Теорема Штикельбергера

В математике теорема Штикельбергера является результатом алгебраической теории чисел , которая дает некоторую информацию о модульной структуре Галуа групп классов круговых полей . Частный случай был впервые доказан Эрнстом Куммером ( 1847 г. ), а общий результат принадлежит Людвигу Штикельбергеру ( 1890 г. ). ^[1]

Обозначим через $K m$ $m$ - е круговое поле , т. е. расширение рациональных чисел , полученное присоединением $m$ - х корней из единицы к (где $m$ $\geq 2$ — целое число). Это расширение Галуа с группой Галуа $Gm$ , изоморфной $мультипликативной$ группе целых чисел по модулю $m$ $($ $/$ $m$ $)$ $\times$ . Элемент Штикельбергера ( уровня $m$ ${\ Displaystyle \ mathbb {Q}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {Q}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$ или $K$ $m$ ) является элементом группового кольца $[$ $G$ $m$ $]$ , а идеал Штикельбергера ( уровня $m$ или $K$ $m$ ) является идеалом в групповом кольце $[$ $G$ $m$ $]$ . Они определяются следующим образом. Пусть $ζ$ $m$ обозначает примитивный $m$ -й корень из единицы . Изоморфизм из $($ $/$ $m$ $)$ $\times$ в $G$ $m$ задается переводом $a$ в $σ$ $a$ ${\ Displaystyle \ mathbb {Q}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$ определяется соотношением

Идеал Штикельбергера уровня $m$ $,$ обозначаемый $I (Km)$ , представляет собой множество целых кратных $θ$ $(Km),$ которые имеют целые коэффициенты, т.е.

В более общем смысле, если $F$ — любое поле абелевых чисел , группа Галуа над которым обозначается GF , то можно определить элемент Штикельбергера поля $F$ $и$ идеал Штикельбергера $поля$ $F.$ По теореме Кронекера–Вебера существует целое число $m$ такое, что $F$ содержится в $K$ $m$ . Зафиксируйте наименьшее такое $m$ (это (конечная часть) проводника $F$ над ) . Существует естественный гомоморфизм $групп$ $G$ $m$ $\to$ $GF$ ${\ Displaystyle \ mathbb {Q}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {Q}}$ задается ограничением, т. е. если $σ$ $\in G m,$ его образ в $GF$ есть ограничение на $F$ , обозначаемое $res$ $m$ $σ$ . Затем элемент Штикельбергера $F$ определяется как

В частном случае, когда $F = K m$ , идеал Штикельбергера $I (K m)$ порождается $(a - σ a) θ (K m)$ при изменении $a$ по $/$ $m$ . Это не относится к генералу Ф. ^[2] ${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$

где $φ$ — функция Эйлера , а ${\ Displaystyle \ mathbb {Q}}$ — степень $F$ над . ${\ Displaystyle \ mathbb {Q}}$