В математике , то экспоненциальное Артина- Хассе , введенный Артином и Хассе ( 1928 ), является степенной ряд задается
Мотивация
Одна из причин, по которой этот ряд можно рассматривать как аналог экспоненциальной функции, исходит из бесконечных произведений. В кольце формальных степенных рядов Q [[ x ]] выполняется тождество
где μ (n) - функция Мёбиуса . Это тождество можно проверить, показав, что логарифмические производные двух сторон равны и что обе стороны имеют одинаковый постоянный член. Аналогичным образом можно проверить расширение произведения экспоненты Артина – Хассе:
Таким образом, переход от произведения по всем n к произведению только по n простым с p , что является типичной операцией p -адического анализа, ведет от e x к E p ( x ).
Характеристики
Коэффициенты при E p ( x ) рациональны. Мы можем использовать любую формулу для E p ( x ), чтобы доказать, что, в отличие от e x , все его коэффициенты p -интегральны; другими словами, знаменатели коэффициентов E p ( x ) не делятся на p . Первое доказательство использует определение E p ( x ) и лемму Дворка , которая гласит, что степенной ряд f ( x ) = 1 + ... с рациональными коэффициентами имеет p -интегральные коэффициенты тогда и только тогда, когда f ( x p ) / f ( x ) p ≡ 1 mod p Z p [[ x ]]. Когда f ( x ) = E p ( x ), мы имеем f ( x p ) / f ( x ) p = e - px , постоянный член которого равен 1, а все более высокие коэффициенты находятся в p Z p . Второе доказательство исходит из бесконечного произведения для E p ( x ): каждый показатель -μ ( n ) / n для n, не делящегося на p, является p -интегралом, а когда рациональное число a является p -интегральным, все коэффициенты в биномиальные разложения (1 - x n ) a являются p -интегральными по p -адической непрерывности полиномов биномиальных коэффициентов t ( t -1) ... ( t - k +1) / k ! in t вместе с их очевидной целостностью, когда t - неотрицательное целое число ( a - p -адический предел неотрицательных целых чисел). Таким образом, каждый множитель в произведении E p ( x ) имеет p -интегральные коэффициенты, поэтому сама E p ( x ) имеет p -интегральные коэффициенты.
Разложение в ( p -интегральный) ряд имеет радиус сходимости 1.
Комбинаторная интерпретация
Экспонента Артина – Хассе - это производящая функция для вероятности того, что равномерно случайно выбранный элемент из S n ( симметрическая группа с n элементами) имеет p -степенный порядок (номер которого обозначается t p, n ):
Это дает третье доказательство того, что коэффициенты E p ( x ) являются p -интегральными, используя теорему Фробениуса о том, что в конечной группе порядка, делимого на d, количество элементов порядка, делящего d , также делится на d . Примените эту теорему к n- й симметрической группе, где d равно наибольшей степени p, делящей n !.
В более общем смысле, для любой топологически конечно порожденной проконечной группы G существует тождество
где H пробегает открытые подгруппы группы G с конечным индексом (каждого индекса конечное число, поскольку G топологически конечно порождена), а a G, n - количество непрерывных гомоморфизмов из G в S n . Следует отметить два особых случая. (1) Если G - целые p -адические числа, у него есть ровно одна открытая подгруппа каждого p -степенного индекса, и непрерывный гомоморфизм из G в S n по существу то же самое, что выбор элемента p -степенного порядка в S n Таким образом, мы восстановили приведенную выше комбинаторную интерпретацию коэффициентов Тейлора в ряду экспонент Артина – Хассе. (2) Если G конечная группа, то сумма в экспоненте является конечной суммой, проходящей по всем подгруппам группы G , а непрерывные гомоморфизмы из G в S n - это просто гомоморфизмы из G в S n . Результат в этом случае принадлежит Wohlfahrt (1977). Частный случай, когда G - конечная циклическая группа, был получен Чоула, Херштейном и Скоттом (1952) и принимает вид
где a m, n - количество решений g m = 1 в S n .
Дэвид Робертс обеспечил естественную комбинаторную связь между экспонентой Артина – Хассе и регулярной экспонентой в духе эргодической точки зрения (связывая p -адические и регулярные нормы над рациональными числами), показав, что экспонента Артина – Хассе также является производящей функцией для вероятности того, что элемент симметрической группы унипотентен в характеристике p , тогда как регулярная экспонента - это вероятность того, что элемент той же группы унипотентен в характеристике ноль. [ необходима цитата ]
Домыслы
В программе PROMYS 2002 года Кейт Конрад предположил, что коэффициентыравномерно распределены в p-адических целых числах относительно нормализованной меры Хаара с подтверждающими вычислительными данными. Проблема все еще не решена.
Динеш Такур также поставил вопрос о том, является ли экспоненциальная редуцированная mod p Артина – Хассе трансцендентной над.
Смотрите также
Рекомендации
- Артин, Э .; Хассе, H. (1928), "Die beiden Ergänzungssätze ZUM Reziprozitätsgesetz дер пер-десять Potenzreste - им Körper дер пер-десять Einheitswurzeln", Abhandlungen Гамбург , 6 : 146-162, СУЛ 54.0191.05
- Курс p-адического анализа Алена М. Роберта
- Фесенко, Иван Б .; Востоков, Сергей В. (2002), Локальные поля и их расширения , Переводы математических монографий, 121 (второе изд.), Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN 978-0-8218-3259-2, MR 1915966