Линейно непересекающийся

В математике алгебра А , Б над полем к внутри некоторое поле расширения из к назовет линейно разделены над к , если выполняются следующие эквивалентные условия: ${\ displaystyle \ Omega}$

(i) Отображение, индуцированное с помощью , инъективно. ${\ displaystyle A \ otimes _ {k} B \ to AB}$ ${\ Displaystyle (х, у) \ mapsto xy}$
(II) Любая к -базису из А остается линейно независимы над В .
(iii) Если есть k -базы для A , B , то произведения линейно независимы над k . ${\ displaystyle u_ {i}, v_ {j}}$ ${\ displaystyle u_ {i} v_ {j}}$

Заметим, что, поскольку каждая подалгебра в является областью, из (i) следует, что это область (в частности, сокращенная ). И наоборот, если A и B - поля и либо A, либо B - алгебраическое расширение k и является областью, то это поле, а A и B линейно не пересекаются. Однако есть примеры, когда есть область, но A и B не являются линейно непересекающимися: например, A = B = k ( t ), поле рациональных функций над k . ${\ displaystyle \ Omega}$ ${\ displaystyle A \ otimes _ {k} B}$ ${\ displaystyle A \ otimes _ {k} B}$ ${\ displaystyle A \ otimes _ {k} B}$

Также имеется: A , B линейно не пересекаются над k тогда и только тогда, когда подполя порождаются , соответственно. линейно не пересекаются над k . (ср. тензорное произведение полей ) ${\ displaystyle \ Omega}$ ${\ displaystyle A, B}$

Предположим, что A , B линейно не пересекаются над k . Если , - подалгебры, то и линейно не пересекаются над k . Наоборот, если любые конечно порожденные подалгебры алгебр A , B линейно не пересекаются, то A , B линейно не пересекаются (поскольку условие включает только конечные множества элементов). ${\ Displaystyle A '\ подмножество A}$ ${\ Displaystyle B '\ подмножество B}$ ${\ displaystyle A '}$ ${\ displaystyle B '}$

См. Также [ править ]

Тензорное произведение полей

Ссылки [ править ]

PM Кон (2003). Базовая алгебра

Эта статья по алгебре незавершена . Вы можете помочь Википедии, расширив ее .