В математике , то дзета - функция Хассе-Вейль , прикрепленной к алгебраического многообразия V , определенной над полем алгебраических чисел К является одним из двух наиболее важных типов L-функции . Такие L- функции называются «глобальными» в том смысле , что они определяются как произведения Эйлера в терминах локальных дзета-функций . Они образуют один из двух основных классов глобальных L- функций, другой - это L- функции, связанные с автоморфными представлениями . Предположительно, существует только один существенный тип глобальных L-функция с двумя описаниями (происходящая из алгебраического многообразия, происходящая из автоморфного представления); это было бы обширным обобщением гипотезы Таниямы-Шимуры , которая сама по себе является очень глубоким и недавним результатом (по состоянию на 2009 г. [Обновить]) в теории чисел .
Определение
Описание дзета-функции Хассе – Вейля с точностью до конечного числа множителей ее эйлерова произведения относительно просто. Это следует из первоначальных предложений Гельмута Хассе и Андре Вейля , мотивированных случаем, когда V является единственной точкой, и результатом является дзета-функция Римана .
Рассматривая случай, когда K - поле рациональных чисел Q , а V - неособое проективное многообразие , мы можем для почти всех простых чисел p рассмотреть редукцию V по модулю p , алгебраическое многообразие V p над конечным полем F p с p элементами , только за счет снижения уравнений для V . Схема-теоретически, это снижение только прообраз V вдоль канонического отображения Spec F р → Spec Q . Опять-таки почти для всех p он будет неособым. Мы определяем
быть ряд Дирихле из комплексной переменной s , который является бесконечным произведением из локальных дзета - функций
Тогда Z ( s ), согласно нашему определению, определен корректно только с точностью до умножения на рациональные функции в конечном числе.
Поскольку неопределенность относительно безвредна и имеет мероморфное продолжение повсюду, в некотором смысле свойства Z (s) существенно от нее не зависят. В частности, хотя точная форма функционального уравнения для Z ( s ), отражающегося вертикальной линией в комплексной плоскости, определенно будет зависеть от «недостающих» факторов, существование такого функционального уравнения не зависит.
Более точное определение стало возможным с развитием этальных когомологий ; это четко объясняет, что делать с отсутствующими факторами «плохого сокращения». Согласно общим принципам, видимым в теории ветвления , «плохие» простые числа несут хорошую информацию (теория проводника ). Это сам по себе проявляется в этальной теории в критерии Ogg-Нерон-Шафаревиче для снижения хорошего ; а именно , что существует хорошее восстановление, в определенном смысле, у всех простых чисел р , для которых Галуа представления ρ на этальных групп когомологий V является неразветвленным . Для тех, определение локальной дзета - функции могут быть восстановлены в терминах характеристического полинома из
Frob ( p ) является элементом Фробениуса для p . Что происходит на разветвленном p, так это то, что ρ нетривиально на группе инерции I ( p ) для p . На этих простых числах определение должно быть «исправлено», беря наибольшее частное из представления ρ, на котором действует группа инерции, по тривиальному представлению . С помощью этого уточнения определение Z ( s ) может быть успешно обновлено с «почти всех» p до всех p, участвующих в произведении Эйлера. Следствия для функционального уравнения были разработаны Серром и Делинем в конце 1960-х годов; само функциональное уравнение вообще не доказано.
Пример: эллиптическая кривая над Q
Пусть Е быть эллиптическая кривая над Q из проводника N . Тогда E имеет хорошее сокращение для всех простых чисел p, не делящих N , у него есть мультипликативное сокращение для простых чисел p, которые точно делят N (т.е. такие, что p делит N , а p 2 - нет; это записывается p || N ), и он имеет аддитивное сокращение в другом месте (то есть в простых числах, где p 2 делит N ). Тогда дзета-функция Хассе – Вейля E принимает вид
Здесь ζ ( s ) - обычная дзета-функция Римана, а L ( s , E ) называется L- функцией E / Q , которая принимает вид [1]
где для данного простого р ,
где в случае хорошего сокращения a p равно p + 1 - (количество точек E по модулю p ), а в случае мультипликативного сокращения a p равно ± 1 в зависимости от того, имеет ли E раздельное или неделимое мультипликативное сокращение при стр .
Гипотеза Хассе – Вейля
Гипотеза Хассе – Вейля утверждает, что дзета-функция Хассе – Вейля должна продолжаться до мероморфной функции для всех комплексных s и удовлетворять функциональному уравнению, аналогичному уравнению дзета-функции Римана . Для эллиптических кривых над рациональными числами гипотеза Хассе – Вейля следует из теоремы модульности .
Смотрите также
Рекомендации
- ^ Раздел C.16 Силвермана, Джозеф Х. (1992), Арифметика эллиптических кривых , Тексты для выпускников по математике , 106 , Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-96203-0, Руководство по ремонту 1329092
Библиография
- Ж.-П. Серр , Facteurs locaux des fonctions zêta des varétés algébriques (определения и предположения) , 1969/1970, Sém. Деланж – Пизо – Пуату, разоблачение 19