Цилиндрические гармоники

В математике , то цилиндрические гармоники представляют собой набор линейно независимых функций, являющихся решения дифференциального уравнения Лапласа , , выраженная в цилиндрических координатах , ρ (радиальная координата), φ (полярный угол) и г (высоту). Каждая функция V _n ( k ) является произведением трех членов, каждый из которых зависит только от одной координаты. Ρ -зависимой термин задается функции Бесселя (которые иногда также называют цилиндрические гармоники).${\ displaystyle \ nabla ^ {2} V = 0}$

Определение [ править ]

Каждая функция этого базиса состоит из продукта трех функций:${\ Displaystyle V_ {п} (к)}$

${\ Displaystyle V_ {N} (к; \ rho, \ varphi, z) = P_ {n} (k, \ rho) \ Phi _ {n} (\ varphi) Z (k, z) \,}$

где - цилиндрические координаты, а n и k - константы, которые отличают элементы набора друг от друга. В результате применения принципа суперпозиции к уравнению Лапласа очень общие решения уравнения Лапласа могут быть получены линейными комбинациями этих функций.${\ displaystyle (\ rho, \ varphi, z)}$

Поскольку все поверхности постоянных ρ, φ и z   являются коническими, уравнение Лапласа разделимо в цилиндрических координатах. Используя технику разделения переменных , можно записать разделенное решение уравнения Лапласа:

${\ Displaystyle В = п (\ ро) \, \ фи (\ varphi) \, Z (г)}$

и уравнение Лапласа, разделенное на V , записывается:

${\displaystyle {\frac {\ddot {P}}{P}}+{\frac {1}{\rho }}\,{\frac {\dot {P}}{P}}+{\frac {1}{\rho ^{2}}}\,{\frac {\ddot {\Phi }}{\Phi }}+{\frac {\ddot {Z}}{Z}}=0}$

Часть Z   уравнения является функцией только z и поэтому должна быть равна константе:

${\displaystyle {\frac {\ddot {Z}}{Z}}=k^{2}}$

где k   , вообще говоря, комплексное число . Для конкретного к , то Z (г) функция имеет два линейно независимых решения. Если k реально, они:

${\displaystyle Z(k,z)=\cosh(kz)\,\,\,\,\,\,\mathrm {or} \,\,\,\,\,\,\sinh(kz)\,}$

или по их поведению на бесконечности:

${\displaystyle Z(k,z)=e^{kz}\,\,\,\,\,\,\mathrm {or} \,\,\,\,\,\,e^{-kz}\,}$

Если k мнимое:

${\displaystyle Z(k,z)=\cos(|k|z)\,\,\,\,\,\,\mathrm {or} \,\,\,\,\,\,\sin(|k|z)\,}$

или же:

${\displaystyle Z(k,z)=e^{i|k|z}\,\,\,\,\,\,\mathrm {or} \,\,\,\,\,\,e^{-i|k|z}\,}$

Можно видеть, что функции Z (k, z) являются ядрами преобразования Фурье или преобразования Лапласа функции Z (z), и поэтому k может быть дискретной переменной для периодических граничных условий или непрерывной переменной. для непериодических граничных условий.

Подставляя в  уравнение Лапласа теперь может быть записано:${\displaystyle k^{2}}$${\displaystyle {\ddot {Z}}/Z}$

${\displaystyle {\frac {\ddot {P}}{P}}+{\frac {1}{\rho }}\,{\frac {\dot {P}}{P}}+{\frac {1}{\rho ^{2}}}{\frac {\ddot {\Phi }}{\Phi }}+k^{2}=0}$

Теперь, умножая на , мы можем разделить функции P   и Φ и ввести другую константу ( n ), чтобы получить:${\displaystyle \rho ^{2}}$

${\displaystyle {\frac {\ddot {\Phi }}{\Phi }}=-n^{2}}$

${\displaystyle \rho ^{2}{\frac {\ddot {P}}{P}}+\rho {\frac {\dot {P}}{P}}+k^{2}\rho ^{2}=n^{2}}$

Поскольку он периодический, мы можем принять n как неотрицательное целое число и, соответственно, константы будут иметь индексы. Реальные решения для АРЯ${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \Phi (\varphi )}$${\displaystyle \Phi (\varphi )}$

${\displaystyle \Phi _{n}=\cos(n\varphi )\,\,\,\,\,\,\mathrm {or} \,\,\,\,\,\,\sin(n\varphi )}$

или, что то же самое:

${\displaystyle \Phi _{n}=e^{in\varphi }\,\,\,\,\,\,\mathrm {or} \,\,\,\,\,\,e^{-in\varphi }}$

Дифференциальное уравнение для является формой уравнения Бесселя.${\displaystyle \rho }$

Если k равно нулю, а n - нет, решения следующие:

${\displaystyle P_{n}(0,\rho )=\rho ^{n}\,\,\,\,\,\,\mathrm {or} \,\,\,\,\,\,\rho ^{-n}\,}$

Если и k, и n равны нулю, решения следующие:

${\displaystyle P_{0}(0,\rho )=\ln \rho \,\,\,\,\,\,\mathrm {or} \,\,\,\,\,\,1\,}$

Если k - действительное число, мы можем записать реальное решение как:

${\displaystyle P_{n}(k,\rho )=J_{n}(k\rho )\,\,\,\,\,\,\mathrm {or} \,\,\,\,\,\,Y_{n}(k\rho )\,}$

где и - обычные функции Бесселя . ${\displaystyle J_{n}(z)}$${\displaystyle Y_{n}(z)}$

Если k   - мнимое число, мы можем записать реальное решение как:

${\displaystyle P_{n}(k,\rho )=I_{n}(|k|\rho )\,\,\,\,\,\,\mathrm {or} \,\,\,\,\,\,K_{n}(|k|\rho )\,}$

где и - модифицированные функции Бесселя . ${\displaystyle I_{n}(z)}$${\displaystyle K_{n}(z)}$

Цилиндрические гармоники для (k, n) теперь являются продуктом этих решений, а общее решение уравнения Лапласа дается линейной комбинацией этих решений:

${\displaystyle V(\rho ,\varphi ,z)=\sum _{n}\int dk\,\,A_{n}(k)P_{n}(k,\rho )\Phi _{n}(\varphi )Z(k,z)\,}$

где - постоянные по цилиндрическим координатам, а пределы суммирования и интегрирования определяются граничными условиями задачи. Обратите внимание, что интеграл можно заменить суммой для соответствующих граничных условий. Ортогональность часто очень полезна при поиске решения конкретной проблемы. Функции и по существу являются разложениями Фурье или Лапласа и образуют набор ортогональных функций. Когда просто , ортогональность , наряду с ортогональности отношений и позволяют константы должны быть определены. ^[1]${\displaystyle A_{n}(k)}$${\displaystyle J_{n}(x)}$${\displaystyle \Phi _{n}(\varphi )}$${\displaystyle Z(k,z)}$${\displaystyle P_{n}(k\rho )}$${\displaystyle J_{n}(k\rho )}$${\displaystyle J_{n}}$${\displaystyle \Phi _{n}(\varphi )}$${\displaystyle Z(k,z)}$

Если - последовательность положительных нулей, то:${\displaystyle (x)_{k}}$${\displaystyle J_{n}}$

${\displaystyle \int _{0}^{1}J_{n}(x_{k}\rho )J_{n}(x_{k}'\rho )\rho \,d\rho ={\frac {1}{2}}J_{n+1}(x_{k})^{2}\delta _{kk'}}$^[2]

При решении задач пространство может быть разделено на любое количество частей при условии, что значения потенциала и его производной совпадают на границе, не содержащей источников.

Пример: точечный источник внутри проводящей цилиндрической трубки [ править ]

В качестве примера, рассмотрим задачу определения потенциала источника блока , расположенного на внутренней проводящей цилиндрической трубки (например , пустой консервную банку) , который ограничен сверху и снизу плоскостями и а по бокам с помощью цилиндра . ^[3] (Предположим, в частях МКС ). Так как потенциал ограничен плоскостями на г оси, Z (к, г) функция может быть взята периодическим. Поскольку потенциал должен быть равен нулю в начале координат, мы берем функцию за обычную функцию Бесселя , и ее нужно выбрать так, чтобы один из ее нулей попадал на ограничивающий цилиндр. Для точки измерения ниже точки источника на оси z${\displaystyle (\rho _{0},\varphi _{0},z_{0})}$${\displaystyle z=-L}$${\displaystyle z=L}$${\displaystyle \rho =a}$${\displaystyle q/4\pi \epsilon _{0}=1}$${\displaystyle P_{n}(k\rho )}$${\displaystyle J_{n}(k\rho )}$ оси потенциал будет:

${\displaystyle V(\rho ,\varphi ,z)=\sum _{n=0}^{\infty }\sum _{r=0}^{\infty }\,A_{nr}J_{n}(k_{nr}\rho )\cos(n(\varphi -\varphi _{0}))\sinh(k_{nr}(L+z))\,\,\,\,\,z\leq z_{0}}$

где - r-й ноль и, из соотношений ортогональности для каждой из функций:${\displaystyle k_{nr}a}$${\displaystyle J_{n}(z)}$

${\displaystyle A_{nr}={\frac {4(2-\delta _{n0})}{a^{2}}}\,\,{\frac {\sinh k_{nr}(L-z_{0})}{\sinh 2k_{nr}L}}\,\,{\frac {J_{n}(k_{nr}\rho _{0})}{k_{nr}[J_{n+1}(k_{nr}a)]^{2}}}\,}$

Выше точки источника:

${\displaystyle V(\rho ,\varphi ,z)=\sum _{n=0}^{\infty }\sum _{r=0}^{\infty }\,A_{nr}J_{n}(k_{nr}\rho )\cos(n(\varphi -\varphi _{0}))\sinh(k_{nr}(L-z))\,\,\,\,\,z\geq z_{0}}$

${\displaystyle A_{nr}={\frac {4(2-\delta _{n0})}{a^{2}}}\,\,{\frac {\sinh k_{nr}(L+z_{0})}{\sinh 2k_{nr}L}}\,\,{\frac {J_{n}(k_{nr}\rho _{0})}{k_{nr}[J_{n+1}(k_{nr}a)]^{2}}}.\,}$

Ясно, что когда или , указанная выше функция равна нулю. Также легко показать, что две функции совпадают по значению и по значению их первых производных при .${\displaystyle \rho =a}$${\displaystyle |z|=L}$${\displaystyle z=z_{0}}$

Точечный источник внутри цилиндра [ править ]

Удаление концов плоскости (т.е. принятие предела, когда L стремится к бесконечности) дает поле точечного источника внутри проводящего цилиндра:

${\displaystyle V(\rho ,\varphi ,z)=\sum _{n=0}^{\infty }\sum _{r=0}^{\infty }\,A_{nr}J_{n}(k_{nr}\rho )\cos(n(\varphi -\varphi _{0}))e^{-k_{nr}|z-z_{0}|}}$

${\displaystyle A_{nr}={\frac {2(2-\delta _{n0})}{a^{2}}}\,\,{\frac {J_{n}(k_{nr}\rho _{0})}{k_{nr}[J_{n+1}(k_{nr}a)]^{2}}}.\,}$

Точечный источник в открытом космосе [ править ]

Когда радиус цилиндра ( a ) приближается к бесконечности, сумма по нулям J _n (z) становится интегралом, и мы получаем поле точечного источника в бесконечном пространстве:

${\displaystyle V(\rho ,\varphi ,z)={\frac {1}{R}}=\sum _{n=0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }dk\,A_{n}(k)J_{n}(k\rho )\cos(n(\varphi -\varphi _{0}))e^{-k|z-z_{0}|}}$

${\displaystyle A_{n}(k)=(2-\delta _{n0})J_{n}(k\rho _{0})\,}$

R - расстояние от точечного источника до точки измерения:

${\displaystyle R={\sqrt {(z-z_{0})^{2}+\rho ^{2}+\rho _{0}^{2}-2\rho \rho _{0}\cos(\varphi -\varphi _{0})}}.\,}$

Точечный источник в открытом пространстве в исходной точке [ править ]

Наконец, когда точечный источник находится в начале координат, ${\displaystyle \rho _{0}=z_{0}=0}$

${\displaystyle V(\rho ,\varphi ,z)={\frac {1}{\sqrt {\rho ^{2}+z^{2}}}}=\int _{0}^{\infty }J_{0}(k\rho )e^{-k|z|}\,dk.}$

См. Также [ править ]

• Сферические гармоники

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]