Отношения Хассе – Давенпорта , введенные Давенпортом и Хассе ( 1935 ), представляют собой два связанных тождества для сумм Гаусса , одно из которых называется отношением подъема Хассе – Давенпорта , а другое - отношением произведения Хассе – Давенпорта . Соотношение подъема Хассе – Давенпорта - это равенство в теории чисел, связывающее суммы Гаусса по различным полям. Вейль (1949) использовал его для вычисления дзета-функции гиперповерхности Ферма над конечным полем , что послужило основанием для гипотез Вейля .
Суммы Гаусса являются аналогами гамма-функции над конечными полями, а соотношение произведения Хассе – Дэвенпорта является аналогом формулы умножения Гаусса
На самом деле отношение продукт Хассы-Дэйвенпорт следует из аналогичной формулы умножения для р -адических гамма - функций вместе с формулой Брутто-Köblitz из Gross & Köblitz (1979) .
Подъемное соотношение Хассе – Давенпорта
Пусть F конечное поле с ц элементами, а Р ы быть поле таким образом, что [ F s : F ] = s , то есть, ев является измерение в векторном пространстве Р ы над F .
Позволять быть элементом .
Позволять - мультипликативный символ от F до комплексных чисел.
Позволять быть нормой от к определяется
Позволять быть мультипликативным символом на который является составом с нормой от F s до F , т. е.
Пусть ψ - некоторый нетривиальный аддитивный характер группы F , и пусть быть аддитивным персонажем на который является составом со следом от F s до F , то есть
Позволять
- сумма Гаусса над F , и пусть быть суммой Гаусса по .
Тогда соотношение подъема Хассе – Давенпорта утверждает, что
Связь продукции Hasse – Davenport
В соотношении продуктов Хассе – Давенпорта говорится, что
где ρ - мультипликативный характер точного порядка m, делящий q –1, χ - любой мультипликативный характер, а ψ - нетривиальный аддитивный характер.
Рекомендации
- Давенпорт, Гарольд; Хассе, Гельмут (1935), «Die Nullstellen der Kongruenzzetafunktionen in gewissen zyklischen Fällen. (О нулях дзета-функций сравнения в некоторых циклических случаях)» , Journal für die Reine und Angewandte Mathematik (на немецком языке), 172 : 151 182, ISSN 0075-4102 , Zbl 0010.33803
- Гросс, Бенедикт Х .; Коблиц, Нил (1979), "Гаусс сумма и р-адических Γ-функция", Анналы математики , вторая серия, 109 (3): 569-581, DOI : 10,2307 / 1971226 , ISSN 0003-486X , JSTOR 1971226 , Руководство по ремонту 0534763
- Ирландия, Кеннет; Розен, Майкл (1990). Классическое введение в современную теорию чисел . Springer. стр. 158 -162. ISBN 978-0-387-97329-6.
- Вейль, Андре (1949), "Числа решений уравнений в конечных полях", Бюллетень Американского математического общества , 55 (5): 497-508, DOI : 10,1090 / S0002-9904-1949-09219-4 , ISSN 0002 -9904 , МР 0029393 Перепечатано в Oeuvres Scientifiques / Collected Papers Андре Вейлем ISBN 0-387-90330-5