Автоморфная форма
В гармоническом анализе и теории чисел автоморфная форма — это корректная функция от топологической группы G к комплексным числам (или комплексному векторному пространству ), которая инвариантна относительно действия дискретной подгруппы топологической группы. Автоморфные формы представляют собой обобщение идеи периодических функций в евклидовом пространстве на общие топологические группы.
Модульные формы - это голоморфные автоморфные формы, определенные над группами SL (2, R ) или PSL (2, R ) с дискретной подгруппой, являющейся модулярной группой или одной из ее подгрупп конгруэнтности ; в этом смысле теория автоморфных форм является расширением теории модулярных форм. В более общем плане можно использовать адельный подход как способ работы сразу со всем семейством подгрупп конгруэнтности . С этой точки зрения автоморфная форма над группой G ( AF ) для алгебраической группы G и поля алгебраических чисел F, является комплекснозначной функцией на G ( AF ) , инвариантной слева относительно G ( F ) и удовлетворяющей некоторым условиям гладкости и роста.
Пуанкаре впервые открыл автоморфные формы как обобщения тригонометрических и эллиптических функций . Благодаря гипотезам Ленглендса автоморфные формы играют важную роль в современной теории чисел. [1]
В математике возникает понятие фактора автоморфности для группы , действующей на комплексно-аналитическом многообразии . Предположим, что группа действует на комплексно-аналитическом многообразии . Затем также действует на пространстве голоморфных функций от до комплексных чисел. Функция называется автоморфной формой , если выполняется следующее:
где – всюду ненулевая голоморфная функция. Эквивалентно, автоморфная форма - это функция, дивизор которой инвариантен относительно действия .
Фактором автоморфности для автоморфной формы является функция . Автоморфная функция – это автоморфная форма, для которой есть тождество.
