p -адическая экспоненциальная функция

В математике , особенно в p- адическом анализе , p -адическая экспоненциальная функция является p -адическим аналогом обычной экспоненциальной функции на комплексных числах . Как и в сложном случае, у него есть обратная функция, называемая p -адическим логарифмом .

Определение [ править ]

Обычная экспоненциальная функция на C определяется бесконечным рядом

${\ displaystyle \ exp (z) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {z ^ {n}} {n!}}.}$

Совершенно аналогично, можно определить экспоненту на C _p , пополнение алгебраического замыкания Q _p , следующим образом:

${\ displaystyle \ exp _ {p} (z) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {z ^ {n}} {n!}}.}$

Однако, в отличие от exp, сходящегося на всем C , exp _p сходится только на круге

${\ displaystyle | z | _ {p} <p ^ {- 1 / (p-1)}.}$

Это связано с тем, что p -адические ряды сходятся тогда и только тогда, когда слагаемые стремятся к нулю, и поскольку n ! в знаменателе каждого слагаемого имеет тенденцию делать их очень большими p- адически, в числителе требуется небольшое значение z .

функция p -адического логарифма [ править ]

Силовой ряд

${\ displaystyle \ log (1 + x) = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {n + 1} x ^ {n}} {n}},}$

сходится по x в C _p, удовлетворяющее | х | _p  <1 и, таким образом, определяет функцию p -адического логарифма log _p ( z ) для | z  - 1 | _p  <1, удовлетворяющее обычному свойству log _p ( zw ) = log _p z  + log _p w . Функцию log _p можно расширить на все C ×
p (набор ненулевых элементов C _p ), наложив, что он продолжает удовлетворять этому последнему свойству, и установив log _p ( p ) = 0. В частности, каждый элемент w из C ×
p может быть записано как w  =  p ^r · ζ · z, где r - рациональное число, ζ - корень из единицы и | z  - 1 | _p  <1, ^{[1], и} в этом случае log _p ( w ) = log _p ( z ). ^[2] Эта функция на C ×
p иногда называют логарифмом Ивасавы, чтобы подчеркнуть выбор log _p ( p ) = 0. Фактически, существует расширение логарифма из | z  - 1 | _p  <1 для всего C ×
p для каждого выбора log _p ( p ) в C _p . ^[3]

Свойства [ править ]

Если z и w оба находятся в радиусе сходимости для exp _p , то их сумма тоже, и у нас есть обычная формула сложения: exp _p ( z  +  w ) = exp _p ( z ) exp _p ( w ).

Аналогично, если z и w ненулевые элементы C _p, то log _p ( zw ) = log _p z  + log _p w .

Для z в области exp _p имеем exp _p (log _p (1+ z )) = 1+ z и log _p (exp _p ( z )) =  z .

Корни логарифма Ивасавы log _p ( z ) - это в точности элементы C _p вида p ^r · ζ, где r - рациональное число, а ζ - корень из единицы. ^[4]

Обратите внимание , что нет аналога в С _р о идентичности Эйлера , е ^{2 πi}  = 1. Это является следствием теоремы Штрассмана .

Другое важное отличие от ситуации в C состоит в том, что область сходимости exp _p намного меньше, чем область сходимости log _p . Вместо этого можно использовать модифицированную экспоненциальную функцию - экспоненту Артина – Хассе, которая сходится на | z | _р  <1.

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• Глава 12 Cassels, JWS (1986). Местные поля . Тексты студентов Лондонского математического общества . Издательство Кембриджского университета . ISBN 0-521-31525-5.
• Коэн, Генри (2007), теория чисел, том I: Инструменты и диофантовы уравнения , Тексты для выпускников по математике , 239 , Нью-Йорк: Спрингер, DOI : 10.1007 / 978-0-387-49923-9 , ISBN 978-0-387-49922-2, Руководство MR  2312337

Внешние ссылки [ править ]

• p-адический экспоненциальный и p-адический логарифм