В математике , то р -адическая система счисления для любого простого числа р расширяет обычную арифметику из рациональных чисел в другом пути от расширения рациональной системы счисления к реальным и сложным числовым системам. Расширение достигается альтернативной интерпретацией понятия «близость» или абсолютной ценности . В частности, два p -адических числа считаются близкими, если их разность делится на большую степень p : чем выше степень, тем они ближе. Это свойство позволяет p-адические номера для кодирования конгруэнции информации таким образом , что получается иметь мощные приложения в теории чисел - в то числе, например, в знаменитом доказательстве из Великой теоремы Ферма по Эндрю Уайлс . [1]
Эти числа были впервые описаны Куртом Хензелем в 1897 году [2], хотя, оглядываясь назад, можно сказать, что некоторые из более ранних работ Эрнста Куммера можно интерпретировать как неявно с использованием p -адических чисел. [примечание 1] р -адические числа были продиктованы в первую очередь попытка объединить идеи и методы степенных рядов методов в теории чисел . Их влияние теперь выходит далеко за рамки этого. Например, область p -адического анализа по существу предоставляет альтернативную форму исчисления .
Алгебраическая структура → Теория колец Теория колец |
---|
Более формально, для данного простого р , то поле Q р о р -адических чисел является завершением из рациональных чисел . Поле Q p также имеет топологию, производную от метрики , которая, в свою очередь, является производной p -адического порядка , альтернативной оценки рациональных чисел. Это метрическое пространство полно в том смысле, что каждая последовательность Коши сходится к точке в Q p . Это то, что позволяет развивать исчисление на Q p, и именно взаимодействие этой аналитической и алгебраической структуры придает p -адическим числовым системам их силу и полезность.
Буква p в « p- адическом» является переменной и может быть заменена простым числом (что дает, например, «2-адические числа») или другой переменной-заполнителем (для таких выражений, как «ℓ-адические числа»). «Адик» слова « п -адический» происходит от окончания таких слов, как диадический или триадический .
Введение [ править ]
Этот раздел представляет собой неформальное введение в p -адические числа с использованием примеров из кольца 10-адических (декадических) чисел. Хотя для p -адических чисел p должно быть простым, основание 10 было выбрано, чтобы подчеркнуть аналогию с десятичными числами . Десятичные числа обычно не используются в математике: поскольку 10 не является простым числом или степенью простого числа , десятичные числа не являются полем. Ниже приведены более формальные конструкции и свойства.
В стандартном десятичном представлении , почти все [примечание 2] действительные числа не имеют завершающие десятичное представление. Например, 1/3 представлена как бесконечная десятичная дробь, как показано ниже.
Неформально, не завершающие десятичные дроби легко понять, потому что ясно, что действительное число может быть аппроксимировано с любой требуемой степенью точности завершающим десятичным разделителем. Если два десятичных разложения различаются только после 10-го десятичного знака, они довольно близки друг к другу; а если они отличаются только после 20-го знака после запятой, они еще ближе.
В 10-адических числах используется аналогичное неограничивающее расширение, но с другим понятием «близости». В то время как два десятичных разложения близки друг к другу, если их разность составляет большую отрицательную степень 10, два 10-адических разложения близки, если их разность составляет большую положительную степень 10. Таким образом, 4739 и 5739, которые отличаются на 10 3 , равны близко в 10-адическом мире, а 72694473 и 82694473 еще ближе, различаются на 10 7 .
Точнее, каждое положительное рациональное число r можно однозначно выразить как r =:а/б· 10 d , где a и b - натуральные числа и gcd ( a , b ) = 1, gcd ( b , 10) = 1, gcd ( a , 10) <10 . Пусть 10-адическую «абсолютное значение» [примечание 3] о г БЭ
- .
Дополнительно мы определяем
- .
Теперь, взяв a / b = 1 и d = 0,1,2, ..., имеем
- | 10 0 | 10 = 10 0 , | 10 1 | 10 = 10 −1 , | 10 2 | 10 = 10 −2 , ... ,
со следствием того, что у нас есть
- .
Близость в любой системе счисления определяется метрикой . Используя 10-адическую метрику, расстояние между числами x и y определяется как | х - у | 10 . Интересным следствием 10-адической метрики (или p -адической метрики) является то, что больше нет необходимости в отрицательном знаке. (На самом деле не существует отношения порядка , совместимого с кольцевыми операциями и этой метрикой.) В качестве примера, исследуя следующую последовательность, мы можем увидеть, как 10-адики без знака могут постепенно приближаться к числу -1:
- итак .
- итак .
- итак .
- итак .
и доводя эту последовательность до предела, мы можем вывести 10-адическое разложение −1
- ,
таким образом
- ,
расширение, которое явно является десятичным дополнением .
В этих обозначениях 10-адические разложения можно неограниченно расширять влево, в отличие от десятичных разложений, которые можно бесконечно расширять вправо. Обратите внимание, что это не единственный способ записи p -адических чисел - альтернативные варианты см. В разделе « Обозначения » ниже.
Более формально 10-адическое число можно определить как
где каждый из a i является цифрой, взятой из набора {0, 1, ..., 9}, а начальный индекс n может быть положительным, отрицательным или 0, но должен быть конечным. Из этого определения ясно, что положительные целые числа и положительные рациональные числа с завершающими десятичными разложениями будут иметь завершающие 10-адические разложения, которые идентичны их десятичным разложениям. Другие числа могут иметь неограниченные 10-адические расширения.
Можно определить сложение, вычитание и умножение 10-адических чисел согласованным образом, так что 10-адические числа образуют коммутативное кольцо .
Мы можем создать 10-адические разложения для «отрицательных» чисел [примечание 4] следующим образом
и дроби, которые имеют неограниченные десятичные разложения, также имеют неограниченные 10-адические разложения. Например
Обобщая последний пример, мы можем найти 10-адическое расширение без цифр справа от десятичной точки для любого рационального числа a / b, такого что b взаимно просто с 10; Теорема Эйлера гарантирует, что если b взаимно просто с 10, то существует такое n , что 10 n - 1 делится на b . Другие рациональные числа могут быть выражены как 10-адические числа с некоторыми цифрами после десятичной точки.
Как отмечалось выше, у 10-адических чисел есть серьезный недостаток. Можно найти пары ненулевых 10-адических чисел (которые не являются рациональными, поэтому имеют бесконечное количество цифр), произведение которых равно 0. [3] [примечание 5] Это означает, что 10-адические числа не всегда имеют мультипликативные инверсии, то есть действительные обратные числа, что, в свою очередь, означает, что, хотя 10-адические числа образуют кольцо, они не образуют поля , что делает их гораздо менее полезными в качестве аналитического инструмента. Другими словами, кольцо 10-адических чисел не является областью целостности, потому что оно содержит делители нуля . [примечание 5] Причина этого свойства заключается в том, что 10 - составное число, которое не является степенью простого числа.. Этой проблемы просто можно избежать, используя простое число p или степень простого p n в качестве основы системы счисления вместо 10, и действительно, по этой причине p в p- адической системе обычно считается простым числом .
дробная часть | исходное десятичное представление | 10-адическая запись | дробная часть | исходное десятичное представление | 10-адическая запись | дробная часть | исходное десятичное представление | 10-адическая запись |
0,5 | 0,5 | 0. 714285 | 428571 5 | 0,9 | 0,9 | |||
0. 3 | 6 7 | 0. 857142 | 714285 8 | 0. 09 | 09 1 | |||
0. 6 | 3 4 | 0,125 | 0,125 | 0. 18 | 18 2 | |||
0,25 | 0,25 | 0,375 | 0,375 | 0. 27 | 27 3 | |||
0,75 | 0,75 | 0,625 | 0,625 | 0. 36 | 36 4 | |||
0,2 | 0,2 | 0,875 | 0,875 | 0. 45 | 45 5 | |||
0,4 | 0,4 | 0. 1 | 8 9 | 0. 54 | 54 6 | |||
0,6 | 0,6 | 0. 2 | 7 8 | 0. 63 | 63 7 | |||
0,8 | 0,8 | 0. 4 | 5 6 | 0. 72 | 72 8 | |||
0,1 6 | 3, 5 | 0. 5 | 4 5 | 0. 81 | 81 9 | |||
0,8 3 | 6 7,5 | 0. 7 | 2 3 | 0. 90 | 09 10 | |||
0. 142857 | 285714 3 | 0. 8 | 1 2 | 0,08 3 | 6 +0,75 | |||
0. 285714 | 571428 6 | 0,1 | 0,1 | 0,41 6 | 3 +0,75 | |||
0. 428571 | 857142 9 | 0,3 | 0,3 | 0,58 3 | 6 7,25 | |||
0. 571428 | 142857 2 | 0,7 | 0,7 | 0,91 6 | 3 4,25 |
p -адические расширения [ править ]
Эта статья требует дополнительных ссылок для проверки . февраль 2019 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить это сообщение-шаблон ) ( |
При работе с натуральными числами, если p рассматривается как фиксированное простое число, то любое положительное целое число может быть записано как расширение p по основанию в форме
где a i - целые числа в {0, ..., p - 1 }. [4] Например, двоичное расширение числа 35 равно 1 · 2 5 + 0 · 2 4 + 0 · 2 3 + 0 · 2 2 + 1 · 2 1 + 1 · 2 0 , часто записывается в сокращенной записи 100011 2 .
Знакомый подход к расширению этого описания на более широкую область рациональных чисел [5] [6] (и, в конечном итоге, на действительные числа) заключается в использовании сумм в форме:
Определенное значение придается этим суммам на основе последовательностей Коши с использованием абсолютного значения в качестве метрики. Так, например, 1/3 может быть выражено с основанием 5 как предел последовательности 0,1313131313 ... 5 . В этой формулировке целые числа - это в точности те числа, для которых a i = 0 для всех i <0.
С другой стороны, с p -адическими числами мы решили расширить базовые p- разложения по-другому. В отличие от традиционных целых чисел, где величина определяется тем, как далеко они от нуля, «размер» p -адических чисел определяется p -адическим абсолютным значением , где высокие положительные степени p относительно малы по сравнению с высокими отрицательными степенями. из п .
Рассмотрим бесконечные суммы вида:
где k - некоторое (не обязательно положительное) целое число, а каждый коэффициент - такое целое число, что 0 ≤ a i < p , что можно назвать p -адической цифрой . [7] Это определяет р -адические разложения из р -адических чисел. Те p -адические числа, для которых a i = 0 для всех i <0, также называются p -адическими целыми числами и образуют подмножество p -адических чисел, обычно обозначаемых
В отличие от разложений действительных чисел, которые расширяются вправо как суммы все меньших, все более отрицательных степеней основания p , p -адические числа могут бесконечно расширяться влево , свойство, которое часто может быть истинным для p -адических целых чисел. Например, рассмотрим p -адическое разложение 1/3 по основанию 5. Можно показать, что это ... 1313132 5 , то есть предел последовательности 2 5 , 32 5 , 132 5 , 3132 5 , 13132 5 , 313132 5 , 1313132 5 , ...:
Умножение этой бесконечной суммы на 3 по основанию 5 дает ... 0000001 5 . Поскольку в этом разложении 1/3 нет отрицательных степеней 5 (то есть нет чисел справа от десятичной точки), мы видим, что 1/3 удовлетворяет определению p -адического целого числа с основанием 5.
Более формально, р -адические разложения могут быть использованы для определения поля Q р о р -адических чисел , а р -адические целые числа образуют подкольцо из Q р , обозначаемый Z р . (Не путать с кольцом целых чисел по модулю p, которое также иногда пишут Z p . Чтобы избежать неоднозначности, Z / p Z или Z / ( p ) часто используются для представления целых чисел по модулю p .)
Хотя можно использовать описанный выше подход для определения p -адических чисел и изучения их свойств, так же, как и в случае вещественных чисел, обычно предпочтительны другие подходы. Следовательно, мы хотим определить понятие бесконечной суммы, которое придает смысл этим выражениям, и это легче всего достигается путем введения p -адической метрики. Два разных, но эквивалентных решения этой проблемы представлены в разделе « Конструкции » ниже.
Обозначение [ править ]
Существует несколько различных соглашений о написании p -адических расширений. До сих пор эта статья использовалась для обозначения р -адических разложений , в которых полномочия по р увеличения справа налево. При этом справа налево обозначения 3-адическом расширения 1 / 5 , например, записывается в виде
При выполнении арифметических действий в этой записи цифры переносятся влево. Также возможно написать p -адические разложения так, чтобы степени p увеличивались слева направо, а цифры переносились вправо. С этой левой к правой нотации 3-адическом расширения 1 / 5 IS
p -адические разложения могут быть записаны с другими наборами цифр вместо {0, 1, ..., p - 1 }. Так , например, 3-адическое расширение 1 / 5 может быть написано с использованием сбалансированных тройных цифр { 1 , 0,1} как
Фактически любой набор из p целых чисел, которые находятся в различных классах вычетов по модулю p, можно использовать как p -адические цифры. В теории чисел представители Тейхмюллера иногда используются в качестве цифр. [8]
Конструкции [ править ]
Аналитический подход [ править ]
р = 2 | ← расстояние = 1 → | ||||||||
← д = 1 / 2 → | ← д = 1 / 2 → | ||||||||
<Д = 1 / 4 > | <Д = 1 / 4 > | <Д = 1 / 4 > | <Д = 1 / 4 > | ||||||
< 1 / 8 > | < 1 / 8 > | < 1 / 8 > | < 1 / 8 > | < 1 / 8 > | < 1 / 8 > | < 1 / 8 > | < 1 / 8 > | ||
................................................ | |||||||||
17 | 10001 | J | |||||||
16 | 10000 | J | |||||||
15 | 1111 | L | |||||||
14 | 1110 | L | |||||||
13 | 1101 | L | |||||||
12 | 1100 | L | |||||||
11 | 1011 | L | |||||||
10 | 1010 | L | |||||||
9 | 1001 | L | |||||||
8 | 1000 | L | |||||||
7 | 111 | L | |||||||
6 | 110 | L | |||||||
5 | 101 | L | |||||||
4 | 100 | L | |||||||
3 | 11 | L | |||||||
2 | 10 | L | |||||||
1 | 1 | L | |||||||
0 | 0 ... 000 | L | |||||||
−1 | 1 ... 111 | J | |||||||
−2 | 1 ... 110 | J | |||||||
−3 | 1 ... 101 | J | |||||||
−4 | 1 ... 100 | J | |||||||
Декабрь | Корзина | ···················································· | |||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 2-адическое ( p = 2 ) расположение целых чисел слева направо. Это показывает шаблон иерархического подразделения, общий для ультраметрических пространств . Точки на расстоянии 1/8 сгруппированы в одну цветную полосу. Пара полос на расстоянии 1/4 имеет одинаковую цветность , четыре полосы на расстоянии 1/2 имеют одинаковый оттенок . Оттенок определяется младшим значащим битом , насыщенность - следующим (2 1 ) битом, а яркость зависит от значения 2 2 бит. Биты (разряды цифр), которые менее значимы для обычной метрики, более значимы для p -адическое расстояние. |
Эти действительные числа могут быть определены как классы эквивалентности из последовательностей Коши из рациональных чисел ; это позволяет, например, запись 1 в 1.000 ... = 0,999 ... . Однако определение последовательности Коши зависит от выбранной метрики , поэтому, если мы выберем другую, мы сможем построить числа, отличные от действительных чисел. Обычная метрика, которая дает действительные числа, называется евклидовой метрикой .
Для данного простого числа p мы определяем p-адическое абсолютное значение в Q следующим образом: для любого ненулевого рационального числа x существует единственное целое число n, позволяющее нам записать x = p n ( a / b ) , где ни из целых чисел и б это делится на р . Если числитель или знаменатель x в младших членах не содержит p в качестве множителя, n будет 0. Теперь определите | х | п= р - п . Мы также определяем | 0 | р = 0 .
Например, с x = 63/550 = 2 −1 · 3 2 · 5 −2 · 7 · 11 −1
Это определение | х | p приводит к тому, что высокие степени p становятся «малыми». Согласно основной теореме арифметики , для данного ненулевого рационального числа x существует единственный конечный набор различных простых чисел и соответствующая последовательность ненулевых целых чисел такие, что:
Отсюда следует, что для всех и для любого другого простого числа
Р -адическое абсолютное значение определяет метрику d р на Q с помощью параметра
Поле Q р из р -адических чисел , то может быть определен как завершение метрического пространства ( Q , д р ); его элементы являются классами эквивалентности последовательностей Коши, где две последовательности называются эквивалентными, если их разность сходится к нулю. Таким образом, мы получаем полное метрическое пространство , которое также является полем и содержит Q . При таком абсолютном значении поле Q p является локальным полем .
Можно показать, что в Q p каждый элемент x может быть записан уникальным образом как
где k - некоторое целое число такое, что a k ≠ 0 и каждое a i принадлежит {0, ..., p - 1 }. Этот ряд сходится к x относительно метрики d p . Р -адические целые числа Z р являются элементами , где K является неотрицательным. Следовательно, Q p изоморфно Z [1 / p] + Z p . [9]
Теорема Островского утверждает, что каждое абсолютное значение на Q эквивалентно либо евклидову абсолютному значению, тривиальному абсолютному значению , либо одному из p -адических абсолютных значений для некоторого простого p . Каждое абсолютное значение (или метрический) приводит к различным завершению Q . (С тривиальным абсолютным значением Q уже является полным.)
Алгебраический подход [ править ]
В алгебраическом подходе мы сначала определяем кольцо целых p- адических чисел, а затем строим поле частных этого кольца, чтобы получить поле p -адических чисел.
Начнем с обратного предела колец Z / p n Z (см. Модулярную арифметику ): p -адическое целое число m тогда представляет собой последовательность ( a n ) n ≥1 такую, что a n принадлежит Z / p n Z , и если n ≤ l , то a n ≡ a l (mod p n ) .
Каждое натуральное число m определяет такую последовательность ( a n ) как a n ≡ m (mod p n ) и, следовательно, может рассматриваться как p -адическое целое число. Например, в этом случае 35 как 2-адическое целое число будет записано как последовательность (1, 3, 3, 3, 3, 35, 35, 35, ...).
Операторы кольца сводятся к поточечному сложению и умножению таких последовательностей. Это хорошо определено, потому что сложение и умножение коммутируют с оператором " mod "; см. модульную арифметику .
Более того, каждая последовательность ( a n ) n ≥1 с первым элементом a 1 ≢ 0 (mod p ) имеет мультипликативную обратную. В этом случае для каждого п , п и р являются взаимно простыми , и поэтому в п и р п взаимно просты. Следовательно, каждое a n имеет обратный mod p n , и последовательность этих обратных значений, ( b n ) , является искомой обратной по отношению к ( aп ). Например, рассмотримp-адическое целое число, соответствующее натуральному числу 7; как 2-адическое число, это будет записано (1, 3, 7, 7, 7, 7, 7, ...). Обратное к этому объекту будет записано как постоянно возрастающая последовательность, которая начинается (1, 3, 7, 7, 23, 55, 55, 183, 439, 439, 1463 ...). Естественно, этому 2-адическому целому не соответствует натуральное число.
В качестве альтернативы каждую такую последовательность можно записать как серию . Например, в 3-адиках последовательность (2, 8, 8, 35, 35, ...) может быть записана как 2 + 2 · 3 + 0 · 3 2 + 1 · 3 3 + 0 · 3 4 + ... в частичных суммах этой последней серии являются элементами данной последовательности.
Кольцо р -адических чисел не имеет делителей нуля, так что мы можем взять поле дробей , чтобы получить поле Q р о р -адических чисел. Обратите внимание, что в этом поле дробей каждое нецелое p -адическое число может быть однозначно записано как p - n u с натуральным числом n и единицей u в p -адических целых числах. Это означает, что
Заметит , что S -1 , где есть мультипликативное подмножество (содержит единицу и замкнуто относительно умножения) коммутативного кольца (с единицей) , является алгебраической конструкция называется кольцом частных или локализация из пути .
Свойства [ править ]
Мощность [ править ]
Z p - обратный предел конечных колец Z / p k Z , который неисчислим [10] - фактически, имеет мощность континуума . Соответственно, поле Q p несчетное. Кольцо эндоморфизмов из прюферовым р -группы ранга п , обозначается Z ( р ∞ ) п , является кольцом п × п матриц над Z р ; это иногда называютМодуль Тейт .
Число p -адических чисел с завершающимися p -адическими представлениями счетно бесконечно . И, если стандартные цифры будут приняты, их значение и представление совпадает в Z р и R .
Топология [ править ]
Определим топологию на Z p , взяв за основу открытых множеств все множества вида
где a - неотрицательное целое число, а n - целое число из [1, p a ]. Например, в диадических целых числах U 1 (1) - это набор нечетных чисел. U a ( n ) - это множество всех p -адических целых чисел, разность которых от n имеет p -адическое абсолютное значение меньше p 1− a . Тогда Z р является компактификацией из Z , в соответствии с полученной топологией (это не компактификация Z с обычной дискретной топологией). Вотносительная топология на Z как подмножества Z р называется р -адической топология на Z .
Топология Z p - это топология канторова множества . [11] Например, мы можем сделать непрерывное отображение 1 к 1 между двоичными целыми числами и множеством Кантора, выраженным в базе 3 как
куда
Топология Q p - это топология канторовского множества без какой-либо точки. [ Править ] В частности, Z р является компактным , а Q р не является; он компактен только локально . В метрических пространствах , как Z р и Q р являются полным . [12]
Метрические пополнения и алгебраические замыкания [ править ]
Q p содержит Q и является полем характеристики 0 .Это поле нельзя превратить в упорядоченное поле .
R имеет только одно собственное алгебраическое расширение : C ; другими словами, это квадратичное расширение уже алгебраически замкнуто . В противоположность, алгебраическое замыкание из Q р , обозначаетсяимеет бесконечную степень, [13] , то есть Q р имеет бесконечно много неэквивалентных алгебраических расширений. Также противоположность случаю действительных чисел, хотя существует уникальное распространение p -адической оценкина последнее, не является (метрически) полным. [14] [15] Его (метрическое) пополнение называется C p или Ω p. [15] [16] Здесь достигнут конец, поскольку C p алгебраически замкнуто. [15] [17] Однако, в отличие от C, это поле не является локально компактным. [16]
C p и C изоморфны как кольца, поэтому мы можем рассматривать C p как C, наделенное экзотической метрикой. Доказательство существования такого изоморфизма полей опирается на выбранную аксиому и не дает явного примера такого изоморфизма (то есть, он не является конструктивным ).
Если К есть конечное расширение Галуа из Q р , то группа Галуа является разрешимой . Таким образом, группа Галуа является проразрешимой .
Мультипликативная группа Q p [ править ]
В р содержит в н -й круговое поле ( п > 2 ) тогда и только тогдакогда п | п - 1 . [18] Например, n-е круговое поле является подполем Q 13 тогда и только тогда, когда n = 1, 2, 3, 4, 6 или 12 . В частности, не существует мультипликативная р - кручение в Q р , если р > 2 . Кроме того, −1 - единственный нетривиальный элемент кручения в Q 2 .
Для натурального числа k индекс мультипликативной группы k -й степени ненулевых элементов Q p in конечен.
Число e , определенное как сумма обратных факториалов , не является членом какого-либо p -адического поля; но e p ∈ Q p ( p ≠ 2) . При p = 2 нужно брать хотя бы четвертую степень. [19] (Таким образом, число со свойствами, аналогичными e, а именно корень p -й степени из e p, является членом для всех p .)
Рациональная арифметика [ править ]
Эрик Хенер и Найджел Хорспул предложили в 1979 году использовать p -адическое представление рациональных чисел на компьютерах [20], которое называется кавычками . Основное преимущество такого представления состоит в том, что сложение, вычитание и умножение могут выполняться простым способом, аналогичным аналогичным методам для двоичных целых чисел; а деление еще проще, оно напоминает умножение. Однако у него есть недостаток, заключающийся в том, что представления могут быть намного больше, чем просто сохранение числителя и знаменателя в двоичном формате (подробнее см. Обозначение кавычек § Пробел ).
[ править ]
Действительные числа и p -адические числа являются дополнениями рациональных чисел; аналогичным образом можно заполнить и другие поля, например поля общих алгебраических чисел . Это будет описано сейчас.
Предположим, что D - дедекиндова область, а E - ее поле дробей . Выберите ненулевой простой идеал P из D . Если х является ненулевым элементом Е , то XD является дробным идеалом и может быть однозначно учтен как произведение положительных и отрицательных степеней ненулевого простых идеалов D . Мы пишем ord P ( x ) для показателя степени P в этой факторизации, и для любого выбора числа c больше 1 мы можем установить
Завершение по абсолютному значению |. | P дает поле E P , собственное обобщение поля p -адических чисел для этого параметра. Выбор c не меняет завершения (разные варианты приводят к одной и той же концепции последовательности Коши, поэтому к одному и тому же завершению). Это удобно, когда поле вычетов Д / Р конечна, взять для с размером D / P .
Например, когда E - числовое поле , теорема Островского утверждает, что каждое нетривиальное неархимедово абсолютное значение на E возникает как некоторое |. | P . Остальные нетривиальные абсолютные значения на E возникают из-за различных вложений E в действительные или комплексные числа. (Фактически, неархимедовы абсолютные значения можно рассматривать как просто различные вложения E в поля C p , тем самым помещая описание всех нетривиальных абсолютных значений числового поля на общую основу.)
Часто необходимо одновременно отслеживать все вышеупомянутые завершения, когда E является числовым полем (или, в более общем смысле, глобальным полем ), которые рассматриваются как кодирующие «локальную» информацию. Это достигается кольцами аделей и группами иделей .
р -адических целые числа могут быть распространены на р -адических соленоиды таким же образом , что целые числа могут быть продлены до действительных чисел, как прямое произведение на окружности кольца и р -адических чисел
Локально-глобальный принцип [ править ]
Гельмут Хассе «s локально глобальный принцип называется трюм для уравнения , если она может быть решена более рациональных чисел тогда и только тогда , когда она может быть решена за действительных чисел и над р -адических чисел для каждого простого р . Этот принцип выполняется, например, для уравнений, заданных квадратичными формами , но не работает для полиномов более высокого порядка от нескольких неопределенностей.
См. Также [ править ]
- 1 + 2 + 4 + 8 + ...
- C-минимальная теория
- Лемма Гензеля
- k -адическая запись
- Теорема Малера
- p -адическая квантовая механика
- p -адический соленоид
- Бесконечное целое число
- Фолькенборн интеграл
Сноски [ править ]
Заметки [ править ]
- ^ Введение переводчика, стр. 35 : «Действительно, задним числом становится очевидно, что за концепцией идеальных чисел Куммера стоит дискретная оценка» ( Dedekind & Weber 2012 , p. 35)
- ^ Число действительных чисел с завершающимися десятичными представлениями счетно бесконечно , в то время как число действительных чисел без такого представления несчетно бесконечно .
- ^ Определенная таким образом функция на самом деле не является абсолютной величиной, потому что нарушается требование мультипликативности: и, но. Однако этого достаточно для установления метрики, поскольку для этого не требуется мультипликативность.
- ^ Точнее: аддитивно инвертированные числа, потому что в 10-адиках нет отношения порядка, поэтому нет чисел меньше нуля.
- ^ a b Для пусть и . У нас есть и . Сейчас же,
Цитаты [ править ]
- ^ ( Gouvêa 1994 , стр. 203–222)
- ^ ( Хензель 1897 )
- ^ См. Статью Жерара Мишона на
- ^ ( Келли 2008 , стр. 22-25)
- ^ Богомольные, Александр . «p-адические расширения» .
- ^ Коч, Четин. "Учебник по p-адической арифметике" (PDF) .
- ^ Мадор, Дэвид. «Первое введение в p-адические числа» (PDF) .
- ^ ( Hazewinkel 2009 , стр. 342)
- Перейти ↑ Bump, Daniel (1998). Автоморфные формы и представления . Кембриджские исследования в области высшей математики. 55 . Издательство Кембриджского университета. п. 277. ISBN. 9780521658188.
- ^ ( Роберт 2000 , Глава 1 Раздел 1.1)
- ^ ( Роберт 2000 , Глава 1 Раздел 2.3)
- ^ ( Gouvêa 1997 , следствие 3.3.8)
- ^ ( Gouvêa 1997 , следствие 5.3.10)
- ^ ( Гувеа 1997 , теорема 5.7.4)
- ^ a b c ( Касселс 1986 , стр.149)
- ^ a b ( Коблитц 1980 , стр.13 )
- ^ ( Gouvêa 1997 , Предложение 5.7.8)
- ^ ( Gouvêa 1997 , предложение 3.4.2)
- ^ ( Роберт 2000 , раздел 4.1)
- ^ ( Хенер и Хорспул 1979 , стр. 124–134)
Ссылки [ править ]
- Cassels, JWS (1986), Local Fields , London Mathematical Society Student Texts, 3 , Cambridge University Press , ISBN. 0-521-31525-5, Zbl 0595,12006
- Дедекинд, Ричард ; Вебер, Генрих (2012), Теория алгебраических функций одной переменной , История математики, 39 , Американское математическое общество, ISBN 978-0-8218-8330-3. - Перевод на английский Джоном Стилвеллом книги « Теория алгебраических функций» (1882 г.).
- Gouvêa, FQ (март 1994), "А Marvelous Proof", American Mathematical Monthly , 101 (3): 203-222, DOI : 10,2307 / 2975598 , JSTOR 2975598
- Гувеа, Фернандо К. (1997), p -адические числа: введение (2-е изд.), Springer, ISBN 3-540-62911-4, Zbl 0874,11002
- Хазевинкель, М., изд. (2009), Справочник по алгебре , 6 , Северная Голландия, стр. 342, ISBN 978-0-444-53257-2
- Хенер, Эрик CR ; Horspool, Р. Найджел (1979), "Новое представление рациональных чисел для быстрой простой арифметики" , SIAM журнал по вычислениям , 8 (2): 124-134, CiteSeerX 10.1.1.64.7714 , DOI : 10,1137 / 0208011
- Хензель, Курт (1897), "Über eine neue Begründung der Theorie der algebraischen Zahlen" , Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung , 6 (3): 83–88
- Келли, Джон Л. (2008) [1955], Общая топология , Нью-Йорк: Ishi Press, ISBN 978-0-923891-55-8
- Коблиц, Нил (1980),p -адический анализ: краткий курс по недавней работе , Серия лекций Лондонского математического общества, 46 , Cambridge University Press , ISBN 0-521-28060-5, Zbl 0439,12011
- Роберт, Ален М. (2000), Курс p -адического анализа , Springer, ISBN 0-387-98669-3
Дальнейшее чтение [ править ]
- Бахман, Джордж (1964), Введение в p- адические числа и теорию оценки , Academic Press, ISBN 0-12-070268-1
- Боревич З.И. ; Шафаревич, И. Р. (1986), Теория чисел , Чистая и прикладная математика, 20 , Бостон, Массачусетс: Academic Press, ISBN 978-0-12-117851-2, MR 0195803
- Коблиц, Нил (1984),p -адические числа, p -адический анализ и дзета-функции , Тексты для выпускников по математике , 58 (2-е изд.), Springer, ISBN 0-387-96017-1
- Малер, Курт (1981),p -адические числа и их функции , Cambridge Tracts in Mathematics, 76 (2-е изд.), Кембридж: Cambridge University Press , ISBN 0-521-23102-7, Zbl 0444.12013
- Стин, Линн Артур (1978), Контрпримеры в топологии , Дувр, ISBN 0-486-68735-X
Внешние ссылки [ править ]
Викискладе есть медиафайлы, связанные с P-адическими числами . |
- Вайсштейн, Эрик В. «p-адическое число» . MathWorld .
- p -адическое число в онлайн-энциклопедии математики Springer
- Завершение алгебраического закрытия - он-лайн лекционные заметки Брайана Конрада
- Введение в p- адические числа и p- адический анализ - он-лайн лекционные заметки Эндрю Бейкера, 2007 г.
- Эффективная p-адическая арифметика (слайды)
- Введение в p-адические числа