Бета-функция

В математике , то бета - функция , которая также называется Эйлера интеграл первого рода, является специальная функция , которая тесно связана с гамма - функции и биномиальных коэффициентов . Он определяется интегралом

${\ Displaystyle \ mathrm {B} (x, y) = \ int _ {0} ^ {1} t ^ {x-1} (1-t) ^ {y-1} \, dt}$

для входов комплексных чисел x , y, таких что Re x > 0, Re y > 0 .

Бета-функция изучалась Эйлером и Лежандром и получила свое название от Жака Бине ; его символ Β - это бета с заглавной греческой буквы .

Свойства [ править ]

Бета-функция симметрична , что означает, что

${\ Displaystyle \ mathrm {B} (x, y) = \ mathrm {B} (y, x)}$

для всех входов x и y . ^[1]

Ключевым свойством бета-функции является ее тесная связь с гамма-функцией : она есть ^[1]

${\ displaystyle \ mathrm {B} (x, y) = {\ frac {\ Gamma (x) \, \ Gamma (y)} {\ Gamma (x + y)}}.}$

(Доказательство приводится ниже в § Связь с гамма-функцией .)

Бета-функция также тесно связана с биномиальными коэффициентами . Когда x и y - натуральные числа, из определения гамма-функции Γ следует, что ^[2]

${\displaystyle \mathrm {B} (x,y)={\dfrac {(x-1)!\,(y-1)!}{(x+y-1)!}}={\frac {x+y}{xy}}\cdot {\frac {1}{\binom {x+y}{x}}}.}$

Связь с гамма-функцией [ править ]

Простой вывод соотношения можно найти в книге Эмиля Артина « Гамма-функция» , стр. 18–19. ^[3] Чтобы вывести это соотношение, запишите произведение двух факториалов в виде${\displaystyle \mathrm {B} (x,y)={\frac {\Gamma (x)\,\Gamma (y)}{\Gamma (x+y)}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (x)\Gamma (y)&=\int _{u=0}^{\infty }\ e^{-u}u^{x-1}\,du\cdot \int _{v=0}^{\infty }\ e^{-v}v^{y-1}\,dv\\[6pt]&=\int _{v=0}^{\infty }\int _{u=0}^{\infty }\ e^{-u-v}u^{x-1}v^{y-1}\,du\,dv.\end{aligned}}}$

Замена переменных на u = zt и v = z (1 - t ) дает

${\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (x)\Gamma (y)&=\int _{z=0}^{\infty }\int _{t=0}^{1}e^{-z}(zt)^{x-1}(z(1-t))^{y-1}z\,dt\,dz\\[6pt]&=\int _{z=0}^{\infty }e^{-z}z^{x+y-1}\,dz\cdot \int _{t=0}^{1}t^{x-1}(1-t)^{y-1}\,dt\\&=\Gamma (x+y)\cdot \mathrm {B} (x,y).\end{aligned}}}$

Разделение обеих сторон на дает желаемый результат. ${\displaystyle \Gamma (x+y)}$

Указанная идентичность может рассматриваться как частный случай идентичности интеграла свертки . Принимая

${\displaystyle {\begin{aligned}f(u)&:=e^{-u}u^{x-1}1_{\mathbb {R} _{+}}\\g(u)&:=e^{-u}u^{y-1}1_{\mathbb {R} _{+}},\end{aligned}}}$

надо:

${\displaystyle \Gamma (x)\Gamma (y)=\int _{\mathbb {R} }f(u)\,du\cdot \int _{\mathbb {R} }g(u)\,du=\int _{\mathbb {R} }(f*g)(u)\,du=\mathrm {B} (x,y)\,\Gamma (x+y).}$

Производные [ править ]

У нас есть

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}\mathrm {B} (x,y)=\mathrm {B} (x,y)\left({\frac {\Gamma '(x)}{\Gamma (x)}}-{\frac {\Gamma '(x+y)}{\Gamma (x+y)}}\right)=\mathrm {B} (x,y){\big (}\psi (x)-\psi (x+y){\big )},}$

где - дигамма-функция .${\displaystyle \psi (x)}$

Приближение [ править ]

Приближение Стирлинга дает асимптотическую формулу

${\displaystyle \mathrm {B} (x,y)\sim {\sqrt {2\pi }}{\frac {x^{x-1/2}y^{y-1/2}}{({x+y})^{x+y-1/2}}}}$

для больших x и больших y . Если, с другой стороны, x велик, а y фиксирован, то

${\displaystyle \mathrm {B} (x,y)\sim \Gamma (y)\,x^{-y}.}$

Другие идентичности и формулы [ править ]

В этом разделе не процитировать любые источники . Пожалуйста, помогите улучшить этот раздел , добавив цитаты из надежных источников . Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален . ( Июнь 2020 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

Интеграл, определяющий бета-функцию, можно переписать различными способами, включая следующие:

где в последнем тождестве n - любое положительное действительное число. (Можно перейти от первого интеграла ко второму, заменив .)${\displaystyle t=\tan ^{2}(\theta )}$

Бета-функцию можно записать в виде бесконечной суммы

${\displaystyle \mathrm {B} (x,y)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\binom {n-y}{n}}{x+n}}}$^{[ сомнительно - обсудить ]}

и как бесконечный продукт

${\displaystyle \mathrm {B} (x,y)={\frac {x+y}{xy}}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\dfrac {xy}{n(x+y+n)}}\right)^{-1}.}$

Бета-функция удовлетворяет нескольким тождествам, аналогичным соответствующим тождествам для биномиальных коэффициентов, включая версию тождества Паскаля.

и простое повторение по одной координате:

Для бета-функция может быть записана в терминах свертки, включающей усеченную степенную функцию t ↦ t${\displaystyle x,y\geq 1}$ ^х
₊:

Оценка в определенных точках может значительно упроститься; Например,

а также^[4]

Используя эту последнюю формулу, можно, в частности, заключить, что Γ (1/2) = √ π . Можно также обобщить последнюю формулу до двумерного тождества для произведения бета-функций:${\displaystyle x={\frac {1}{2}}}$

Интеграл Эйлера для бета-функции может быть преобразован в интеграл по контуру Похгаммера C как

${\displaystyle \left(1-e^{2\pi i\alpha }\right)\left(1-e^{2\pi i\beta }\right)\mathrm {B} (\alpha ,\beta )=\int _{C}t^{\alpha -1}(1-t)^{\beta -1}\,dt.}$

Этот контурный интеграл Похгаммера сходится для всех значений α и β и, таким образом, дает аналитическое продолжение бета-функции.

Так же, как гамма-функция для целых чисел описывает факториалы , бета-функция может определять биномиальный коэффициент после корректировки индексов:

${\displaystyle {\binom {n}{k}}={\frac {1}{(n+1)\mathrm {B} (n-k+1,k+1)}}.}$

Более того, для целого n , Β можно разложить на множители, чтобы получить функцию интерполяции замкнутой формы для непрерывных значений k :

${\displaystyle {\binom {n}{k}}=(-1)^{n}\,n!\cdot {\frac {\sin(\pi k)}{\pi \displaystyle \prod _{i=0}^{n}(k-i)}}.}$

Бета-функция была первой известной амплитудой рассеяния в теории струн , впервые предположенной Габриэле Венециано . Это также встречается в теории процесса предпочтительного прикрепления , типа случайного процесса урны .

Взаимная бета-функция [ править ]

Обратная бета - функция является функцией о форме

${\displaystyle f(x,y)={\frac {1}{\mathrm {B} (x,y)}}}$

Интересно, что их интегральные представления тесно связаны как определенный интеграл от тригонометрических функций с продуктом его мощности и множественным углом : ^[5]

${\displaystyle \int _{0}^{\pi }\sin ^{x-1}\theta \sin y\theta ~d\theta ={\frac {\pi \sin {\frac {y\pi }{2}}}{2^{x-1}x\mathrm {B} \left({\frac {x+y+1}{2}},{\frac {x-y+1}{2}}\right)}}}$

${\displaystyle \int _{0}^{\pi }\sin ^{x-1}\theta \cos y\theta ~d\theta ={\frac {\pi \cos {\frac {y\pi }{2}}}{2^{x-1}x\mathrm {B} \left({\frac {x+y+1}{2}},{\frac {x-y+1}{2}}\right)}}}$

${\displaystyle \int _{0}^{\pi }\cos ^{x-1}\theta \sin y\theta ~d\theta ={\frac {\pi \cos {\frac {y\pi }{2}}}{2^{x-1}x\mathrm {B} \left({\frac {x+y+1}{2}},{\frac {x-y+1}{2}}\right)}}}$

${\displaystyle \int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\cos ^{x-1}\theta \cos y\theta ~d\theta ={\frac {\pi }{2^{x}x\mathrm {B} \left({\frac {x+y+1}{2}},{\frac {x-y+1}{2}}\right)}}}$

Неполная бета-функция [ править ]

Неполная бета - функция , обобщение бета - функции, определяется как

${\displaystyle \mathrm {B} (x;\,a,b)=\int _{0}^{x}t^{a-1}\,(1-t)^{b-1}\,dt.}$

При x = 1 неполная бета-функция совпадает с полной бета-функцией. Отношения между двумя функциями аналогичны отношениям между гамма-функцией и ее обобщением, неполной гамма-функцией .

Регуляризованный неполной бета - функции (или регуляризованное бета - функция для краткости) определяется в терминах неполной бета - функции и полной бета - функции:

${\displaystyle I_{x}(a,b)={\frac {\mathrm {B} (x;\,a,b)}{\mathrm {B} (a,b)}}.}$

Регуляризованная неполная бета - функция является функцией распределения в бета - распределении , а также имеет отношение к интегральной функции распределения в виде случайной величины X следующей за биномиальным распределением с вероятностью успеха одного р и числа испытаний Бернулли п :${\displaystyle F(k;\,n,p)}$

${\displaystyle F(k;\,n,p)=\Pr \left(X\leq k\right)=I_{1-p}(n-k,k+1)=1-I_{p}(k+1,n-k).}$

Свойства [ править ]

${\displaystyle {\begin{aligned}I_{0}(a,b)&=0\\I_{1}(a,b)&=1\\I_{x}(a,1)&=x^{a}\\I_{x}(1,b)&=1-(1-x)^{b}\\I_{x}(a,b)&=1-I_{1-x}(b,a)\\I_{x}(a+1,b)&=I_{x}(a,b)-{\frac {x^{a}(1-x)^{b}}{a\mathrm {B} (a,b)}}\\I_{x}(a,b+1)&=I_{x}(a,b)+{\frac {x^{a}(1-x)^{b}}{b\mathrm {B} (a,b)}}\\\mathrm {B} (x;a,b)&=(-1)^{a}\mathrm {B} \left({\frac {x}{x-1}};a,1-a-b\right)\end{aligned}}}$

Многовариантная бета-функция [ править ]

Бета-функцию можно расширить до функции с более чем двумя аргументами:

${\displaystyle \mathrm {B} (\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots \alpha _{n})={\frac {\Gamma (\alpha _{1})\,\Gamma (\alpha _{2})\cdots \Gamma (\alpha _{n})}{\Gamma (\alpha _{1}+\alpha _{2}+\cdots +\alpha _{n})}}.}$

Эта многомерная бета-функция используется в определении распределения Дирихле . Его отношение к бета-функции аналогично соотношению между полиномиальными коэффициентами и биномиальными коэффициентами.

Программная реализация [ править ]

Даже если они недоступны напрямую, полные и неполные значения бета-функций могут быть рассчитаны с использованием функций, обычно включенных в системы электронных таблиц или компьютерной алгебры . В Excel , например, полное бета-значение можно рассчитать с помощью GammaLnфункции:

Value = Exp(GammaLn(a) + GammaLn(b) − GammaLn(a + b))

Неполное бета-значение можно рассчитать как:

Value = BetaDist(x, a, b) * Exp(GammaLn(a) + GammaLn(b) − GammaLn(a + b)).

Эти результаты вытекают из свойств, перечисленных выше .

Точно так же, betainc(неполная бета - функция) в MATLAB и GNU Octave , pbeta(вероятность бета - распределения) в R или special.betaincв Пайтона SciPy пакет вычислим регуляризованная неполной бета - функция -Какие, на самом деле, накопленная бета распределения, и таким образом, чтобы получить фактическая неполная бета-функция, нужно умножить результат betaincна результат, возвращенный соответствующей betaфункцией. В Mathematica , Beta[x, a, b]и BetaRegularized[x, a, b]отдавания и , соответственно.${\displaystyle \mathrm {B} (x;\,a,b)}$${\displaystyle I_{x}(a,b)}$

См. Также [ править ]

• Бета-распределение и бета-простое распределение , два распределения вероятностей, связанных с бета-функцией
• Сумма Якоби , аналог бета-функции над конечными полями.
• Интеграл Норлунда – Райса
• Распределение Юла – Саймона

Эта статья включает в себя список общих ссылок , но он остается в значительной степени непроверенным, поскольку в нем отсутствует достаточное количество соответствующих встроенных ссылок . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью, добавив более точные цитаты. ( Ноябрь 2010 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

Ссылки [ править ]

• Аски, РА ; Рой, Р. (2010), «Бета-функция» , в Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M .; Бойсверт, Рональд Ф .; Кларк, Чарльз В. (ред.), Справочник по математическим функциям NIST , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR  2723248
• Зелен, М .; Северо, Северная Каролина (1972), «26. Вероятностные функции», в Abramowitz, Milton ; Стегун, Ирен А. (ред.), Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами , Нью-Йорк: Dover Publications , стр.  925–995 , ISBN 978-0-486-61272-0
• Дэвис, Филип Дж. (1972), «6. Гамма-функция и родственные функции», в Abramowitz, Milton ; Стегун, Ирен А. (ред.), Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами , Нью-Йорк: Dover Publications , ISBN 978-0-486-61272-0
• Париж, RB (2010), «Неполные бета-функции» , в Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M .; Бойсверт, Рональд Ф .; Кларк, Чарльз В. (ред.), Справочник по математическим функциям NIST , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR  2723248
• Нажмите, WH; Теукольский, С.А. Феттерлинг, Вашингтон; Фланнери, Б.П. (2007), «Раздел 6.1 Гамма-функция, бета-функция, факториалы» , Численные рецепты: Искусство научных вычислений (3-е изд.), Нью-Йорк: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88068-8

Внешние ссылки [ править ]

• "Бета-функция" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Оценка бета-функции с использованием преобразования Лапласа в PlanetMath .
• Произвольно точные значения можно получить из:
  • Сайт Wolfram Functions : оценка регулярной бета-версии неполной бета-версии
  • danielsoper.com: Неполное Beta Функция Калькулятор , Регуляризированный Неполное Beta Функция калькулятора