Сумма Куммера

В математике , куммерова сумма этого название некоторых кубические суммы Гаусса для простого модуля р , с р , сравнимым с 1 по модулю 3. Они названы в честь Куммера , который сделал предположение о статистических свойствах своих аргументов, как комплексные числа . Эти суммы были известны и использовались до Куммера в теории циклотомии .

Определение [ править ]

Таким образом, сумма Куммера является конечной суммой

${\ Displaystyle \ сумма \ чи (г) е (г / р) = г (\ чи)}$

по r по модулю p , где χ - характер Дирихле, принимающий значения в кубических корнях из единицы , и где e ( x ) - экспоненциальная функция exp (2π ix ). При заданном p требуемой формы таких символов два, вместе с тривиальным символом.

Кубическая экспоненциальная сумма K ( n , p ), определяемая формулой

${\ Displaystyle К (п, р) = \ сумма _ {х = 1} ^ {р} е (пх ^ {3} / р)}$

легко увидеть как линейную комбинацию сумм Куммера. Фактически это 3 P, где P - один из гауссовских периодов для подгруппы индекса 3 в вычетах по модулю p при умножении, в то время как суммы Гаусса представляют собой линейные комбинации P с кубическими корнями из единицы в качестве коэффициентов. Однако это сумма Гаусса, для которой выполняются алгебраические свойства. Такие кубические экспоненциальные суммы теперь также называют суммами Куммера.

Статистические вопросы [ править ]

Из общей теории сумм Гаусса известно, что

${\ Displaystyle | G (\ чи) | = {\ sqrt {p}}. \,}$

Фактически, разложение G ( χ ) на простые числа в круговом поле, в котором она, естественно, лежит, известно, что дает более сильную форму. Куммера беспокоил аргумент

${\ displaystyle \ theta _ {p} \,}$

группы G ( χ ). В отличие от квадратичного случая, когда квадрат суммы Гаусса известен, а точный квадратный корень был определен Гауссом, здесь куб G ( χ ) лежит в целых числах Эйзенштейна , но его аргумент определяется аргументом простого Эйзенштейна, делящего p , который разбивается в этом поле.

Куммер выдвинул статистическую гипотезу о θ _p и его распределении по модулю 2π (другими словами, об аргументе суммы Куммера на единичной окружности). Чтобы это имело смысл, нужно выбирать между двумя возможными χ: фактически, существует особый выбор, основанный на символе кубического вычета . Куммер использовал доступные числовые данные для p до 500 (это описано в книге Джорджа Б. Мэтьюза 1892 года « Теория чисел » ). Однако действовал «закон малых чисел», означающий, что первоначальная гипотеза Куммера об отсутствии равномерного распределения страдала от смещения малых чисел. В 1952 году Джон фон Нейман и Герман Голдстайнрасширенные вычисления Куммера на ENIAC . ^[1]

В двадцатом веке, наконец, был достигнут прогресс в этом вопросе, который оставался нетронутым более 100 лет. Основываясь на работе Томио Куботы , С.Дж. Паттерсона и Роджера Хит-Брауна в 1978 году, была опровергнута гипотеза Куммера и доказана модифицированная форма гипотезы Куммера. ^{[2] [3]} Фактически они показали, что существует равнораспределение θ _p . Эта работа касалась автоморфных форм для метаплектической группы и леммы Вона в аналитической теории чисел .

Гипотеза Касселса [ править ]

Вторая гипотеза о суммах Куммера была сделана Дж. В. С. Касселсом , снова опираясь на предыдущие идеи Томио Куботы. Это была формула произведения в терминах эллиптических функций с комплексным умножением на целые числа Эйзенштейна. ^[4] Гипотеза была доказана в 1978 году Чарльзом Мэтьюзом. ^[5]

Ссылки [ править ]

• Бредихин, Б.М. (2001) [1994], "Гипотеза Куммера" , Энциклопедия математики , EMS Press