Унипотентный

Эта статья включает в себя список общих ссылок , но он остается в значительной степени непроверенным, поскольку в нем отсутствует достаточное количество соответствующих встроенных ссылок . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью, добавив более точные цитаты. ( Ноябрь 2015 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

В математике , А унипотентный элемент г из кольца R является одним из таких , что г  - 1 является нильпотентным элементом ; другими словами, ( r  - 1) ⁿ равно нулю для некоторого n .

В частности, квадратная матрица , М , является унипотентна матрицей , тогда и только тогда , когда его характеристический полином , Р ( т ), является степень т  - 1. Таким образом , все собственные значениями матриц являются унипотентными 1.

Термин квазиунипотентный означает, что некоторая степень унипотентна, например, для диагонализуемой матрицы с собственными значениями , которые все являются корнями из единицы .

В унипотентной аффинной алгебраической группе все элементы унипотентны (см. Ниже определение унипотентного элемента в такой группе).

Определение [ править ]

Определение с матрицами [ править ]

Рассмотрим группу верхнетреугольных матриц с диагональю, так что они являются группой матриц ^[1]${\ displaystyle \ mathbb {U} _ {n}}$${\ displaystyle 1}$

${\ displaystyle \ mathbb {U} _ {n} = \ left \ {A = {\ begin {bmatrix} 1 & * & \ cdots & * & * \\ 0 & 1 & \ cdots & * & * \\\ vdots & \ vdots && \ vdots & \ vdots \\ 0 & 0 & \ cdots & 1 & * \\ 0 & 0 & \ cdots & 0 & 1 \ end {bmatrix}} | \ det (A) \ neq 0 \ right \}}$

тогда унипотентная группа может быть определена как некоторая подгруппа . Используя теорию схем, группу можно определить как групповую схему${\ displaystyle \ mathbb {U} _ {n}}$${\ displaystyle \ mathbb {U} _ {n}}$

${\ displaystyle {\ text {Spec}} \ left ({\ frac {\ mathbb {C} \ left [x_ {11}, x_ {12}, \ ldots, x_ {nn}, {\ frac {1} { \ text {det}}} \ right]} {(x_ {ii} = 1, x_ {i> j} = 0)}} \ right)}$

а аффинная групповая схема унипотентна, если она является замкнутой групповой схемой этой схемы.

Определение с теорией колец [ править ]

Элемент x аффинной алгебраической группы унипотентен, если связанный с ним оператор правого сдвига r _x на аффинном координатном кольце A [ G ] группы G локально унипотентен как элемент кольца линейного эндоморфизма группы A [ G ] . (Локально унипотентность означает, что ее ограничение на любое конечномерное стабильное подпространство в A [ G ] унипотентно в обычном кольцевом смысле.)

Аффинная алгебраическая группа называется унипотентной, если все ее элементы унипотентны. Любая унипотентная алгебраическая группа изоморфна замкнутой подгруппе группы верхнетреугольных матриц с диагональными элементами 1, и, наоборот, любая такая подгруппа унипотентна. В частности, любая унипотентная группа является нильпотентной группой , хотя обратное неверно (контрпример: диагональные матрицы GL _n ( k )).

Например, стандартное представление on со стандартной базой имеет фиксированный вектор .${\ displaystyle \ mathbb {U} _ {n}}$${\ Displaystyle к ^ {п}}$${\ displaystyle e_ {i}}$${\ displaystyle e_ {1}}$

Определение с теорией представлений [ править ]

Если унипотентная группа действует на аффинном многообразии, все ее орбиты замкнуты, а если она действует линейно в конечномерном векторном пространстве, то у нее есть ненулевой фиксированный вектор. Фактически последнее свойство характеризует унипотентные группы. ^[1] В частности, это означает, что нет нетривиальных полупростых представлений .

Примеры [ править ]

U _n [ править ]

Конечно, группа матриц унипотентна. Использование нижнего центрального ряда${\ displaystyle \ mathbb {U} _ {n}}$

${\displaystyle \mathbb {U} _{n}=\mathbb {U} _{n}^{(0)}\supset \mathbb {U} _{n}^{(1)}\supset \mathbb {U} _{n}^{(2)}\supset \cdots \supset \mathbb {U} _{n}^{(m)}=e}$

где

${\displaystyle \mathbb {U} _{n}^{(1)}=[\mathbb {U} _{1},\mathbb {U} _{1}]}$ и ${\displaystyle \mathbb {U} _{n}^{(2)}=[\mathbb {U} _{1},\mathbb {U} _{n}^{(1)}]}$

есть ассоциированные унипотентные группы. Например, на центральном ряду являются группы матриц${\displaystyle n=4}$

${\displaystyle \mathbb {U} _{4}=\left\{{\begin{bmatrix}1&*&*&*\\0&1&*&*\\0&0&1&*\\0&0&0&1\end{bmatrix}}\right\}}$, , , И${\displaystyle \mathbb {U} _{4}^{(1)}=\left\{{\begin{bmatrix}1&0&*&*\\0&1&0&*\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}\right\}}$${\displaystyle \mathbb {U} _{4}^{(2)}=\left\{{\begin{bmatrix}1&0&0&*\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}\right\}}$${\displaystyle \mathbb {U} _{4}^{(3)}=\left\{{\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}\right\}}$

даны некоторые индуцированные примеры унипотентных групп.

G _a ⁿ [ править ]

Аддитивная группа является унипотентной группой благодаря вложению${\displaystyle \mathbb {G} _{a}}$

${\displaystyle a\mapsto {\begin{bmatrix}1&a\\0&1\end{bmatrix}}}$

Обратите внимание, что умножение матриц дает

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&a\\0&1\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}1&b\\0&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&a+b\\0&1\end{bmatrix}}}$

следовательно, это групповое вложение. В общем, есть вложение с карты${\displaystyle \mathbb {G} _{a}^{n}\to \mathbb {U} _{n+1}}$

${\displaystyle (a_{1},\ldots ,a_{n})\mapsto {\begin{bmatrix}1&a_{1}&a_{2}&\cdots &a_{n-1}&a_{n}\\0&1&0&\cdots &0&0\\\vdots &\vdots &\vdots &&\vdots &\vdots \\0&0&0&\cdots &1&0\\0&0&0&\cdots &0&1\end{bmatrix}}}$

Используя теорию схем, задается функтором${\displaystyle \mathbb {G} _{a}}$

${\displaystyle {\mathcal {O}}:{\text{Sch}}^{op}\to {\text{Sets}}}$

где

${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})\mapsto {\mathcal {O}}_{X}(X)}$

Ядро Фробениуса [ править ]

Рассмотрим функтор в подкатегории , есть подфунктор, где${\displaystyle {\mathcal {O}}}$${\displaystyle {\text{Sch}}/\mathbb {F} _{p}}$${\displaystyle \alpha _{p}}$

${\displaystyle \alpha _{p}(X)=\{x\in {\mathcal {O}}(X):x^{p}=0\}}$

поэтому он задается ядром эндоморфизма Фробениуса .

Классификация унипотентных групп по характеристике 0 [ править ]

Над характеристикой существует хорошая классификация унипотентных алгебраических групп относительно нильпотентных алгебр Ли . Напомним, что нильпотентная алгебра Ли - это такая подалгебра , что итерированное сопряженное действие в конечном итоге завершается нулевым отображением. С точки зрения матриц, это означает , что она является подалгеброй из , матриц с для .${\displaystyle 0}$${\displaystyle {\mathfrak {gl}}_{n}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {n}}_{n}}$${\displaystyle a_{ij}=0}$${\displaystyle i\leq j}$

Тогда существует эквивалентность категорий конечномерных нильпотентных алгебр Ли и унипотентных алгебраических групп ^{[1] стр. 261} . Его можно построить с помощью ряда Бейкера – Кэмпбелла – Хаусдорфа , где для конечномерной нильпотентной алгебры Ли отображение${\displaystyle H(X,Y)}$

${\displaystyle H:{\mathfrak {g}}\times {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}{\text{ where }}(X,Y)\mapsto H(X,Y)}$

дает структуру унипотентной алгебраической группы на .${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

В другом направлении экспоненциальное отображение переводит любую нильпотентную квадратную матрицу в унипотентную матрицу. Более того, если U - коммутативная унипотентная группа, экспоненциальное отображение индуцирует изоморфизм алгебры Ли группы U в сам U.

Замечания [ править ]

Унипотентные группы над алгебраически замкнутым полем любого заданного измерения в принципе могут быть классифицированы, но на практике сложность классификации очень быстро возрастает с увеличением размерности, поэтому люди ^{[ кто? ]} склонны сдаваться где-то около измерения 6.

Унипотентный радикал [ править ]

Унипотентный радикал из алгебраической группы G называется множество унипотентных элементов в радикал из G . Это связная унипотентная нормальная подгруппа группы G , содержащая все другие такие подгруппы. Группа называется редуктивной, если ее унипотентный радикал тривиален. Если G редуктивна, то ее радикал - тор.

Разложение алгебраических групп [ править ]

Алгебраические группы можно разложить на унипотентные группы, мультипликативные группы и абелевы многообразия, но утверждение о том, как они разлагаются, зависит от характеристики их базового поля.

Характеристика 0 [ править ]

Над характеристикой есть хорошая теорема о разложении алгебраической группы, связывающая ее структуру со структурой линейной алгебраической группы и абелевого многообразия . Существует краткая точная последовательность групп ^{[2] стр. 8}${\displaystyle 0}$${\displaystyle G}$

${\displaystyle 0\to M\times U\to G\to A\to 0}$

где - абелево многообразие, имеет мультипликативный тип, смысл и является унипотентной группой.${\displaystyle A}$${\displaystyle M}$${\displaystyle U}$

Характеристика p [ править ]

Когда характеристика базового поля есть, имеется аналогичное утверждение ^[2] для алгебраической группы : существует наименьшая подгруппа такая, что${\displaystyle p}$${\displaystyle G}$${\displaystyle H}$

1. ${\displaystyle G/H}$ унипотентная группа
2. ${\displaystyle H}$является расширением абелевого многообразия группой мультипликативного типа.${\displaystyle A}$${\displaystyle M}$
3. ${\displaystyle M}$уникальна ДО соразмерности в и единственна с точностью до изогении .${\displaystyle G}$${\displaystyle A}$

Разложение Джордана [ править ]

Любой элемент g линейной алгебраической группы над совершенным полем можно однозначно записать как произведение g = g _u g _s коммутирующих унипотентных и полупростых элементов g _u и g _s . В случае группы GL _n ( C ) это по существу означает, что любая обратимая комплексная матрица сопряжена с произведением диагональной матрицы и верхнетреугольной матрицы, что является (более или менее) мультипликативной версией матрицы Жордана – Шевалле. разложение .

Существует также вариант разложения Жордана для групп: любая коммутативная линейная алгебраическая группа над совершенным полем является произведением унипотентной группы и полупростой группы.

См. Также [ править ]

• Редуктивная группа
• Унипотентное представительство
• Теория Делиня – Люстига

Ссылки [ править ]

• А. Борель, Линейные алгебраические группы , ISBN 0-387-97370-2 
• Борель, Арманд (1956), "Groupes linéaires algébriques", Анналы математики , второй серии Annals математики, 64 (1): 20-82, DOI : 10,2307 / 1969949 , JSTOR  1969949
• Попов, В.Л. (2001) [1994], «унипотентный элемент» , Энциклопедия математики , EMS Press
• Попов, В.Л. (2001) [1994], "унипотентная группа" , Энциклопедия математики , EMS Press
• Супруненко, Д.А. (2001) [1994], «Унипотентная матрица» , Энциклопедия математики , EMS Press