p -адическая гамма-функция

В математике p -адическая гамма-функция Γ _p является функцией p-адической переменной, аналогичной гамма-функции . Впервые она была явно определена Моритой (1975) , хотя Боярский (1980) указал, что Дворк (1964) неявно использовал ту же функцию. Алмаз (1977) определил р -адическая аналог G _р лог Г. Оверхольцер (1952) ранее дал определение другого p -адического аналога гамма-функции, но его функция не имеет удовлетворительных свойств и мало используется.

Определение [ править ]

Р -адическая гамма - функция является единственной непрерывной функцией р -адического целого числа х (со значениями в ) таким образом, что${\ Displaystyle \ mathbb {Z} _ {p}}$

${\ displaystyle \ Gamma _ {p} (x) = (- 1) ^ {x} \ prod _ {0 <i <x, \ p \ nmid i} i}$

для положительных целых чисел x , где произведение ограничено целыми числами i, не делящимися на p . Поскольку натуральные числа плотны относительно p -адической топологии в , их можно однозначно продолжить на все . Вот кольцо целых p -адических чисел . Это происходит по определению, в котором значения обратимы . Это так, потому что эти значения являются произведениями целых чисел, не делящихся на p , и это свойство сохраняется после непрерывного расширения на . Итак . Вот множество обратимых целых p -адических чисел.${\ Displaystyle \ mathbb {Z} _ {p}}$${\ displaystyle \ Gamma _ {p} (x)}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z} _ {p}}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z} _ {p}}$${\ Displaystyle \ Gamma _ {p} (\ mathbb {Z})}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z} _ {p}}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z} _ {p}}$${\ displaystyle \ Gamma _ {p}: \ mathbb {Z} _ {p} \ to \ mathbb {Z} _ {p} ^ {\ times}}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}^{\times }}$

Основные свойства ${\displaystyle \Gamma _{p}}$[ править ]

Классическая гамма-функция удовлетворяет функциональному уравнению для любого . Это имеет аналог по отношению к гамма-функции Морита:${\displaystyle \Gamma (x+1)=x\Gamma (x)}$${\displaystyle x\in \mathbb {C} \setminus \mathbb {Z} _{\leq 0}}$

${\displaystyle {\frac {\Gamma _{p}(x+1)}{\Gamma _{p}(x)}}={\begin{cases}-x,&{\mbox{if }}x\in \mathbb {Z} _{p}^{\times }\\-1,&{\mbox{if }}x\in p\mathbb {Z} _{p}.\end{cases}}}$

Формула отражения Эйлера имеет следующий простой аналог в p -адическом случае:${\displaystyle \Gamma (x)\Gamma (1-x)={\frac {\pi }{\sin {(\pi x)}}}}$

${\displaystyle \Gamma _{p}(x)\Gamma _{p}(1-x)=(-1)^{x_{0}},}$

где - первая цифра в p -адическом разложении x , если , в этом случае, а не 0 .${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle x\in p\mathbb {Z} _{p}}$${\displaystyle x_{0}=p}$

Особые значения [ править ]

${\displaystyle \Gamma _{p}(0)=1,}$

${\displaystyle \Gamma _{p}(1)=-1,}$

${\displaystyle \Gamma _{p}(2)=1,}$

${\displaystyle \Gamma _{p}(3)=-2,}$

и в целом

${\displaystyle \Gamma _{p}(n+1)={\frac {(-1)^{n+1}n!}{[n/p]!p^{[n/p]}}}\quad (n\geq 2).}$

У Мориты гамма-функция связана с символом Лежандра :${\displaystyle x={\frac {1}{2}}}$${\displaystyle \left({\frac {a}{p}}\right)}$

${\displaystyle \Gamma _{p}\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}=-\left({\frac {-1}{p}}\right).}$

Также видно, что отсюда as . ^{[1] : 369}${\displaystyle \Gamma _{p}(p^{n})\equiv 1{\pmod {p^{n}}},}$${\displaystyle \Gamma _{p}(p^{n})\to 1}$${\displaystyle n\to \infty }$

Другие интересные специальные значения происходят из формулы Гросса – Коблица , которая сначала была доказана когомологическими инструментами, а позже была доказана более элементарными методами. ^[2] Например,

${\displaystyle \Gamma _{5}\left({\frac {1}{4}}\right)^{2}=-2+{\sqrt {-1}},}$

${\displaystyle \Gamma _{7}\left({\frac {1}{3}}\right)^{3}={\frac {1-3{\sqrt {-3}}}{2}},}$

где обозначает корень с первой цифрой 3, а с мы обозначаем корень с первой цифрой 2. (Такие спецификации всегда должны выполняться, если мы говорим о корнях.)${\displaystyle {\sqrt {-1}}\in \mathbb {Z} _{5}}$${\displaystyle {\sqrt {-3}}\in \mathbb {Z} _{7}}$

Другой пример

${\displaystyle \Gamma _{3}\left({\frac {1}{8}}\right)\Gamma _{3}\left({\frac {3}{8}}\right)=-(1+{\sqrt {-2}}),}$

где есть квадратный корень в сравнимых с 1 по модулю 3. ^[3]${\displaystyle {\sqrt {-2}}}$${\displaystyle -2}$${\displaystyle \mathbb {Q} _{3}}$

p -адическая формула Раабе [ править ]

Формула Раабе для классической гамма-функции говорит, что

${\displaystyle \int _{0}^{1}\log \Gamma (x+t)dt={\frac {1}{2}}\log(2\pi )+x\log x-x.}$

Это имеет аналог логарифма Ивасавы гамма-функции Мориты: ^[4]

${\displaystyle \int _{\mathbb {Z} _{p}}\log \Gamma _{p}(x+t)dt=(x-1)(\log \Gamma _{p})'(x)-x+\left\lceil {\frac {x}{p}}\right\rceil \quad (x\in \mathbb {Z} _{p}).}$

Функцию потолка следует понимать как р -адического предел таким образом, что через рациональные числа.${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left\lceil {\frac {x_{n}}{p}}\right\rceil }$${\displaystyle x_{n}\to x}$

Расширение Малера [ править ]

Расширение Малер является так же важно для р -адическими функций как разложение в ряд Тейлора в классическом анализе. Разложение Малера p -адической гамма-функции выглядит следующим образом: ^{[1] : 374}

${\displaystyle \Gamma _{p}(x+1)=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}{\binom {x}{k}},}$

где последовательность определяется следующим тождеством:${\displaystyle a_{k}}$

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k+1}a_{k}{\frac {x^{k}}{k!}}={\frac {1-x^{p}}{1-x}}\exp \left(x+{\frac {x^{p}}{p}}\right).}$

См. Также [ править ]

• Формула Гросса – Коблица

Ссылки [ править ]

• Боярский, Маурицио (1980), "р-адические гамма - функции и Дворк когомологий", Труды Американского математического общества , 257 (2): 359-369, DOI : 10,2307 / 1998301 , ISSN  0002-9947 , JSTOR  1998301 , МР  0552263
• Алмаз, Джек (1977), "р-адическая журнала гамма - функция и р-адические константы Эйлера", Труды Американского математического общества , 233 : 321-337, DOI : 10,2307 / 1997840 , ISSN  0002-9947 , JSTOR  1997840 , Руководство по ремонту  0498503
• Даймонд, Джек (1984), «p-адические гамма-функции и их приложения», у Чудновского, Дэвид В .; Чудновский, Григорий В .; Кон, Генри; и другие. (ред.), теория чисел , (Нью - Йорк, 1982) , Лекции по математике,. 1052 , Берлин, Нью - Йорк: Springer-Verlag , стр 168-175,. DOI : 10.1007 / BFb0071542 , ISBN 978-3-540-12909-7, Руководство по ремонту  0750664
• Дворк, Бернар (1964), "На дзета - функции гиперповерхности II" Анналы математики , второй серии 80 (2): 227-299, DOI : 10,2307 / 1970392 , ISSN  0003-486X , JSTOR  1970392 , М.Р.  0188215
• Морита, Ясуо (1975), "p-адический аналог Γ-функции", журнал факультета естественных наук. Токийский университет. Раздел IA. Математика , 22 (2): 255–266, hdl : 2261/6494 , ISSN  0040-8980 , MR  0424762
• Overholtzer, Гордон (1952), "Sum функция в элементарном р-адического анализ", Американский журнал математика , 74 (2): 332-346, DOI : 10,2307 / 2371998 , ISSN  0002-9327 , JSTOR  2371998 , MR  0048493