В математике говорят , что абелево многообразие A , определенное над полем K , имеет CM-тип , если оно имеет достаточно большое коммутативное подкольцо в своем кольце эндоморфизмов End( A ). Терминология здесь взята из теории комплексного умножения , которая была разработана для эллиптических кривых в девятнадцатом веке. Одним из крупных достижений алгебраической теории чисел и алгебраической геометрии ХХ века было нахождение правильных формулировок соответствующей теории для абелевых многообразий размерности d> 1. Проблема находится на более глубоком уровне абстракции, потому что намного сложнее манипулировать аналитическими функциями нескольких сложных переменных .
тензорное произведение End ( A ) с полем рациональных чисел Q должно содержать коммутативное подкольцо размерности 2 d над Q . При d = 1 это может быть только квадратичное поле , и восстанавливаются случаи, когда End( A ) — порядок в мнимом квадратичном поле . Для d > 1 есть сравнимые случаи для CM-полей , комплексных квадратичных расширений вполне вещественных полей . Есть и другие случаи, отражающие то, что Aне может быть простым абелевым многообразием (например, это может быть декартово произведение эллиптических кривых). Другое название абелевых многообразий типа СМ — абелевы многообразия с достаточно большим числом комплексных умножений .
Известно, что если К — комплексные числа, то любое такое А имеет поле определения , которое на самом деле является числовым полем . Возможные типы колец эндоморфизмов были классифицированы как кольца с инволюцией ( инволюция Розати ), что привело к классификации абелевых многообразий типа CM. Для построения таких многообразий в том же стиле, что и для эллиптических кривых, начиная с решетки Λ в Cd , необходимо учитывать соотношения Римана абелевой теории многообразий.
CM - тип — это описание действия (максимального) коммутативного подкольца L кольца End Q ( A ) на голоморфном касательном пространстве к A в единичном элементе . Применяется спектральная теория простого вида, чтобы показать, что L действует через базис собственных векторов ; другими словами , L имеет действие через диагональные матрицы на голоморфных векторных полях на A . В простом случае, когда L само является числовым полем, а не произведением некоторого количества полей, CM-тип представляет собой списоккомплексные вложения L . Их 2 d , встречающихся в комплексно-сопряженных парах; CM-тип - выбор одного из каждой пары. Известно, что все такие возможные типы КМ могут быть реализованы.
Основные результаты Горо Шимуры и Ютаки Таниямы вычисляют L-функцию Хассе–Вейля от A в терминах CM-типа и L-функцию Гекке с характером Гекке , имеющую производный от нее тип бесконечности . Они обобщают результаты Макса Дьюринга для случая эллиптических кривых.