В теории алгебраических чисел , то проводник из конечного абелевого расширения в локальном или глобальном полей обеспечивает количественную меру ветвления в расширении. Определение проводника связано с картой Артина .
Местный проводник
Пусть L / K - конечное абелево расширение неархимедовых локальных полей . Проводник из L / K , обозначается, является наименьшим неотрицательным целым числом n такое, что старшая группа единиц
содержится в N L / K ( L × ), где N L / K - отображение нормы поля иявляется максимальным идеалом в K . [1] Аналогично, n - наименьшее целое число, такое что локальное отображение Артина тривиально на. Иногда проводник определяется какгде n такое же, как указано выше. [2]
Проводник пристройки измеряет разветвленность. Качественно расширение является неразветвленным тогда и только тогда, когда проводник равен нулю [3], и оно легко разветвлено тогда и только тогда, когда проводник равен 1. [4] Точнее, проводник вычисляет нетривиальность группы более высокого ветвления : если s - наибольшее целое число, для которого группа G s более высокого ветвления с " меньшей нумерацией " нетривиальна, то, где η L / K - функция, которая переводит от «нижней нумерации» к « верхней нумерации » более высоких групп ветвления. [5]
Дирижер L / K также связан с дирижерами Artin персонажей группы Галуа Gal ( L / K ). В частности, [6]
где χ меняется по всем мультипликативным комплексным характерам Gal ( L / K ),- артиновский проводник χ, а lcm - наименьшее общее кратное .
Более общие поля
Таким же образом можно определить проводник для L / K - не обязательно абелевого конечного расширения Галуа локальных полей. [7] Однако это зависит только от L ab / K , максимального абелевого расширения K в L , из-за «теоремы об ограничении нормы», которая утверждает, что в этой ситуации [8] [9]
Кроме того, проводник может быть определен, когда L и K могут быть немного более общими, чем локальные, а именно, если они являются полными значениями с квазиконечным полем вычетов. [10]
Архимедовы поля
В основном ради глобальных проводников, проводник тривиального расширения R / R определяется как 0, а проводник расширения C / R определяется как 1. [11]
Глобальный дирижер
Поля алгебраических чисел
Проводник абелева расширения L / K числовых полей могут быть определены, как и в локальном случае, используя карту Артина. В частности, пусть θ: I m → Gal ( L / K ) будет глобальным отображением Артина, где модуль m является определяющим модулем для L / K ; мы говорим, что взаимность Артина верна для m, если θ пропускается через группу классов лучей по модулю m . Определим проводник L / K , обозначенный, быть наивысшим общим множителем всех модулей, для которых имеет место взаимность; на самом деле взаимность верна для, поэтому это наименьший такой модуль. [12] [13] [14]
Пример
- Взяв за основу поле рациональных чисел, теорема Кронекера – Вебера утверждает, что поле алгебраических чисел K абелево над Q тогда и только тогда, когда оно является подполем кругового поля , где обозначает примитивный корень n- й степени из единицы. [15] Если n - наименьшее целое число, для которого это верно, то проводником K является n, если K фиксируется комплексным сопряжением и иначе.
- Пусть L / K будетгде d - бесквадратное целое число. Тогда [16]
- где является дискриминант из .
Отношение к местным проводникам и разветвление
Глобальный проводник является продуктом местных проводников: [17]
Как следствие, конечное простое число разветвлено в L / K тогда и только тогда, когда оно делит. [18] Бесконечное простое v имеет место в проводнике , если, и только если, v является реальным и становится сложным в L .
Заметки
- ↑ Серр 1967 , §4.2
- ^ Как в Neukirch 1999 , определение V.1.6
- ^ Нойкирх 1999 , предложение V.1.7
- ^ Милн 2008 , I.1.9
- ^ Серр 1967 , §4.2, предложение 1
- ^ Артин и Тейт 2009 , следствие теоремы XI.14, стр. 100
- ^ Как в Серре 1967 , §4.2
- ^ Серр 1967 , §2.5, предложение 4
- ^ Милн 2008 , теорема III.3.5
- ^ Какв Артине & Tate 2009 , §XI.4. Это ситуация, в которой работает формализм локальной теории полей классов .
- ^ Коэн 2000 , определение 3.4.1
- ^ Милн 2008 , примечание V.3.8
- ^ Януш 1973 , с. 158,168-169
- ^ Некоторые авторы опускают бесконечные места в дирижере, например, Neukirch 1999 , §VI.6
- ^ Манин, Ю. I .; Панчишкин А.А. (2007). Введение в современную теорию чисел . Энциклопедия математических наук. 49 (Второе изд.). С. 155, 168. ISBN 978-3-540-20364-3. ISSN 0938-0396 . Zbl 1079.11002 .
- ^ Milne 2008 , пример V.3.11
- ^ Для конечной части Neukirch 1999 , предложение VI.6.5, и для бесконечной части Cohen 2000 , определение 3.4.1
- ^ Нойкирх 1999 , следствие VI.6.6
Рекомендации
- Артин, Эмиль ; Тейт, Джон (2009) [1967], теория поля классов , Американское математическое общество , ISBN 978-0-8218-4426-7, Руководство по ремонту 2467155
- Коэн, Анри (2000), Продвинутые темы в вычислительной теории чисел , Тексты для выпускников по математике , 193 , Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-98727-9
- Януш, Джеральд (1973), Поля алгебраических чисел , Чистая и прикладная математика, 55 , Academic Press, ISBN 0-12-380250-4, Zbl 0307,12001
- Милн, Джеймс (2008), Class field theory (v4.0 ed.) , Извлечено 22 февраля 2010 г.
- Нойкирх, Юрген (1999). Алгебраическая теория чисел . Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften . 322 . Берлин: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-65399-8. Руководство по ремонту 1697859 . Zbl 0956.11021 .
- Серр, Жан-Пьер (1967), "Локальная теория поля классов", в Cassels, JWS ; Фрёлих, Альбрехт (ред.), Алгебраическая теория чисел, Труды учебной конференции в Университете Сассекса, Брайтон, 1965 , Лондон: Academic Press, ISBN 0-12-163251-2, MR 0220701