Сумма Гаусса

В теории алгебраических чисел , А сумма Гаусса или гауссова сумма является конкретным видом конечной суммы из корней единицы , как правило ,

{\ Displaystyle G (\ чи): = г (\ чи, \ фунт / кв. дюйм) = \ сумма \ чи (г) \ CDOT \ фунт / кв. дюйм (г)}

где сумма берется по элементов $г$ некоторого конечного коммутативного кольца $R$ , $ψ$ представляет собой групповой гомоморфизм из аддитивной группы $R +$ в единичной окружности , и $χ$ представляет собой группу гомоморфизм единицы группы $R \times$ в единичной окружности, распространяется на Non -единица $r$ , где принимает значение 0. Суммы Гаусса являются аналогами для конечных полей гамма-функции . ^{[ требуется разъяснение ]}

Такие суммы широко используются в теории чисел . Они встречаются, например, в функциональных уравнениях $L-$ функций Дирихле , где для характера Дирихле $χ$ уравнение, связывающее $L (s, χ)$ и $L (1 - s, χ$ ) (где $χ$ - комплексное сопряжение функции $χ$ ) включает фактор ^{[ требуется разъяснение ]}

{\ displaystyle {\ frac {G (\ chi)} {| G (\ chi) |}}.}

История [ править ]

Случай первоначально рассмотрен Гаусс был квадратичной суммой Гаусса , для $R$ поле вычетов по модулю на простое число $р$ , а $х$ на символ Лежандра . В этом случае Гаусс доказал, что $G (χ) = p 1 ⁄ 2$ или $ip 1 ⁄ 2$ для $p,$ конгруэнтного 1 или 3 по модулю 4 соответственно (квадратичная сумма Гаусса также может быть вычислена с помощью анализа Фурье, а также путем интегрирования по контуру ).

Альтернативная форма этой суммы Гаусса:

{\ displaystyle \ sum e ^ {\ frac {2 \ pi ir ^ {2}} {p}}}

Квадратичные суммы Гаусса тесно связаны с теорией тета-функций .

Общая теория сумм Гаусса была разработана в начале 19 века с использованием сумм Якоби и их разложения на простые числа в круговых полях . Суммы Гаусса по кольцу вычетов целых чисел по $модулю N$ представляют собой линейные комбинации тесно связанных сумм, называемых гауссовскими периодами .

Абсолютное значение сумм Гаусса обычно находится как приложение теоремы Планшереля о конечных группах. В случае, когда $R$ - поле из $p$ элементов, а $χ$ нетривиально, модуль равен $p 1 ⁄ 2$ . Определение точного значения общих сумм Гаусса, следуя результату Гаусса в квадратичном случае, является давней проблемой. Для некоторых случаев см. Сумму Куммера .

Свойства сумм Гаусса характеров Дирихле [ править ]

Сумма Гаусса характера Дирихле по модулю $N$ равна

{\ displaystyle G (\ chi) = \ sum _ {a = 1} ^ {N} \ chi (a) e ^ {\ frac {2 \ pi ia} {N}}.}

Если $х$ тоже примитивен , то

{\ Displaystyle | G (\ чи) | = {\ sqrt {N}},}

в частности, он не равен нулю. В более общем смысле , если $N 0$ представляет собой проводник из $й$ и $χ 0$ является примитивным характер Дирихля по модулю $N 0$ , индуцирующие $х$ , то сумма Гаусса $х$ связана , что из $й 0$ по

{\ displaystyle G (\ chi) = \ mu \ left ({\ frac {N} {N_ {0}}} \ right) \ chi _ {0} \ left ({\ frac {N} {N_ {0}) }} \ right) G \ left (\ chi _ {0} \ right)}

где $μ$ - функция Мёбиуса . Следовательно, $G (χ)$ отлична от нуля именно тогда, когда $N / № 0$ является бесквадратно и взаимно простым с $N 0$ . ^[1]

Другие отношения между $G (χ)$ и суммами Гаусса других характеров включают

{\ Displaystyle G ({\ overline {\ chi}}) = \ chi (-1) {\ overline {G (\ chi)}},}

где $χ$ - комплексно сопряженный характер Дирихле, и если $χ'$ - характер Дирихле по модулю $N'$ такой, что $N$ и $N'$ взаимно просты, то

G\left(\chi \chi ^{\prime }\right)=\chi \left(N^{\prime }\right)\chi ^{\prime }(N)G(\chi )G\left(\chi ^{\prime }\right).

Связь между $G (χχ')$ , $G (χ)$ и $G (χ'),$ когда $χ$ и $χ'$ имеют один и тот же модуль (и $χχ'$ примитивна), измеряется суммой Якоби $J (χ, χ')$ . Конкретно,

G\left(\chi \chi ^{\prime }\right)={\frac {G(\chi )G\left(\chi ^{\prime }\right)}{J\left(\chi ,\chi ^{\prime }\right)}}.

Другие свойства [ править ]

Суммы Гаусса могут быть использованы для доказательства квадратичной взаимности , кубической взаимности и четвертичной взаимности.
Суммы Гаусса могут использоваться для вычисления количества решений полиномиальных уравнений над конечными полями и, таким образом, могут использоваться для вычисления определенных дзета-функций.

См. Также [ править ]

Теорема Чоула – Морделла
Эллиптическая сумма Гаусса
Гауссов период
Соотношение Хассе-Дэвенпорта
Сумма Якоби
Теорема Штикельбергера
Квадратичная сумма Гаусса
Сумма Куммера

Ссылки [ править ]

^ Теорема 9.10 в HL Монтгомери, RC Vaughan, мультипликативной теории чисел. I. Классическая теория , Кембриджские исследования по высшей математике, 97 , (2006).

Апостол, Том М. (1976), Введение в аналитическую теорию чисел , Тексты для студентов по математике, Нью-Йорк-Гейдельберг: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90163-3, Руководство по ремонту 0434929 , Zbl 0335.10001
Берндт, Британская Колумбия ; Evans, RJ; Уильямс, KS (1998). Суммы Гаусса и Якоби . Серия монографий и продвинутых текстов Канадского математического общества. Вайли. ISBN 0-471-12807-4. Zbl 0906.11001 .
Ирландия, Кеннет; Розен, Майкл (1990). Классическое введение в современную теорию чисел . Тексты для выпускников по математике . 84 (2-е изд.). Springer-Verlag . ISBN 0-387-97329-X. Zbl 0712.11001 .
Раздел 3.4 Иванец, Хенрик ; Ковальский, Эммануэль (2004), Аналитическая теория чисел , Публикации коллоквиума Американского математического общества, 53 , Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN 978-0-8218-3633-0, Руководство по ремонту 2061214 , Zbl 1059.11001

[1] Теорема 9.10 в HL Монтгомери, RC Vaughan, мультипликативной теории чисел. I. Классическая теория , Кембриджские исследования по высшей математике, 97 , (2006).

[1]