В теории чисел и алгебраической геометрии модулярной кривой Y ( Γ) называется риманова поверхность или соответствующая алгебраическая кривая , построенная как фактор комплексной верхней полуплоскости H по действию конгруэнц - подгруппы Γ модулярной группы целочисленные матрицы размера 2×2 SL(2, Z ). Термин модулярная кривая может также использоваться для обозначения компактифицированных модулярных кривых X (Γ), которые являются компактификациями , полученными добавлением конечного числа точек (называемых точками возврата Γ) к этому частному (через действие на расширенной комплексной верхней полуплоскости ). Точки модулярной кривой параметризуют классы изоморфизма эллиптических кривых вместе с некоторой дополнительной структурой, зависящей от группы Γ. Эта интерпретация позволяет дать чисто алгебраическое определение модулярных кривых без ссылки на комплексные числа и, кроме того, доказать, что модулярные кривые определены либо над полем рациональных чисел Q , либо над круговым полем Q (ζ n ). Последний факт и его обобщения имеют принципиальное значение в теории чисел.
Модулярная группа SL(2, Z ) действует на верхней полуплоскости дробно-линейными преобразованиями . Аналитическое определение модулярной кривой связано с выбором подгруппы конгруэнций Γ группы SL(2, Z ), т. е. подгруппы, содержащей главную подгруппу конгруэнций уровня N Γ( N ), для некоторого натурального числа N , где
Минимальное такое N называется уровнем Γ . На фактор-группу Γ\ H можно наложить комплексную структуру , чтобы получить некомпактную риманову поверхность, обычно обозначаемую Y (Γ).
Обычная компактификация Y (Γ) получается добавлением конечного числа точек, называемых точками возврата Γ. В частности, это делается путем рассмотрения действия Γ на расширенной комплексной верхней полуплоскости H * = H ∪ Q ∪ {∞ }. Введем топологию на H *, взяв за основу:
Это превращает H * в топологическое пространство, являющееся подмножеством римановой сферы P1 ( C ). Группа Γ действует на подмножестве Q ∪ {∞ }, разбивая его на конечное число орбит , называемых точками возврата Γ . Если Γ действует транзитивно на Q ∪ {∞ }, пространство Γ\ H * становится компактификацией Александрова пространства Γ\ H . Снова на фактор-группу Γ\ H * можно наложить комплексную структуру, превращая ее в риманову поверхность, обозначаемую X (Γ), которая теперь является компактной . Это пространство является компактификациейY (Г). [1]
Наиболее распространенными примерами являются кривые X ( N ), X0 ( N ) и X1 ( N ), ассоциированные с подгруппами Γ( N ) , Γ0 ( N ) и Γ1 ( N ) .