В математике , как L-функция из теории чисел , как ожидается, имеет ряд характерных свойств, один из которых является то , что они удовлетворяют определенные функциональные уравнения . Существует сложная теория того, какими должны быть эти уравнения, большая часть которой все еще остается предположительной.
Вступление
Типичный пример, дзета-функция Римана имеет функциональное уравнение, связывающее ее значение в комплексном числе s со значением в 1 - s . В любом случае это относится к некоторому значению ζ ( s ), которое определяется только аналитическим продолжением определения бесконечного ряда . То есть, записывая - как принято - σ для действительной части s , функциональное уравнение связывает случаи
- σ> 1 и σ <0,
а также меняет случай с
- 0 <σ <1
в критической полосе к другому подобному случаю, отраженному линией σ = ½. Следовательно, использование функционального уравнения является основным для изучения дзета-функции во всей комплексной плоскости .
Рассматриваемое функциональное уравнение для дзета-функции Римана принимает простой вид
где Z ( s ) - это ζ ( s ), умноженное на гамма-фактор , включающий гамма-функцию . Теперь это читается как «дополнительный» множитель в произведении Эйлера для дзета-функции, соответствующий бесконечному простому числу . Точно такой же форма функционального уравнения имеет место для дедекиндовым дзета - функции в виде числового поля К , с помощью соответствующего гамма-фактора , который зависит только от вложения К (в алгебраических терминах, на тензорного произведения из K с полем действительных чисел ).
Аналогичное уравнение существует для L-функций Дирихле , но на этот раз связывает их попарно: [1]
где χ - примитивный характер Дирихле , χ * - его комплексно сопряженный, Λ - L-функция, умноженная на гамма-фактор, и ε - комплексное число с модулем 1, имеющее форму
где G (χ) - сумма Гаусса, образованная из χ. Это уравнение имеет одну и ту же функцию с обеих сторон тогда и только тогда, когда χ - вещественный характер , принимающий значения в {0,1, −1}. Тогда ε должно быть 1 или −1, и случай значения −1 будет означать, что Λ ( s ) равен нулю при s = ½. Согласно теории (по сути, Гаусса) сумм Гаусса, значение всегда равно 1, поэтому такой простой ноль не может существовать (функция даже близка к точке).
Теория функциональных уравнений
Единая теория таких функциональных уравнений была дана Эрихом Hecke и теория была взята опять в диссертации Тейта по Джону Тэйт . Гекке нашел обобщенные символы числовых полей, теперь называемые символами Гекке , для которых его доказательство (основанное на тета-функциях ) также работало. Эти символы и связанные с ними L-функции теперь считаются строго связанными с комплексным умножением , как символы Дирихле - с круговыми полями .
Существуют также функциональные уравнения для локальных дзета-функций , возникающие на фундаментальном уровне для (аналога) двойственности Пуанкаре в этальных когомологиях . Предполагается, что произведения Эйлера дзета-функции Хассе – Вейля для алгебраического многообразия V над числовым полем K , образованные редукцией по модулю простых идеалов для получения локальных дзета-функций, имеют глобальное функциональное уравнение; но в настоящее время это считается недостижимым, за исключением особых случаев. Это определение снова можно прочитать непосредственно из теории этальных когомологий; но в целом некоторые предположения, исходящие из теории автоморфных представлений, кажутся необходимыми для получения функционального уравнения. Гипотеза Таниямы – Шимуры была частным случаем этой общей теории. Связав аспект гамма-фактора с теорией Ходжа и подробные исследования ожидаемого ε-фактора, теория как эмпирическая была доведена до довольно усовершенствованного состояния, даже если доказательства отсутствуют.
Смотрите также
- Явная формула (L-функция)
- Формула Римана – Зигеля (частное приближенное функциональное уравнение)