Из Википедии, бесплатной энциклопедии
  (Перенаправлено из предположений Ленглендса )
Перейти к навигации Перейти к поиску

В математике программа Ленглендса представляет собой сеть далеко идущих и влиятельных предположений о связи между теорией чисел и геометрией . Предложенный Робертом Ленглендсом  ( 1967 , 1970 ), он пытается связать группы Галуа в алгебраической теории чисел с автоморфными формами и теорией представлений алгебраических групп над локальными полями и аделями.. Программа Ленглендса, широко рассматриваемая как самый крупный проект в современных математических исследованиях, была описана Эдвардом Френкелем как «своего рода великая объединенная теория математики». [1]

Фон [ править ]

В очень широком контексте программа основывалась на существующих идеях: философии куспид-форм, сформулированной несколькими годами ранее Хариш-Чандрой и Гельфандом  ( 1963 ), работе и подходе Хариш-Чандры к полупростым группам Ли и в технических терминах. формула следа от Сельберга и других.

Первоначально новым в работе Ленглендса, помимо технической глубины, была предложенная прямая связь с теорией чисел вместе с предполагаемой богатой организационной структурой (так называемая функториальность ).

Например, в работе Хариш-Чандры можно найти принцип, согласно которому то, что можно сделать для одной полупростой (или редуктивной) группы Ли , должно быть сделано для всех. Следовательно, как только роль некоторых низкоразмерных групп Ли, таких как GL (2), в теории модулярных форм была признана, а задним числом GL (1) в теории полей классов , был открыт путь, по крайней мере, для предположений о GL. ( n ) для общего n > 2.

Параболическая идея вышла из остриев на модулярных кривых , но и имела смысл видимый в спектральной теории , как « дискретный спектр », контрастирует с « непрерывным спектром » из рядов Эйзенштейн . Это становится гораздо более техническим для больших групп Ли, потому что параболические подгруппы более многочисленны.

Во всех этих подходах не было недостатка в технических методах, часто индуктивных по природе и основанных, среди прочего, на разложении Леви , но эта область была и остается очень сложной. [2]

А на стороне модулярных форм, были примеры , такие как гильбертовых модулярных форм , модулярных форм Зигеля и тета-рядов .

Объекты [ править ]

Есть ряд связанных гипотез Ленглендса. Существует множество различных групп по множеству различных областей, для которых они могут быть сформулированы, и для каждой области существует несколько различных версий гипотез. [3] Некоторые версии [ какие? ] гипотез Ленглендса расплывчаты или зависят от таких объектов, как группы Ленглендса , существование которых не доказано, или от L -группы, имеющей несколько неэквивалентных определений. Более того, гипотезы Ленглендса эволюционировали с тех пор, как Ленглендс впервые высказал их в 1967 году.

Существуют разные типы объектов, для которых могут быть сформулированы гипотезы Ленглендса:

  • Представления редуктивных групп над локальными полями (с различными подслучаями, соответствующими архимедовым локальным полям, p -адическим локальным полям и дополнениям функциональных полей)
  • Автоморфные формы на редуктивных группах над глобальными полями (с подслучаями, соответствующими числовым полям или функциональным полям).
  • Конечные поля. Первоначально Ленглендс не рассматривал этот случай, но его гипотезы имеют ему аналоги.
  • Более общие поля, такие как функциональные поля над комплексными числами.

Домыслы [ править ]

Есть несколько различных способов сформулировать гипотезы Ленглендса, которые тесно связаны, но не очевидно эквивалентны.

Взаимность [ править ]

Исходный пункт программы можно рассматривать как Артин «s закон взаимности , обобщающий квадратное взаимность . Закон взаимности Артина применяется к расширению Галуа поля алгебраических чисел , группа Галуа которого абелева ; он связывает L -функции с одномерными представлениями этой группы Галуа и утверждает, что эти L -функции идентичны некоторым L -рядам Дирихле или более общим рядам (то есть некоторым аналогам дзета-функции Римана ), построенным изГерои Гекке . Точное соответствие между этими различными видами L- функций составляет закон взаимности Артина.

Для неабелевых групп Галуа и их многомерных представлений можно по-прежнему определять L -функции естественным образом: L -функции Артина .

Замысел Ленглендса состоял в том, чтобы найти надлежащее обобщение L- функций Дирихле , которое позволило бы сформулировать утверждение Артина в этой более общей обстановке. Гекке ранее связывал L -функции Дирихле с автоморфными формами ( голоморфными функциями на верхней полуплоскости ( комплексных чисел ), которые удовлетворяют определенным функциональным уравнениям). Затем Ленглендс обобщил их на автоморфные каспидальные представления , которые являются некоторыми бесконечномерными неприводимыми представлениями полной линейной группы GL ( n ) над кольцом аделей группы( рациональные числа ). (Это кольцо одновременно отслеживает все пополнения см. P -адических чисел .)

Ленглендс прикрепил автоморфные L -функции к этим автоморфным представлениям и предположил, что каждая L- функция Артина, возникающая из конечномерного представления группы Галуа числового поля , равна одной, возникающей из автоморфного каспидального представления. Это известно как его « гипотеза взаимности ».

Грубо говоря, гипотеза взаимности устанавливает соответствие между автоморфными представлениями редуктивной группы и гомоморфизмами группы Ленглендса в L -группу . Есть множество вариантов этого, отчасти потому, что определения группы Ленглендса и L -группы не фиксированы.

Ожидается, что над локальными полями это даст параметризацию L -пакетов допустимых неприводимых представлений редуктивной группы над локальным полем. Например, по действительным числам это соответствие является классификацией Ленглендса представлений реальных редуктивных групп. По глобальным полям он должен давать параметризацию автоморфных форм.

Функциональность [ править ]

Гипотеза функториальности утверждает, что подходящий гомоморфизм L -групп должен давать соответствие между автоморфными формами (в глобальном случае) или представлениями (в локальном случае). Грубо говоря, гипотеза взаимности Ленглендса является частным случаем гипотезы функториальности, когда одна из редуктивных групп тривиальна.

Обобщенная функториальность [ править ]

Ленглендс обобщил идею функториальности: вместо использования общей линейной группы GL ( n ) можно использовать другие связные редуктивные группы . Кроме того, для такой группы G Ленглендс строит двойственную группу Ленглендса L G , а затем для каждого автоморфного каспидального представления группы G и любого конечномерного представления группы L G он определяет L -функцию. Одна из его гипотез утверждает, что эти L- функции удовлетворяют определенному функциональному уравнению, обобщающему уравнения других известных L- функций.

Затем он формулирует очень общий «принцип функциональности». Учитывая две редуктивные группы и (хорошо управляемый) морфизм между их соответствующими L -группами, эта гипотеза связывает их автоморфные представления способом, совместимым с их L- функциями. Из этой гипотезы функториальности вытекают все остальные выдвинутые до сих пор гипотезы. Это по природе конструкции индуцированного представления - то, что в более традиционной теории автоморфных форм называлось ` ` подъемом '', известным в частных случаях, и поэтому является ковариантным (тогда как ограниченное представлениеконтравариантно). Попытки указать прямую конструкцию дали лишь некоторые условные результаты.

Все эти гипотезы могут быть сформулированы для более общих полей вместо : полей алгебраических чисел (оригинал и наиболее важный случай), локальных полей и полей функций (конечных расширений в F р ( т ) , где р является простое и F р ( t ) - поле рациональных функций над конечным полем из p элементов).

Геометрические домыслы [ править ]

Основная статья: Геометрическая корреспонденция Ленглендса

Так называемая геометрическая программа Ленглендса, предложенная Жераром Ломоном после идей Владимира Дринфельда , возникает из геометрической переформулировки обычной программы Ленглендса, которая пытается связать больше, чем просто неприводимые представления. В простых случаях, оно относится л -адические представления этальной фундаментальной группы в качестве алгебраической кривой на объекты производной категории из л -адических пучков на модулей стека из векторных расслоений над кривой.

Текущий статус [ править ]

Гипотезы Ленглендса для GL (1, K ) вытекают из теории полей классов (и по существу эквивалентны ей) .

Ленглендс доказал гипотезы Ленглендса для групп над архимедовыми локальными полями ( действительными числами ) и дал классификацию Ленглендса их неприводимых представлений.

Классификацию Люстига неприводимых представлений групп лиева типа над конечными полями можно рассматривать как аналог гипотез Ленглендса для конечных полей.

Доказательство Эндрю Уайлса модулярности полустабильных эллиптических кривых над рациональными числами можно рассматривать как пример гипотезы взаимности Ленглендса, поскольку основная идея состоит в том, чтобы связать представления Галуа, возникающие из эллиптических кривых, с модулярными формами. Хотя результаты Уайлса были существенно обобщены во многих различных направлениях, полная гипотеза Ленглендса для остается недоказанной.

В 1998 году Лаффорг доказал теорему Лафорг по проверке гипотезы Ленглендсом для общей линейной группы GL ( п , К ) для функциональных полей K . Эта работа продолжила более ранние исследования Дринфельда, который доказал справедливость GL (2, K ) в 1980-х годах.

В 2018 году Винсент Лафорг установил глобальное соответствие Ленглендса (направление от автоморфных форм к представлениям Галуа) для связных редуктивных групп над глобальными функциональными полями. [4] [5] [6]

Местные Ленглендса домыслы [ править ]

Основная статья: местные домыслы Ленглендса

Филип Куцко  ( 1980 ) доказал локальные гипотезы Ленглендса для полной линейной группы GL (2, K ) над локальными полями.

Жерар Ломон , Майкл Рапопорт и Ульрих Стулер  ( 1993 ) доказали локальный Ленглендс гипотезу для общей линейной группы GL ( п , К ) для положительной характеристики локальных полого K . В их доказательстве используется глобальный аргумент.

Ричард Тейлор и Майкл Харрис  ( 2001 ) доказали локальные гипотезы Ленглендса для полной линейной группы GL ( n , K ) для локальных полей K характеристики 0 . Гай Хенниар  ( 2000 ) дал еще одно доказательство. Оба доказательства используют глобальный аргумент. Питер Шольце  ( 2013 ) дал еще одно доказательство.

Основная лемма [ править ]

Основная статья: Основная лемма (программа Ленглендса)

В 2008 году Нго Бо Чау доказал « фундаментальную лемму », которая была первоначально выдвинута Ленглендсом и Шелстадом в 1983 году и требовалась для доказательства некоторых важных гипотез в программе Ленглендса. [7] [8]

Заметки [ править ]

  1. ^ «Математический квартет объединяет усилия по единой теории» . Quanta . 8 декабря 2015 года.
  2. ^ Френкель, Эдвард (2013). Любовь и математика . ISBN 978-0-465-05074-1. Все это, как сказал мой папа, довольно тяжелое: у нас есть пространства модулей Хитчина, зеркальная симметрия, A -брана, B -брана, автоморфные связки ... Можно получить головную боль, просто пытаясь их уследить. все. Поверьте, даже среди специалистов мало кто знает гайки и болты всех элементов этой конструкции.
  3. Перейти ↑ Frenkel, Edward (2013), Love and Math: The Heart of Hidden Reality , Basic Books, p. 77, ISBN 9780465069958, Программа Ленглендса теперь является обширной темой. Над ним работает большое сообщество людей в разных областях: теория чисел, гармонический анализ, геометрия, теория представлений, математическая физика. Хотя они работают с очень разными объектами, все они наблюдают похожие явления.
  4. ^ Lafforgue, В. (2018). «Штука для редуктивных групп и соответствие Ленглендса для функциональных полей» . icm2018.org . arXiv : 1803.03791 . «альтернативный источник» (PDF) . math.cnrs.fr .
  5. ^ Lafforgue, В. (2018). "Chtoucas pour les groupes réductifs et paramétrisation de Langlands" . Журнал Американского математического общества . 31 : 719–891. arXiv : 1209,5352 . DOI : 10,1090 / джемы / 897 . S2CID 118317537 . 
  6. ^ Стро, B. (январь 2016). La paramétrisation de Langlands globale sur les corps des fonctions (d'après Vincent Lafforgue) (PDF) . Séminaire Bourbaki 68ème année, 2015–2016, вып. 1110, Янвье 2016.
  7. ^ Châu, Нго Bảo (2010). "Lemme fondamental pour les algèbres de Lie". Публикации Mathématiques de l'IHÉS . 111 : 1–169. arXiv : 0801.0446 . DOI : 10.1007 / s10240-010-0026-7 . S2CID 118103635 . 
  8. ^ Лэнглендс, Роберт П. (1983). "Les débuts d'une formule des traces stable" . UER de Mathématiques. Публикации Mathématiques de l'Université Paris [Математические публикации Парижского университета] . Париж: Парижский университет. VII (13). Руководство по ремонту 0697567 . 

Ссылки [ править ]

  • Артур, Джеймс (2003), «Принцип функториальности», Бюллетень Американского математического общества , Новая серия, 40 (1): 39–53, DOI : 10.1090 / S0273-0979-02-00963-1 , ISSN  0002- 9904 , MR  1943132
  • Bernstein, J .; Гелбарт, С. (2003), Введение в программу Ленглендса , Бостон: Birkhäuser, ISBN 978-3-7643-3211-2
  • Gelbart, Стивен (1984), "Элементарное введение в программу Ленглендса", Бюллетень Американского математического общества , Новая серия, 10 (2): 177-219, DOI : 10,1090 / S0273-0979-1984-15237-6 , ISSN  0002-9904 , MR  0733692
  • Френкель, Эдвард (2005). «Лекции по программе Ленглендса и теории конформного поля». arXiv : hep-th / 0512172 .
  • Гельфанд, И.М. (1963), "Автоморфные функции и теория представлений" , Proc. Междунар. Congr. Математики (Стокгольм, 1962) , Djursholm: Inst. Mittag-Leffler, стр. 74–85, MR  0175997
  • Харрис, Майкл; Тейлор, Ричард (2001), Геометрия и когомологии некоторых простых многообразий Шимуры , Анналы математических исследований, 151 , Princeton University Press , ISBN 978-0-691-09090-0, MR  1876802
  • Хенниарт, Гай (2000), "Une preuve simple des conjectures de Langlands pour GL ( n ) sur un corps p -adique", Inventiones Mathematicae , 139 (2): 439–455, Bibcode : 2000InMat.139..439H , doi : 10.1007 / s002220050012 , ISSN  0020-9910 , MR  1738446 , S2CID  120799103
  • Kutzko, Philip (1980), "О Ленглендса гипотеза для Gl 2 локального поля", Анналы математики , 112 (2): 381-412, DOI : 10,2307 / 1971151 , JSTOR  1971151
  • Ленглендс, Роберт (1967), письмо профессору Вейлю
  • Langlands, RP (1970), "Проблемы теории автоморфных форм" , Лекции по современному анализу и приложениям, III , Lecture Notes in Math, 170 , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , стр. 18–61, doi : 10.1007 / BFb0079065 , ISBN 978-3-540-05284-5, MR  0302614
  • Laumon, G .; Рапопорт, М .; Stühler, У. (1993), " D -эллиптических шкивы и соответствие Ленглендса", Inventiones Mathematicae , 113 (2): 217-338, Bibcode : 1993InMat.113..217L , DOI : 10.1007 / BF01244308 , ISSN  0020-9910 , Руководство по ремонту  1228127 , S2CID  124557672
  • Шольце, Питер (2013), «Локальное соответствие Ленглендса для GL ( n ) над p -адическими полями», Inventiones Mathematicae , 192 (3): 663–715, arXiv : 1010.1540 , Bibcode : 2013InMat.192..663S , doi : 10.1007 / s00222-012-0420-5 , S2CID  15124490

Внешние ссылки [ править ]

  • Работа Роберта Ленглендса