В математике , то поле определения в качестве алгебраического многообразия V является по существу наименьшее поле , к которому коэффициенты полиномов , определяющих V может принадлежать. Указанные многочлены с коэффициентами в поле K , оно не может быть очевидным , есть ли меньше поля к , и другие полиномы , определенные над к , которые до сих пор определяют V .
Проблема определения поля вызывает беспокойство в диофантовой геометрии .
Обозначение
В этой статье k обозначает поле. Алгебраическое замыкание поля обозначается добавлением верхний индекс «ALG», например , алгебраическое замыкание к есть к ALG . Символы Q , R , C и F p представляют, соответственно, поле рациональных чисел , поле действительных чисел , поле комплексных чисел и конечное поле, содержащее p элементов. Аффинное n -пространство над полем F обозначается через A n ( F ).
Определения аффинных и проективных многообразий
Приведенные ниже результаты и определения для аффинных многообразий можно перевести на проективные многообразия , заменив A n ( k alg ) проективным пространством размерности n - 1 над k alg и настаивая на том, чтобы все многочлены были однородными .
К - алгебраическое множество является нуль-локус в А п ( к ALG ) из подмножества кольца многочленов к [ х 1 , ..., х п ]. К -многообразию является к -алгебраическому множеству, неприводимые, т.е. не является объединение двух строго меньших K -алгебраических множеств. К -морфизмом является регулярной функцией от K -алгебраических множеств, определяющих коэффициенты многочленов принадлежат K .
Одной из причин для рассмотрения нулевого локуса в А н ( K ALG ) , а не A п ( K ) является то, что для двух различных K -алгебраических множеств Х 1 и Х 2 , то пересечение Х 1 ∩ A п ( K ) и X 2 ∩ A n ( k ) может быть одинаковым; фактически, геометрическое место нулей в A n ( k ) любого подмножества k [ x 1 , ..., x n ] является геометрическим вектором нулей одного элемента k [ x 1 , ..., x n ], если k не алгебраически замкнуто.
К -многообразию называется многообразием , если это абсолютно неприводимое , т.е. не является объединение двух строго меньших к ALG -алгебраических множеств. Многообразие V имеет определенное над к , если каждый многочлен в к ALG [ х 1 , ..., х п ], равный нулю на V является линейной комбинацией (над K ALG ) многочленов к [ х 1 , ..., х п ] , которые обращаются в нуль на V . К -алгебраическому множество также L -алгебраический набор для бесконечно много подполого L из K ALG . Поле определения из многообразия V является подполе л из к ALG таким образом, что V представляет собой L -многообразием определенное над L .
Эквивалентно, к -многообразием V является многообразие , определенное над к тогда и только тогда , когда функция поля к ( V ) из V является регулярным расширением по к , в смысле Weil . Это означает, что каждое подмножество k ( V ), линейно независимое над k , также линейно независимое над k alg . Другими словами , эти расширения к являются линейно пересекаются .
Андре Вейль доказал, что пересечение всех полей определения многообразия V само является полем определения. Это оправдывает утверждение, что любое разнообразие обладает единственным минимальным полем определения.
Примеры
- Нулевой локусом х 1 2 + х 2 2 является одновременно Q -многообразия и Q ALG -алгебраического множества , но ни множество , ни Q ALG -многообразия, так как это объединение Q ALG -многообразиям , определяемый многочлены x 1 + i x 2 и x 1 - i x 2 .
- С F р ( т ) в расширении трансцендентного из F р , многочлен х 1 р - т равна ( х 1 - т 1 / р ) р в кольце многочленов ( Р р ( т )) ALG [ х 1 ]. Р р ( т ) -алгебраическое множество V определяется й 1 р - т представляет собой разновидность; он абсолютно неприводим, потому что состоит из одной точки. Но V не определено над F p ( t ), поскольку V также является геометрическим вектором нулей x 1 - t 1 / p .
- Комплексная проективная линия является проективным R -многообразия. (Фактически, это разнообразие с Q в качестве минимального поля определения.) Рассматривая реальную проективную линию как экватор на сфере Римана, покоординатное действие комплексного сопряжения на комплексной проективной прямой меняет местами точки с той же долгота, но противоположные широты.
- Проективное R -многообразием W определяется однородным многочленом х 1 2 + х 2 2 + х 3 2 также многообразие с минимальным полем определения Q . Следующее отображение определяет C -изоморфизм комплексной проективной прямой на W : ( a , b ) → (2 ab , a 2 - b 2 , -i ( a 2 + b 2 )). Отождествляя W со сферой Римана с помощью этого отображения, покоординатное действие комплексного сопряжения на W меняет местами противоположные точки сферы. Комплексная проективная прямая не может быть R -изоморфной W, потому что первая имеет вещественные точки , точки, фиксированные комплексным сопряжением, а вторая - нет.
Теоретико-схемные определения
Одним из преимуществ определения многообразий над произвольными полями с помощью теории схем является то, что такие определения являются внутренними и свободными от вложений в объемлющее аффинное n- пространство.
К -алгебраическому множеством является разделен и уменьшен схемой конечного типа над Spec ( K ) . К -многообразию является неприводимым к -алгебраическому множеству. К -морфизмом является морфизм между K -алгебраических множеств рассматриваются как схемы над Spec ( K ).
Для каждого алгебраического расширения L из K , то L -алгебраического набор , связанный с заданной K -алгебраического множеством V представляет собой расслоенное произведение схем V × Spec ( K ) Spec ( L ). К -многообразию является абсолютно неприводимым , если ассоциированными к ALG -алгебраических множества является неприводимой схема; в этом случае k -многообразие называется многообразием . Абсолютно неприводимое k -многообразие определено над k, если ассоциированное k- алгебраическое множество является редуцированной схемой. Поле определения из многообразия V является подполе л из к ALG таким образом, что существует K ∩ L -многообразие W таким образом, что Ш × Spec ( K ∩ L ) Spec ( K ) изоморфна V и конечный объект в категория приведенных схем над W × Spec ( K ∩ L ) Spec ( L ) является L -многообразием определена над L .
По аналогии с определениями аффинных и проективных многообразий, А к -многообразием является многообразие , определенное над к , если Стебель из структурного пучка в общей точке является регулярным расширением к ; более того, каждое разнообразие имеет минимальное поле определения.
Одним из недостатков теоретико-схемного определения является то, что схема над k не может иметь L -значную точку, если L не является расширением k . Например, рациональная точка (1,1,1) является решением уравнения x 1 + i x 2 - (1 + i) x 3, но соответствующее Q [i] -многообразие V не имеет Spec ( Q ) - ценный балл. Два определения поля определения также несовместимы, например, (теоретико-схемное) минимальное поле определения V - это Q , тогда как в первом определении это было бы Q [i]. Причина этого несоответствия состоит в том, что теоретико-схемные определения отслеживают только полином, установленный для изменения базиса . В этом примере один из способов избежать этих проблем - использовать Q -многообразие Spec ( Q [ x 1 , x 2 , x 3 ] / ( x 1 2 + x 2 2 + 2 x 3 2 - 2 x 1 x 3 - 2 x 2 x 3 )), ассоциированное с которым Q [i] -алгебраическое множество является объединением Q [i] -многообразия Spec ( Q [i] [ x 1 , x 2 , x 3 ] / ( x 1 + i x 2 - (1 + i) x 3 )) и его комплексно сопряженный.
Действие абсолютной группы Галуа
Абсолютная группа Галуа Gal ( к ALG / к ) от к естественно действует на нуль-локуса в А н ( K ALG ) подмножества кольца многочленов к [ х 1 , ..., х п ]. В общем, если V - схема над k (например, k -алгебраическое множество), Gal ( k alg / k ) естественным образом действует на V × Spec ( k ) Spec ( k alg ) посредством своего действия на Spec ( k alg ).
Когда V - многообразие, определенное над совершенным полем k , схема V может быть восстановлена из схемы V × Spec ( k ) Spec ( k alg ) вместе с действием Gal ( k alg / k ) на последней схеме: сечения структурного пучка V на открытом подмножестве U - это в точности сечения структурного пучка V × Spec ( k ) Spec ( k alg ) на U × Spec ( k ) Spec ( k alg ), вычеты которых постоянны на каждом Gal ( k alg / k ) - орбита в U × Spec ( k ) Spec ( k alg ). В аффинном случае это означает, что действия абсолютной группы Галуа на множестве нулей достаточно для восстановления подмножества k [ x 1 , ..., x n ], состоящего из исчезающих многочленов.
В общем, эта информация не является достаточным , чтобы восстановить V . В примере множества нулей x 1 p - t в ( F p ( t )) alg многообразие состоит из одной точки, и поэтому действие абсолютной группы Галуа не может определить, был ли порожден идеал исчезающих многочленов. на x 1 - t 1 / p , на x 1 p - t или, действительно, на x 1 - t 1 / p в некоторой другой степени p .
Для любого подполя L поля k alg и любого L -многообразия V автоморфизм σ поля k alg изоморфно отображает V на σ ( L ) -многообразие.
дальнейшее чтение
- Фрид, Майкл Д .; Моше Джарден (2005). Полевая арифметика . Springer . п. 780. DOI : 10.1007 / b138352 . ISBN 3-540-22811-Х.
- Терминология в этой статье соответствует терминологии в тексте Фрида и Джардена, которые применяют номенклатуру Вейля для разновидностей. Ссылка на второе издание здесь также содержит подраздел, содержащий словарь между этой номенклатурой и более современной схемой.
- Кунц, Эрнст (1985). Введение в коммутативную алгебру и алгебраическую геометрию . Birkhäuser. п. 256. ISBN 0-8176-3065-1.
- Кунц имеет дело строго с аффинными и проективными многообразиями и схемами, но до некоторой степени покрывает взаимосвязь между определениями Вейля для многообразий и определениями Гротендика для схем.
- Мамфорд, Дэвид (1999). Красная книга сортов и схем . Springer . С. 198–203. DOI : 10.1007 / b62130 . ISBN 3-540-63293-X.
- Мамфорд посвящает только один раздел книги таким арифметическим вопросам, как область определения, но в нем в полной мере освещаются многие теоретико-схемные результаты, изложенные в этой статье.