В математике , то формула Чоула-Сельберг является оценкой определенного продукта значений гаммы - функции в рациональных значениях в терминах значений дедекиндова функции эты в мнимых квадратичных иррациональных числах. Результат был по существу найден Лерхом ( 1897 ) и заново открыт Чоула и Сельбергом ( 1949 , 1967 ).
Заявление
В логарифмической форме формула Чоула – Сельберга утверждает, что в некоторых случаях сумма
можно оценить с помощью формулы предела Кронекера . Здесь χ - символ квадратичного вычета по модулю D , где −D - дискриминант мнимого квадратичного поля . Сумма берется по 0 < r < D с обычным соглашением χ ( r ) = 0, если r и D имеют общий множитель. Функция η - это функция Дедекинда, эта функция , h - номер класса, а w - количество корней из единицы.
Происхождение и приложения
Теперь выясняется, что происхождение таких формул лежит в теории комплексного умножения и, в частности, в теории периодов абелевого многообразия CM-типа . Это привело к большому количеству исследований и обобщений. В частности, существует аналог формулы Чоула – Сельберга для p-адических чисел , включающий p-адическую гамма-функцию , называемый формулой Гросса – Коблица .
Формула Чоула – Сельберга дает формулу для конечного произведения значений эта-функций. Объединив это с теорией комплексного умножения , можно дать формулу для индивидуальных абсолютных значений функции эта как
для некоторого алгебраического числа α.
Примеры
Использование формулы отражения для гамма-функции дает:
Смотрите также
Рекомендации
- Chowla, S .; Сельберг, Атле (1949), «О дзета-функции Эпштейна. I», Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America , 35 : 371–374, doi : 10.1073 / pnas.35.7.371 , ISSN 0027-8424 , JSTOR 88112 , MR 0030997 , PMC 1063041 , PMID 16588908
- Чоула, Сарвадаман; Сельберг, Атле (1967), «О дзета-функции Эпштейна», Journal für die reine und angewandte Mathematik , 1967 (227): 86–110, doi : 10.1515 / crll.1967.227.86 , MR 0215797
- Lerch, Mathias (1897), "Sur quelques formules родственников по именам классов", Bulletin des Sciences Mathématiques , 21 : 290–304
- Шаппахер, Норберт (1988), Периоды персонажей Гекке , Лекционные заметки по математике, 1301 , Берлин: Springer-Verlag , doi : 10.1007 / BFb0082094 , MR 0935127