядок функции Бесселя. Хотя α и - α создают одно и то же дифференциальное уравнение, принято определять разные функции Бесселя для этих двух значений таким образом, чтобы функции Бесселя в основном были гладкими функциями α .
Наиболее важные случаи, когда α является целым или полуцелым числом . Функции Бесселя для целого числа α также известны как цилиндрические функции или цилиндрические гармоники, потому что они появляются в решении уравнения Лапласа в цилиндрических координатах . Сферические функции Бесселя с полуцелым числом α получаются при решении уравнения Гельмгольца в сферических координатах .
Приложения функций Бесселя
Уравнение Бесселя возникает при нахождении отделимых решений уравнения Лапласа и уравнения Гельмгольца в цилиндрических или сферических координатах . Поэтому функции Бесселя особенно важны для многих задач распространения волн и статических потенциалов. При решении задач в цилиндрических системах координат получаются функции Бесселя целого порядка ( α = n ); в сферических задачах получаются полуцелые порядки ( α = n +1/2). Например:
- Электромагнитные волны в цилиндрическом волноводе
- Амплитуды давления невязких вращательных потоков.
- Теплопроводность в цилиндрическом объекте
- Режимы вибрации тонкой круглой (или кольцевой) акустической мембраны (например, барабана или другого мембранофона )
- Задачи диффузии на решетке
- Решения радиального уравнения Шредингера (в сферической и цилиндрической координатах) для свободной частицы
- Решение шаблонов акустического излучения
- Частотно-зависимое трение в трубопроводах круглого сечения
- Динамика плавающих тел
- Угловое разрешение
- Дифракция от спиральных объектов, включая ДНК
- Функция плотности вероятности произведения двух нормально распределенных случайных величин
Функции Бесселя также появляются в других задачах, таких как обработка сигналов (например, см. FM-синтез , окно Кайзера или фильтр Бесселя ).
Определения
Поскольку это линейное дифференциальное уравнение второго порядка, должно быть два линейно независимых решения. Однако в зависимости от обстоятельств удобны различные составы этих растворов. Различные варианты приведены в таблице ниже и описаны в следующих разделах.
Тип Первый вид Второй вид Функции Бесселя J α Y α Модифицированные функции Бесселя I α К α Функции Ганкеля ЧАС(1)
α= J α + iY αЧАС(2)
α= J α - iY αСферические функции Бесселя j n да н Сферические функции Ганкеля час(1)
п= j n + iy nчас(2)
п= j n - iy n
Функции Бесселя второго рода и сферические функции Бесселя второго рода иногда обозначают N n и n n соответственно, а не Y n и y n . [1] [2]
Функции Бесселя первого рода: J α
Функции Бесселя первого рода, обозначаемые как J α ( x ) , являются решениями дифференциального уравнения Бесселя. Для целого или положительного α функции Бесселя первого рода конечны в начале координат ( x = 0 ); в то время как для отрицательного нецелого α функции Бесселя первого рода расходятся при приближении x к нулю. Функцию можно определить, разложив ее в ряд вокруг x = 0 , что можно найти, применив метод Фробениуса к уравнению Бесселя: [3]
где Γ ( z ) - гамма-функция , сдвинутое обобщение факториальной функции на нецелые значения. Функция Бесселя первого рода является целой функцией, если α - целое число, в противном случае это многозначная функция с особенностью в нуле. Графики функций Бесселя выглядят примерно как осциллирующие синусоидальные или косинусоидальные функции, которые убывают пропорционально(см. также их асимптотические формы ниже), хотя их корни в общем случае не периодичны, за исключением асимптотики для больших x . (Ряд показывает, что - J 1 ( x ) является производной от J 0 ( x ) , так же как −sin x является производной от cos x ; в более общем смысле производная от J n ( x ) может быть выражена через J п ± 1 ( х ) с помощью тождеств ниже .)
Для нецелого числа α функции J α ( x ) и J - α ( x ) линейно независимы и, следовательно, являются двумя решениями дифференциального уравнения. С другой стороны, для целого порядка n справедливо следующее соотношение (гамма-функция имеет простые полюсы у каждого из неположительных целых чисел): [4]
Это означает, что два решения больше не являются линейно независимыми. В этом случае второе линейно независимое решение оказывается функцией Бесселя второго рода, как обсуждается ниже.
Интегралы Бесселя
Другое определение функции Бесселя для целых значений n возможно с использованием интегрального представления: [5]
Это был подход, который использовал Бессель, и из этого определения он вывел несколько свойств функции. Определение может быть расширено до нецелочисленных порядков с помощью одного из интегралов Шлефли для Re ( x )> 0 : [5] [6] [7] [8] [9]
Отношение к гипергеометрическому ряду
Функции Бесселя могут быть выражены в терминах обобщенного гипергеометрического ряда как [10]
Это выражение связано с развитием функций Бесселя через функцию Бесселя – Клиффорда .
Связь с полиномами Лагерра
В терминах полиномов Лагерра L k и произвольно выбранного параметра t функция Бесселя может быть выражена как [11]
Функции Бесселя второго рода: Y α
Функции Бесселя второго рода, обозначаемые Y α ( x ) , иногда вместо этого обозначаемые N α ( x ) , являются решениями дифференциального уравнения Бесселя, которые имеют особенность в начале координат ( x = 0 ) и являются многозначными . Иногда их называют функциями Вебера , поскольку они были введены Х. М. Вебером ( 1873 г. ), а также функциями Неймана после Карла Неймана . [12]
Для нецелых & alpha ; , Y & alpha ; ( х ) связана с J & alpha ; ( х ) по
В случае целочисленного порядка n функция определяется путем взятия предела, когда нецелое число α стремится к n :
Если n - целое неотрицательное число, мы имеем ряд [13]
где является функцией дигамма , то логарифмическая производная от гамма - функции . [14]
Также существует соответствующая интегральная формула (при Re ( x )> 0 ): [15]
Y α ( x ) необходимо как второе линейно независимое решение уравнения Бесселя, когда α является целым числом. Но Y α ( x ) имеет большее значение, чем это. Его можно рассматривать как «естественного» партнера J α ( x ) . См. Также подраздел о функциях Ганкеля ниже.
Более того, когда α является целым числом, как это было аналогично для функций первого рода, справедливо следующее соотношение:
Оба J & alpha ; ( х ) и Y & alpha ; ( х ) являются голоморфными функциями от й на комплексной плоскости разрезе вдоль отрицательной действительной оси. Когда α является целым числом, функции Бесселя J являются целыми функциями от x . Если x фиксируется на ненулевом значении, то функции Бесселя являются целыми функциями от α .
Функции Бесселя второго рода, когда α - целое число, являются примером второго рода решений в теореме Фукса .
Функции Ганкеля: H(1)
α, H(2)
α
Еще один важный препаратом из двух линейно независимых решений уравнения Бесселя являются функциями Ханкель первого и второго рода , H(1)
α( x ) и H(2)
α( x ) , определенный как [16]
где i - мнимая единица . Эти линейные комбинации также известны как функции Бесселя третьего рода ; они являются двумя линейно независимыми решениями дифференциального уравнения Бесселя. Они названы в честь Германа Ганкеля .
Эти формы линейной комбинации удовлетворяют многочисленным на первый взгляд простым свойствам, таким как асимптотические формулы или интегральные представления. Здесь «простой» означает появление фактора вида e i f (x) . Серьезно где , являются действительными, функции Бесселя первого и второго рода являются действительной и мнимой частями соответственно первой функции Ганкеля и действительной и отрицательной мнимой частей второй функции Ганкеля. Таким образом, приведенные выше формулы являются аналогами формулы Эйлера с заменой H(1)
α( х ) , H(2)
α( x ) для а также , для , , как явно показано в асимптотическом разложении .
Функции ганкелевы используются для выражения outward- и внутрь распространяющихся цилиндрической волна решения уравнения цилиндрической волны, соответственно (или наоборот, в зависимости от знака конвенции по частоте ).
Используя предыдущие отношения, их можно выразить как
Если α является целым числом, необходимо вычислить предел. Следующие отношения действительны, независимо от того, является ли α целым числом или нет: [17]
В частности, если α = m + 1/2где m - неотрицательное целое число, из приведенных выше соотношений прямо следует, что
Они полезны при разработке сферических функций Бесселя (см. Ниже).
Функции Ганкеля допускают следующие интегральные представления при Re ( x )> 0 : [18]
где пределы интегрирования обозначают интегрирование по контуру, который можно выбрать следующим образом: от −∞ до 0 вдоль отрицательной действительной оси, от 0 до ± πi вдоль мнимой оси и от ± πi до + ∞ ± πi вдоль контура, параллельного к реальной оси. [15]
Модифицированные функции Бесселя: I α , K α
Функции Бесселя действительны даже для сложных аргументов x , и важным частным случаем является случай чисто мнимого аргумента. В этом случае решения уравнения Бесселя называются модифицированными функциями Бесселя (или иногда гиперболическими функциями Бесселя ) первого и второго рода и определяются как [19]
когда α не является целым числом; когда α - целое число, используется предел. Они выбраны с действительными значениями для действительных и положительных аргументов x . Таким образом, разложение в ряд для I α ( x ) аналогично разложению для J α ( x ) , но без знакопеременного множителя (−1) m .
можно выразить через функции Ганкеля:
Мы можем выразить первую и вторую функции Бесселя через модифицированные функции Бесселя (они верны, если - π
I α ( x ) и K α ( x ) - два линейно независимых решения модифицированного уравнения Бесселя : [21]
В отличие от обычных функций Бесселя, которые колеблются как функции действительного аргумента, I α и K α являются экспоненциально растущими и убывающими функциями соответственно. Как и обычная функция Бесселя J α , функция I α стремится к нулю при x = 0 при α > 0 и конечна при x = 0 при α = 0 . Аналогично, K α расходится при x = 0 с особенностью логарифмического типа для K 0 и ½Γ (| α |) (2 / x ) | α | иначе. [22]
Две интегральные формулы для модифицированных функций Бесселя (при Re ( x )> 0 ) следующие: [23]
Функции Бесселя можно описать как преобразования Фурье степеней квадратичных функций. Например:
Это можно доказать, доказав равенство приведенному выше определению интеграла для K 0 . Это делается путем интегрирования замкнутой кривой в первом квадранте комплексной плоскости.
Модифицированные функции Бесселя K 1/3 и K 2/3 могут быть представлены в терминах быстро сходящихся интегралов [24]
Модифицированная функция Бесселя второго рода также называют следующими именами ( в настоящее время редко):
- Бассет функции после того, как Альфред Барнард Бассет
- Модифицированная функция Бесселя третьего рода
- Модифицированная функция Ханкеля [25]
- Функция Макдональда после Гектора Манро Макдональда
Сферические функции Бесселя: j n , y n
При решении уравнения Гельмгольца в сферических координатах путем разделения переменных радиальное уравнение имеет вид
Два линейно независимых решения этого уравнения называются сферическими функциями Бесселя j n и y n и связаны с обычными функциями Бесселя J n и Y n соотношением [26].
y n также обозначается n n или η n ; некоторые авторы называют эти функции сферическими функциями Неймана .
Сферические функции Бесселя также можно записать в виде ( формулы Рэлея ) [27]
Нулевая сферическая функция Бесселя j 0 ( x ) также известна как (ненормализованная) функция sinc . Первые несколько сферических функций Бесселя: [28]
и [29]
Производящая функция
Сферические функции Бесселя имеют производящие функции [30]
Дифференциальные отношения
Далее f n представляет собой любое из j n , y n , h(1)
п, ч(2)
пдля n = 0, ± 1, ± 2, ... [31]
Сферические функции Ганкеля: h(1)
п, ч(2)
п
Существуют также сферические аналоги функций Ганкеля:
Фактически, существуют простые выражения в замкнутой форме для функций Бесселя полуцелого порядка в терминах стандартных тригонометрических функций и, следовательно, для сферических функций Бесселя. В частности, для целых неотрицательных чисел n :
и ч(2)
пявляется комплексно-сопряженным с этим (для действительного x ). Отсюда следует, например, что j 0 ( x ) = грех х/Икси y 0 ( x ) = - cos x/Икс, и так далее.
Сферические функции Ганкеля возникают в задачах, связанных с распространением сферических волн , например, в мультипольном разложении электромагнитного поля .
Функции Риккати – Бесселя: S n , C n , ξ n , ζ n
Функции Риккати – Бесселя мало отличаются от сферических функций Бесселя:
Они удовлетворяют дифференциальному уравнению
Например, такого рода дифференциальное уравнение появляется в квантовой механике при решении радиальной составляющей уравнения Шредингера с гипотетическим цилиндрическим бесконечным потенциальным барьером. [32] Это дифференциальное уравнение и решения Риккати – Бесселя также возникают в задаче рассеяния электромагнитных волн сферой, известной как рассеяние Ми после первого опубликованного решения Ми (1908). См., Например, Du (2004) [33] для получения информации о последних разработках и ссылках.
После Дебая (1909), обозначение ф п , χ п иногда используется вместо S п , С н .
Асимптотические формы
Функции Бесселя имеют следующие асимптотики . Для небольших аргументов 0 < z ≪ √ α + 1 , когда α не является отрицательным целым числом: [3]
Когда α - отрицательное целое число, мы имеем
Для функции Бесселя второго рода имеем три случая:
где γ - постоянная Эйлера – Маскерони (0,5772 ...).
Для больших вещественных аргументов z ≫ | α 2 - 1/4| , нельзя написать истинную асимптотику для функций Бесселя первого и второго рода (если α не является полуцелым числом ), потому что они имеют нули вплоть до бесконечности, которые должны быть точно согласованы с любым асимптотическим разложением. Однако для данного значения arg z можно написать уравнение, содержащее член порядка | z | −1 : [34]
(Для α = 1/2последние члены в этих формулах полностью выпадают; см. сферические функции Бесселя выше.) Даже если эти уравнения верны, для комплексного z могут быть доступны лучшие приближения . Например, J 0 ( z ), когда z находится рядом с отрицательной действительной линией, лучше аппроксимируется
чем на
Асимптотики функций Ганкеля:
Их можно распространить на другие значения arg z, используя уравнения, связывающие H(1)
α( ze im π ) и H(2)
α( ze im π ) в H(1)
α( z ) и H(2)
α( z ) . [35]
Интересно, что, хотя функция Бесселя первого рода является средним из двух функций Ганкеля, J α ( z ) не является асимптотическим по отношению к среднему этих двух асимптотик, когда z отрицательно (потому что одна или другая не будет исправьте там, в зависимости от используемого arg z ). Но асимптотики для функций Ганкеля позволяют нам записывать асимптотики для функций Бесселя первого и второго рода для комплексных (невещественных) z, пока | z | стремится к бесконечности при постоянном фазовом угле arg z (с использованием квадратного корня, имеющего положительную действительную часть):
Для модифицированных функций Бесселя Ганкель также разработал асимптотические разложения (с большим аргументом) : [36] [37]
Также существует асимптотика (для больших вещественных ) [38]
Когда α = 1/2, все слагаемые, кроме первого, исчезают, и мы имеем
Для небольших аргументов 0 <| z | ≪ √ α + 1 , имеем
Полнобластные приближения с элементарными функциями
Очень хорошее приближение (ошибка ниже максимального значения 1) [ необходимая ссылка ] функции Бесселядля произвольного значения аргумента x может быть получено с помощью элементарных функций путем объединения тригонометрического приближения, работающего для меньших значений x, с выражением, содержащим ослабленную функцию косинуса, действительную для больших аргументов, с использованием функции плавного перехода т.е.
Характеристики
Для целого порядка & alpha ; = п , J п часто определяется с помощью ряда Лорана для порождающей функции:
подход, использованный П.А. Хансеном в 1843 г. (Его можно обобщить на нецелочисленный порядок путем интегрирования контуров или другими методами.) Еще одним важным соотношением для целочисленных порядков является разложение Якоби – Ангера :
а также
который используется для разложения плоской волны как суммы цилиндрических волн или для нахождения ряда Фурье тонально-модулированного FM- сигнала.
В более общем смысле, серия
называется разложением Неймана функции f . Коэффициенты при ν = 0 имеют явный вид
где O k - полином Неймана . [39]
Выбранные функции допускают специальное представление
с участием
из-за соотношения ортогональности
В более общем смысле, если f имеет точку ветвления около начала координат такой природы, что
тогда
или же
где - преобразование Лапласа функции f . [40]
Другой способ определения функций Бесселя - это формула представления Пуассона и формула Мелера-Сонина:
где ν> - 1/2и г ∈ C . [41] Эта формула особенно полезна при работе с преобразованиями Фурье .
Поскольку уравнение Бесселя становится эрмитовым (самосопряженным), если его делить на x , решения должны удовлетворять соотношению ортогональности для соответствующих граничных условий. В частности, из этого следует, что:
где α > -1 , δ м , п является Кронекера , а у & alpha ; , т является м е нуля в J & alpha ; ( х ) . Это соотношение ортогональности затем можно использовать для извлечения коэффициентов в ряд Фурье – Бесселя , где функция раскладывается по базису функций J α ( x u α , m ) для фиксированного α и переменного m .
Непосредственно следует аналогичное соотношение для сферических функций Бесселя:
Если один определяет Boxcar функции от х , которая зависит от малого параметра е как:
(где rect - функция прямоугольника ), то его преобразование Ганкеля (любого заданного порядка α > - 1/2), g ε ( k ) , приближается к J α ( k ), когда ε стремится к нулю, для любого заданного k . Наоборот, преобразование Ганкеля (того же порядка) для g ε ( k ) есть f ε ( x ) :
который равен нулю всюду, кроме около 1. Когда ε стремится к нулю, правая часть приближается к δ ( x - 1) , где δ - дельта-функция Дирака . Это допускает предел (в распределительном смысле):
Затем замена переменных приводит к уравнению замыкания : [42]
для α > - 1/2. Преобразование Ханкеля может выразить довольно произвольную функцию [ требуется пояснение ] как интеграл функций Бесселя различных масштабов. Для сферических функций Бесселя соотношение ортогональности:
для α > −1 .
Другое важное свойство уравнений Бесселя, которое следует из тождества Абеля , включает вронскиан решений:
где A α и B α - любые два решения уравнения Бесселя, а C α - постоянная, не зависящая от x (которая зависит от α и от конкретных рассматриваемых функций Бесселя). В частности,
а также
для α > −1 .
При α > −1 четная целая функция рода 1 x - α J α ( x ) имеет только действительные нули. Позволять
- все его положительные нули, тогда
(Существует большое количество других известных интегралов и тождеств, которые здесь не воспроизводятся, но которые можно найти в справочной литературе.)
Повторяющиеся отношения
Функции J α , Y α , H(1)
α, а H(2)
αвсе удовлетворяют рекуррентным соотношениям [43]
а также
где Z обозначает J , Y , H (1) или H (2) . Эти две идентичности часто комбинируются, например, складываются или вычитаются, чтобы получить различные другие отношения. Таким образом, например, можно вычислить функции Бесселя более высоких порядков (или более высокие производные) с учетом значений более низких порядков (или более низких производных). В частности, отсюда следует, что [44]
Модифицированные функции Бесселя подчиняются аналогичным отношениям:
а также
а также
Рекуррентное отношение гласит
где C α обозначает I α или e αi π K α . Эти рекуррентные соотношения полезны для задач дискретной диффузии.
Теорема умножения
Функции Бесселя подчиняются теореме умножения
где λ и ν можно рассматривать как произвольные комплексные числа. [45] [46] Для | λ 2 - 1 | <1 , [45] приведенное выше выражение справедливо , если J заменяется на Y . Аналогичные тождества для модифицированных функций Бесселя и | λ 2 - 1 | <1 ар
а также
Нули функции Бесселя
Гипотеза Бурже
Сам Бессель первоначально доказал, что для неотрицательных целых n уравнение J n ( x ) = 0 имеет бесконечное число решений по x . [47] Однако, когда функции J n ( x ) нанесены на один и тот же график, кажется, что ни один из нулей не совпадает для разных значений n, за исключением нуля при x = 0 . Это явление известно как гипотеза Бурже в честь французского математика 19 века, изучавшего функции Бесселя. В частности, в нем говорится, что для любых целых чисел n ≥ 0 и m ≥ 1 функции J n ( x ) и J n + m ( x ) не имеют общих нулей, кроме одного при x = 0 . Гипотеза была доказана Карлом Людвигом Зигелем в 1929 году [48].
Численные подходы
О численных исследованиях нулей функции Бесселя см. Gil, Segura & Temme (2007) , Kravanja et al. (1998) и Молер (2004) .
Смотрите также
- Функция гнева
- Функция Бесселя – Клиффорда
- Функция Бесселя – Мейтланда
- Многочлены Бесселя
- Ряд Фурье – Бесселя
- Серия Шлёмильха
- Q- функция Хана – Экстона.
- Преобразование Ганкеля
- Джексон q -функция Бесселя
- Функции Кельвина
- Преобразование Конторовича-Лебедева
- Правило сумм Лерша – Ньюбергера
- Функция Ломмеля
- Многочлен Ломмеля
- Многочлен Неймана
- Сониновая формула
- Функция Струве
- Колебания кругового барабана
- Функция Вебера
Заметки
- ^ Вайсштейн, Эрик В. "Сферическая функция Бесселя второго рода" . MathWorld .
- ^ Вайсштейн, Эрик В. "Функция Бесселя второго рода" . MathWorld .
- ^ a b Абрамовиц и Стегун, стр. 360, 9.1.10 .
- ^ Абрамовиц Stegun, стр. 358, 9.1.5 .
- ^ а б Темме, Нико М. (1996). Специальные функции: Введение в классические функции математической физики (2-е изд.). Нью-Йорк: Вили. С. 228–231. ISBN 0471113131.
- Перейти ↑ Watson, p. 176
- ^ «Архивная копия» . Архивировано из оригинала на 2010-09-23 . Проверено 18 октября 2010 .CS1 maint: заархивированная копия как заголовок ( ссылка )
- ^ «Интегральные представления функции Бесселя» . www.nbi.dk . Проверено 25 марта 2018 года .
- ^ Arfken & Weber, упражнение 11.1.17.
- ^ Абрамовиц Stegun, стр. 362, 9.1.69 .
- ^ Сегу, Габор (1975). Ортогональные многочлены (4-е изд.). Провиденс, Род-Айленд: AMS.
- ^ http://www.mhtlab.uwaterloo.ca/courses/me755/web_chap4.pdf
- ^ Цифровая библиотека математических функций NIST , (10.8.1). Доступ онлайн 25 октября 2016 г.
- ^ Вайсштейн, Эрик В. "Функция Бесселя второго рода" . MathWorld .
- ^ a b Уотсон, стр. 178 .
- ^ Абрамовиц Stegun, стр. 358, 9.1.3, 9.1.4 .
- ^ Абрамовиц Stegun, стр. 358, 9.1.6 .
- ^ Абрамовиц Stegun, стр. 360, 9.1.25 .
- ^ Абрамовиц Stegun, стр. 375, 9.6.2, 9.6.10, 9.6.11 .
- ^ Абрамовиц Stegun, стр. 375, 9.6.3, 9.6.5 .
- ^ Абрамовиц Stegun, стр. 374, 9.6.1 .
- ^ Грейнер, Уолтер; Рейнхардт, Иоахим (2009). Квантовая электродинамика . Springer. п. 72. ISBN 978-3-540-87561-1.
- Перейти ↑ Watson, p. 181 .
- ^ Хоконов, М.Х. (2004). «Каскадные процессы потери энергии из-за испускания жестких фотонов». Журнал экспериментальной и теоретической физики . 99 (4): 690–707. Bibcode : 2004JETP ... 99..690K . DOI : 10.1134 / 1.1826160 . S2CID 122599440 .. Получено на основе формул, полученных из И. С. Градштейна и И. М. Рыжика , Таблица интегралов, рядов и произведений (Физматгиз, Москва, 1963; Academic Press, Нью-Йорк, 1980).
- ^ Обозначается как таковое в: Тейхроев, Д. (1957). «Смесь нормальных распределений с различными вариантами» (PDF) . Летопись математической статистики . 28 (2): 510–512. DOI : 10.1214 / АОМ / 1177706981 .
- ^ Абрамовиц Stegun, стр. 437, 10.1.1 .
- ^ Абрамовиц Stegun, стр. 439, 10.1.25, 10.1.26 .
- ^ Абрамовиц Stegun, стр. 438, 10.1.11 .
- ^ Абрамовиц Stegun, стр. 438, 10.1.12 .
- ^ Абрамовиц Stegun, стр. 439, 10.1.39 .
- ^ Абрамовиц Stegun, стр. 439, 10.1.23, 10.1.24 .
- ^ Гриффитс. Введение в квантовую механику, 2-е издание, с. 154.
- ^ Ду, Хун (2004). «Расчет Ми-рассеяния». Прикладная оптика . 43 (9): 1951–1956. Bibcode : 2004ApOpt..43.1951D . DOI : 10,1364 / ao.43.001951 . PMID 15065726 .
- ^ Абрамовиц Stegun, стр. 364, 9.2.1 .
- ^ Цифровая библиотека математических функций NIST , раздел 10.11 .
- ^ Абрамовиц Stegun, стр. 377, 9.7.1 .
- ^ Абрамовиц Stegun, стр. 378, 9.7.2 .
- ^ Fröhlich и Spencer 1981 Приложение B
- ^ Абрамовиц Stegun, стр. 363, 9.1.82 сл .
- ^ Уотсон, GN (25 августа 1995 г.). Трактат по теории функций Бесселя . Издательство Кембриджского университета. ISBN 9780521483919. Проверено 25 марта 2018 г. - через Google Книги.
- ^ Градштейн, Израиль Соломонович ; Рыжик Иосиф Моисеевич ; Геронимус Юрий Вениаминович ; Цейтлин Михаил Юльевич ; Джеффри, Алан (2015 г.) [октябрь 2014 г.]. «8.411.10.». В Цвиллингере, Даниэль; Молл, Виктор Гюго (ред.). Таблица интегралов, серий и продуктов . Перевод Scripta Technica, Inc. (8-е изд.). Academic Press, Inc. ISBN 978-0-12-384933-5. LCCN 2014010276 .
- ^ Arfken & Weber, раздел 11.2
- ^ Абрамовиц Stegun, стр. 361, 9.1.27 .
- ^ Абрамовиц Stegun, стр. 361, 9.1.30 .
- ^ a b Абрамовиц и Стегун, стр. 363, 9.1.74 .
- ^ Трусделл, К. (1950). «О теоремах сложения и умножения для специальных функций» (PDF) . Труды Национальной академии наук . 1950 (12): 752–757. Bibcode : 1950PNAS ... 36..752T . DOI : 10.1073 / pnas.36.12.752 . PMC 1063284 . PMID 16578355 .
- ^ Бессель, Ф. (1824) "Untersuchung des Theils der planetarischen Störungen", Berlin Abhandlungen , статья 14.
- ^ Уотсон, стр. 484-485.
Рекомендации
- Абрамовиц, Милтон ; Стегун, Ирен Энн , ред. (1983) [июнь 1964]. «Глава 9» . Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами . Прикладная математика. 55 (Девятое переиздание с дополнительными исправлениями, десятое оригинальное издание с исправлениями (декабрь 1972 г.); первое изд.). Вашингтон; Нью-Йорк: Министерство торговли США, Национальное бюро стандартов; Dover Publications. стр. 355, 435. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN 64-60036 . Руководство по ремонту 0167642 . LCCN 65-12253 . См. Также главу 10 .
- Арфкен, Джордж Б. и Ханс Дж. Вебер, Математические методы для физиков , 6-е издание (Харкорт: Сан-Диего, 2005). ISBN 0-12-059876-0 .
- Боуман, Франк Введение в функции Бесселя (Довер: Нью-Йорк, 1958). ISBN 0-486-60462-4 .
- Ми, Г. (1908). "Beiträge zur Optik trüber Medien, speziell kolloidaler Metallösungen" . Annalen der Physik . 25 (3): 377. Bibcode : 1908AnP ... 330..377M . DOI : 10.1002 / andp.19083300302 .
- Olver, FWJ ; Максимон, LC (2010), «Функция Бесселя» , в Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M .; Бойсверт, Рональд Ф .; Кларк, Чарльз В. (ред.), Справочник по математическим функциям NIST , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR 2723248.
- Нажмите, WH ; Теукольский, С.А. Феттерлинг, Вашингтон; Фланнери, Б.П. (2007), «Раздел 6.5. Функции Бесселя целочисленного порядка» , Численные рецепты: Искусство научных вычислений (3-е изд.), Нью-Йорк: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88068-8.
- B Испания, М. Г. Смит, Функции математической физики , Компания Van Nostrand Reinhold, Лондон, 1970. Глава 9 посвящена функциям Бесселя.
- Темме Н. М., Специальные функции. Введение в классические функции математической физики , John Wiley and Sons, Inc., Нью-Йорк, 1996. ISBN 0-471-11313-1 . Глава 9 посвящена функциям Бесселя.
- Уотсон, Г. Н. , Трактат по теории функций Бесселя, второе издание , (1995) Cambridge University Press. ISBN 0-521-48391-3 .
- Вебер, Х. (1873), "Ueber Darstellung willkürlicher сделайте Functionen Durch Bessel'sche функций", Mathematische Annalen , 6 (2): 146-161, DOI : 10.1007 / BF01443190 , S2CID 122409461.
- Gil, A .; Segura, J .; Темме, Н.М. (2007). Численные методы для специальных функций . Общество промышленной и прикладной математики.
- Kravanja, P .; Ragos, O .; Врахати, Миннесота; Zafiropoulos, FA (1998), "ZEBEC: математический пакет программного обеспечения для вычисления простых нулей функции Бесселя вещественного порядка и комплексного аргумента", Computer Physics Communications , 113 (2-3): 220-238, DOI : 10.1016 / S0010- 4655 (98) 00064-2.
Внешние ссылки
- Лизоркин, П.И. (2001) [1994], "Функции Бесселя" , Энциклопедия математики , EMS Press.
- Кармазина, Л.Н.; Прудников, А.П. (2001) [1994], "Цилиндрическая функция" , Энциклопедия математики , EMS Press.
- Розов, Н.Х. (2001) [1994], "Уравнение Бесселя" , Энциклопедия математики , EMS Press.
- Wolfram функции Бесселя страницы на J и Y функций и модифицированных Бесселя I и K функций. Страницы включают формулы, оценщики функций и графические калькуляторы.
- Wolfram Mathworld - функции Бесселя первого рода .
- Функции Бесселя J ν , Y ν , I ν и K ν в справочнике по функциям Либроу .
- FWJ Olver, LC Maximon, Функции Бесселя (глава 10 Электронной библиотеки математических функций).
- Молер, CB (2004). Численные вычисления с MATLAB (PDF) . Общество промышленной и прикладной математики. Архивировано из оригинального (PDF) 08.08.2017.