Закон взаимности Артина

Закон взаимности Артина , который был установлен Эмилем Артином в серии работ (1924; 1927; 1930), является общей теоремой теории чисел, которая составляет центральную часть глобальной теории полей классов . ^[1] Термин « закон взаимности » относится к длинной череде более конкретных теоретико-числовых утверждений, которые он обобщил, от квадратичного закона взаимности и законов взаимности Эйзенштейна и Куммера до формулы произведения Гильберта для символа нормы . Результат Артина дал частичное решение девятой проблемы Гильберта .

Заявление [ править ]

Пусть L / K является расширением Галуа из глобальных полей и C _L стенд для идель группы классов из L . Одно из положений закона взаимности Артина состоит в том, что существует канонический изоморфизм, называемый глобальным отображением символов ^[2]^[3]

{\ displaystyle \ theta: C_ {K} / {N_ {L / K} (C_ {L})} \ to \ operatorname {Gal} (L / K) ^ {\ text {ab}},}

где ab обозначает абелианизацию группы. Карта определяется путем сборки отображений, называемых локальным символом Артина , локальным отображением взаимности или символом нормального вычета ^[4]^[5] ${\ displaystyle \ theta}$

{\ displaystyle \ theta _ {v}: K_ {v} ^ {\ times} / N_ {L_ {v} / K_ {v}} (L_ {v} ^ {\ times}) \ to G ^ {\ text {ab}},}

для различных мест v из K . Точнее, задается локальными отображениями на v -компоненте идельного класса. Карты являются изоморфизмами. В этом заключается содержание закона локальной взаимности , основной теоремы теории локальных полей классов . ${\ displaystyle \ theta}$ ${\ displaystyle \ theta _ {v}}$ ${\ displaystyle \ theta _ {v}}$

Доказательство [ править ]

Когомологическое доказательство глобального закона взаимности может быть достигнуто, если сначала установить, что

(\operatorname {Gal} (K^{sep}/K),\varinjlim C_{L})

представляет собой классовое образование в смысле Артина и Тейта. ^[6] Тогда доказывается, что

{\hat {H}}^{0}(\operatorname {Gal} (L/K),C_{L})\simeq {\hat {H}}^{-2}(\operatorname {Gal} (L/K),\mathbb {Z} ),

где обозначают группы когомологий Тейта . Выработка групп когомологий устанавливает, что θ - изоморфизм. ${\hat {H}}^{i}$

Значение [ править ]

Закон взаимности Артина предполагает описание абелианизации абсолютной группы Галуа в виде глобального поля K , который основан на Хассе локально-глобальный принцип и использовании элементов Фробениуса . Вместе с теоремой существования Такагов , он используется для описания абелевых расширений из K в терминах арифметики K и понять поведение неархимедовских мест в них. Таким образом, закон взаимности Артина можно интерпретировать как одну из основных теорем глобальной теории полей классов. Его можно использовать для доказательства того, чтоАртин L-функции являются мероморфны и для доказательства теоремы плотности Чеботарева . ^[7]

Через два года после публикации своего общего закона взаимности в 1927 году Артин заново открыл гомоморфизм переноса И. Шура и использовал закон взаимности, чтобы перевести проблему принципализации для идеальных классов полей алгебраических чисел в теоретико-групповую задачу определения ядер переноса. конечных неабелевых групп. ^[8]

Конечные расширения глобальных полей [ править ]

Определение артиновской карты для конечного абелева расширения L / K из глобальных полей (например, конечное абелевое расширения ) имеет описание бетона в терминах простых идеалов и элементов фробениусовых . $\mathbb {Q}$

Если является простым числом K, то группы разложения простых чисел, указанных выше , равны в Gal ( L / K ), поскольку последняя группа абелева . Если не разветвлена в L , то группа разложения канонически изоморфна группе Галуа расширения полей вычетов над . Следовательно, существует канонически определенный элемент Фробениуса в Gal ( L / K ), обозначаемый символом или . Если Δ обозначает относительный дискриминант из L / K , то ${\mathfrak {p}}$ ${\mathfrak {P}}$ ${\mathfrak {p}}$ ${\mathfrak {p}}$ $D_{\mathfrak {p}}$ ${\mathcal {O}}_{L,{\mathfrak {P}}}/{\mathfrak {P}}$ ${\mathcal {O}}_{K,{\mathfrak {p}}}/{\mathfrak {p}}$ $\mathrm {Frob} _{\mathfrak {p}}$ $\left({\frac {L/K}{\mathfrak {p}}}\right)$ Символ Артина (или отображение Артина , или (глобальное) отображение взаимности ) L / K определяется на группе дробных идеалов , простых с Δ , линейностью: $I_{K}^{\Delta }$

{\begin{cases}\left({\frac {L/K}{\cdot }}\right):I_{K}^{\Delta }\longrightarrow \operatorname {Gal} (L/K)\\\prod _{i=1}^{m}{\mathfrak {p}}_{i}^{n_{i}}\longmapsto \prod _{i=1}^{m}\left({\frac {L/K}{{\mathfrak {p}}_{i}}}\right)^{n_{i}}\end{cases}}

Закон взаимности Артина (или глобальный закон взаимности ) утверждает, что существует модуль c для K, такой, что отображение Артина индуцирует изоморфизм

I_{K}^{\mathbf {c} }/i(K_{\mathbf {c} ,1})\mathrm {N} _{L/K}(I_{L}^{\mathbf {c} }){\overset {\sim }{\longrightarrow }}\mathrm {Gal} (L/K)

где K _{c , 1} - луч по модулю c , N _{L / K} - отображение нормы, ассоциированное с L / K, и дробные идеалы L, простые с c . Такой модуль с называется определяющим модулем для L / K . Наименьший определяющий модуль называется проводником L / K и обычно обозначается $I_{L}^{\mathbf {c} }$ ${\mathfrak {f}}(L/K).$

Примеры [ править ]

Квадратичные поля [ править ]

Если - целое число без квадратов , и , то можно отождествить с {± 1}. Дискриминант Δ L over равен d или 4 d в зависимости от того, d 1 (mod 4) или нет. Отображение Артина затем определяется на простых числах p, которые не делят Δ на $d\neq 1$ $K=\mathbb {Q} ,$ $L=\mathbb {Q} ({\sqrt {d}})$ $\operatorname {Gal} (L/\mathbb {Q} )$ $\mathbb {Q}$

p\mapsto \left({\frac {\Delta }{p}}\right)

где - символ Кронекера . ^[9] Более конкретно, проводником является главный идеал (Δ) или (Δ) ∞ в зависимости от того, является ли Δ положительным или отрицательным, ^[10] и отображается отображение Артина на идеале ( n ), равном простому числу Δ символом Кронекера. Это показывает, что простое число p расщеплено или инертно в L в зависимости от того, равно 1 или -1. $\left({\frac {\Delta }{p}}\right)$ $L/\mathbb {Q}$ $\left({\frac {\Delta }{n}}\right).$ $\left({\frac {\Delta }{p}}\right)$

Циклотомические поля [ править ]

Пусть m > 1 будет либо нечетным целым числом, либо кратным 4, пусть будет примитивным корнем m- й степени из единицы и пусть будет m- м круговым полем . могут быть идентифицированы с помощью отправки σ в виде _сг задается правилом $\zeta _{m}$ $L=\mathbb {Q} (\zeta _{m})$ $\operatorname {Gal} (L/\mathbb {Q} )$ $(\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }$

\sigma (\zeta _{m})=\zeta _{m}^{a_{\sigma }}.

Проводник представляет собой ( м ) ∞, ^[11] и артинов карту на прайм-to - м идеала ( п ) просто п ( по модулю т ) в ^[12] $L/\mathbb {Q}$ $(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }.$

Связь с квадратичной взаимностью [ править ]

Пусть p и - различные нечетные простые числа. Для удобства пусть (всегда 1 (mod 4)). Тогда квадратичная взаимность утверждает, что $\ell$ $\ell ^{*}=(-1)^{\frac {\ell -1}{2}}\ell$

\left({\frac {\ell ^{*}}{p}}\right)=\left({\frac {p}{\ell }}\right).

Связь между квадратичным и круговым законами взаимности дается путем изучения квадратичного поля и кругового поля следующим образом. ^[9] Во-первых, F является подполем в L , поэтому, если H = Gal ( L / F ), а затем, поскольку последнее имеет порядок 2, подгруппа H должна быть группой квадратов в . Основное свойство символа Артина гласит, что для любого простого к идеала ( n ) $F=\mathbb {Q} ({\sqrt {\ell ^{*}}})$ $L=\mathbb {Q} (\zeta _{\ell })$ $G=\operatorname {Gal} (L/\mathbb {Q} ),$ $\operatorname {Gal} (F/\mathbb {Q} )=G/H.$ $(\mathbb {Z} /\ell \mathbb {Z} )^{\times }.$

\left({\frac {F/\mathbb {Q} }{(n)}}\right)=\left({\frac {L/\mathbb {Q} }{(n)}}\right){\pmod {H}}.

Когда n = p , это показывает, что тогда и только тогда, когда p по модулю находится в H , то есть тогда и только тогда, когда p является квадратом по модулю. $\left({\frac {\ell ^{*}}{p}}\right)=1$

Утверждение в терминах L- функций [ править ]

Альтернативная версия закона взаимности, ведущая к программе Ленглендса , связывает L-функции Артина, связанные с абелевыми расширениями числового поля, с L-функциями Гекке, связанными с символами группы классов idèle. ^[13]

Характер Гекка (или Größencharakter) из числового поля K определяются быть квазихарактером из идели группы классов K . Ленглендс интерпретировать символы Гекка , как автоморфные формы на восстановительной алгебраической группе GL (1) над кольцом аделей из K . ^[14]

Пусть абелева расширение Галуа с группой Галуа G . Тогда для любого характера (т. Е. Одномерного комплексного представления группы G ) существует характер Гекке группы K такой, что $E/K$ $\sigma :G\to \mathbb {C} ^{\times }$ $\chi$

L_{E/K}^{\mathrm {Artin} }(\sigma ,s)=L_{K}^{\mathrm {Hecke} }(\chi ,s)

где левая часть - это L-функция Артина, связанная с расширением с характером σ, а правая часть - это L-функция Гекке, связанная с χ, раздел 7.D из. ^[14]

Формулировка закона взаимности Артина как равенства L -функций позволяет сформулировать обобщение на n -мерные представления, хотя прямое соответствие все еще отсутствует.

Примечания [ править ]

^ Хельмут Хассе , История теории поля классов , в алгебраической теории чисел , под редакцией Касселса и Фрелиха, Academic Press, 1967, стр. 266–279
Перейти ↑ Neukirch (1999) p.391
↑ Юрген Нойкирх , Algebraische Zahlentheorie , Springer, 1992, стр. 408. Фактически, более точная версия закона взаимности отслеживает разветвление.
↑ Серр (1967), стр.140
↑ Серр (1979), стр.197
↑ Серр (1979), стр.164
↑ Юрген Нойкирх, Algebraische Zahlentheorie , Springer, 1992, глава VII
^ Артин, Эмиль (декабрь 1929 г.), «Idealklassen in oberkörpern und allgemeines reziprozitätsgesetz», Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg , 7 (1): 46–51, doi : 10.1007 / BF02941159.
^ а б Леммермейер 2000 , §3.2
^ Милн 2008 , пример 3.11
^ Милн 2008 , пример 3.10
^ Милн 2008 , пример 3.2
^ Джеймс Милн, Теория поля классов
^ a b Гелбарт, Стивен С. (1975), Автоморфные формы на группах аделей , Annals of Mathematics Studies, 83 , Princeton, NJ: Princeton University Press, MR 0379375 .

Ссылки [ править ]

Эмиль Артин (1924) "Uber eine neue Art von L-Reihen", Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg 3: 89–108; Собрание статей , Addison Wesley (1965), 105–124
Эмиль Артин (1927) "Beweis des allgemeinen Reziprozitätsgesetzes", Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg 5: 353–363; Сборник статей , 131–141
Эмиль Артин (1930) "Idealklassen in Oberkörpern und allgemeines Reziprozitätsgesetzes", Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg 7: 46–51; Сборник статей , 159–164
Фрей, Гюнтер (2004), «К истории закона взаимности Артина в абелевых расширениях полей алгебраических чисел: как Артин пришел к своему закону взаимности», в Олаве Арнфинне Лаудале; Рагни Пиене (ред.), Наследие Нильса Хенрика Абеля. Доклады конференции, посвященной двухсотлетию Абеля, Университет Осло, Осло, Норвегия, 3-8 июня 2002 г. , Берлин: Springer-Verlag , стр. 267–294, ISBN 978-3-540-43826-7, Руководство по ремонту 2077576 , Zbl 1065.11001
Януш, Джеральд (1973), Поля алгебраических чисел , Чистая и прикладная математика, 55 , Academic Press, ISBN 0-12-380250-4
Лэнг, Серж (1994), Алгебраическая теория чисел , Тексты для выпускников по математике , 110 (2-е изд.), Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-94225-4, MR 1282723
Леммермейер, Франц (2000), Законы взаимности: от Эйлера до Эйзенштейна , Монографии Springer по математике, Берлин: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-66957-9, Руководство по ремонту 1761696 , Zbl 0949.11002
Милн, Джеймс (2008), Class field theory (v4.0 ed.) , Получено 22 февраля 2010 г.
Нойкирх, Юрген (1999), Алгебраическая теория чисел , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 322 , Перевод с немецкого Норберта Шаппахера, Берлин: Springer-Verlag , ISBN 3-540-65399-6, Zbl 0956,11021
Серр, Жан-Пьер (1979), Local Fields , Graduate Texts in Mathematics, 67 , переведено Гринбергом, Марвином Джеем , Нью-Йорк, Гейдельберг, Берлин: Springer-Verlag , ISBN 3-540-90424-7, Zbl 0423,12016
Серр, Жан-Пьер (1967), «VI. Теория поля локальных классов», в Cassels, JWS ; Фрёлих А. (ред.), Алгебраическая теория чисел. Материалы учебной конференции, организованной Лондонским математическим обществом (Институтом перспективных исследований НАТО) при поддержке Международного математического союза , Лондон: Academic Press, стр. 128–161, Zbl 0153.07403
Тейт, Джон (1967), «VII. Глобальная теория поля классов», в Cassels, JWS ; Фрёлих А. (ред.), Алгебраическая теория чисел. Материалы учебной конференции, организованной Лондонским математическим обществом (Институтом перспективных исследований НАТО) при поддержке Международного математического союза , Лондон: Academic Press, стр. 162–203, Zbl 0153.07403

[1] Хельмут Хассе , История теории поля классов , в алгебраической теории чисел , под редакцией Касселса и Фрелиха, Academic Press, 1967, стр. 266–279

[N99391-2] Перейти ↑ Neukirch (1999) p.391

[3] Юрген Нойкирх , Algebraische Zahlentheorie , Springer, 1992, стр. 408. Фактически, более точная версия закона взаимности отслеживает разветвление.

[Ser140-4] Серр (1967), стр.140

[S79197-5] Серр (1979), стр.197

[S79164-6] Серр (1979), стр.164

[7] Юрген Нойкирх, Algebraische Zahlentheorie , Springer, 1992, глава VII

[8] Артин, Эмиль (декабрь 1929 г.), «Idealklassen in oberkörpern und allgemeines reziprozitätsgesetz», Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg , 7 (1): 46–51, doi : 10.1007 / BF02941159.

[Lemmermeyer_2000_loc=§3.2-9] а б Леммермейер 2000 , §3.2

[10] Милн 2008 , пример 3.11

[11] Милн 2008 , пример 3.10

[12] Милн 2008 , пример 3.2

[milne-13] Джеймс Милн, Теория поля классов

[Gelbart-14] Гелбарт, Стивен С. (1975), Автоморфные формы на группах аделей , Annals of Mathematics Studies, 83 , Princeton, NJ: Princeton University Press, MR 0379375 .

[1]