Сумма Якоби

Эта статья включает в себя список литературы , связанной литературы или внешних ссылок , но ее источники остаются неясными, поскольку в ней отсутствуют встроенные цитаты . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью, добавив более точные цитаты. ( Декабрь 2016 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

В математике , сумма Якоби является типом суммы символов формируются с характерами Дирихля . Простыми примерами могут быть суммы Якоби J ( χ , ψ ) для характеров Дирихле χ , ψ по модулю простого числа p , определенные формулой

${\ Displaystyle J (\ чи, \ пси) = \ сумма \ чи (а) \ пси (1-а) \ ,,}$

где суммирование ведется по всем вычетам a = 2, 3, ..., p - 1 mod p (для которых ни a, ни 1 - a не равны 0). Якоби суммы являются аналогами для конечных полей в бета - функции . Такие суммы были введены К. Дж. Якоби в начале девятнадцатого века в связи с теорией циклотомии . Суммы Якоби J в общем случае разлагаются на произведения степеней сумм Гаусса g . Например, если характер χψ нетривиален,

${\ Displaystyle J (\ чи, \ psi) = {\ гидроразрыва {g (\ chi) g (\ psi)} {g (\ chi \ psi)}} \ ,,}$

аналогично формуле для бета-функции через гамма-функции . Поскольку ненулевые сумм Гаусса г есть абсолютное значение р ^{1 / ₂} , то отсюда следует , что J ( χ , ψ ) также имеет абсолютное значение р ^{1 / ₂} , когда символы χψ , х , ψ нетривиальны. Суммы Якоби J лежат в меньших круговых полях, чем нетривиальные суммы Гаусса g . Слагаемые J ( χ, ψ ), например, не содержат корня p- й степени из единицы , а скорее включают только значения, которые лежат в круговом поле корней ( p - 1) -й степени из единицы. Как и суммы Гаусса, суммы Якоби известны факторизацией простых идеалов в своих круговых полях; см . теорему Штикельбергера .

Когда χ - символ Лежандра ,

${\ Displaystyle J (\ чи, \ чи) = - \ чи (-1) = (- 1) ^ {\ гидроразрыва {p + 1} {2}} \ ,.}$

В общем случае значения сумм Якоби возникают в связи с местными дзета-функций из диагональных форм . Результат для символа Лежандра равен формуле p + 1 для количества точек на коническом сечении, которое является проективной линией над полем из p элементов. Статья Андре Вейля 1949 года очень оживила эту тему. Действительно, благодаря соотношению Хассе-Дэвенпорта конца 20-го века формальные свойства степеней сумм Гаусса снова стали актуальными.

Помимо указания на возможность записи локальных дзета-функций для диагональных гиперповерхностей с помощью общих сумм Якоби, Вейль (1952) продемонстрировал свойства сумм Якоби как характеров Гекке . Это стало важным после установления комплексного умножения абелевых разновидностей . Символы Гекка идет речь , были именно то нужно , чтобы выразить Хассу-Вейль L -функцию из кривых Ферма , например. Точные дирижеры этих персонажей - вопрос, который Вейль оставил открытым, - были определены в более поздних работах.

Ссылки [ править ]

• Берндт, Британская Колумбия; Evans, RJ; Уильямс, KS (1998). Суммы Гаусса и Якоби . Вайли.^{[ ISBN отсутствует ]}
• Ланг, С. (1978). Циклотомические поля . Тексты для выпускников по математике. 59 . Springer Verlag. гл. 1. ISBN 0-387-90307-0. CS1 maint: обескураженный параметр ( ссылка )
• Вайль, Андре (1949). «Числа решений уравнений в конечных полях» . Бык. Амер. Математика. Soc . 55 (5): 497–508. DOI : 10.1090 / s0002-9904-1949-09219-4 . CS1 maint: discouraged parameter (link)
• Вайль, Андре (1952). «Суммы Якоби как Grössencharaktere» . Пер. Амер. Математика. Soc . 73 (3): 487–495. DOI : 10.1090 / s0002-9947-1952-0051263-0 . CS1 maint: discouraged parameter (link)