Однако пошаговая техника продолжения может столкнуться с трудностями. Они могут иметь по существу топологический характер, приводя к несогласованности (определение более одного значения). В качестве альтернативы они могут быть связаны с наличием сингулярностей . Случай нескольких комплексных переменных совершенно иной, поскольку в этом случае особенности не обязательно должны быть изолированными точками, и его исследование явилось основной причиной развития когомологий пучков .
Первоначальное обсуждение
Аналитическое продолжение натурального логарифма (мнимая часть)
тогда F называется аналитическим продолжением f . Другими словами, ограничение на F на U является функцией е мы начали с.
Аналитические продолжения единственны в следующем смысле: если V - связная область двух аналитических функций F 1 и F 2 таких, что U содержится в V и для всех z - в U
тогда
на всех V . Это связано с тем, что F 1 - F 2 является аналитической функцией, которая обращается в нуль в открытой связной области U функции f и, следовательно, должна исчезать во всей своей области. Это непосредственно следует из теоремы тождества для голоморфных функций .
Приложения
Обычный способ определения функций в комплексном анализе заключается в том, что сначала задают функцию только в небольшой области, а затем расширяют ее с помощью аналитического продолжения.
На практике это продолжение часто выполняется, сначала устанавливая некоторое функциональное уравнение для небольшой области, а затем используя это уравнение для расширения области. Примерами являются дзета-функция Римана и гамма-функция .
Концепция универсального покрытия была впервые разработана для определения естественной области аналитического продолжения аналитической функции . Идея поиска максимального аналитического продолжения функции, в свою очередь, привела к развитию идеи римановых поверхностей .
Пример работы
Аналитическое продолжение от U (с центром в 1) до V (с центром в a = (3 + i) / 2)
Начните с конкретной аналитической функции . В данном случае он дается степенным рядом с центром в:
По теореме Коши – Адамара его радиус сходимости равен 1. То есть определен и аналитичен на открытом множестве который имеет границу . Действительно, ряд расходится при.
Представьте, что мы этого не знаем , и сосредоточьтесь на повторном центрировании степенного ряда в другой точке :
Мы рассчитаем 's и определить, сходится ли этот новый степенной ряд в открытом множестве который не содержится в . Если так, то мы продолжим аналитически. в регион что строго больше, чем .
Расстояние от к является . Брать; позволять быть диском радиуса вокруг ; и разрешибыть его границей. потом. Используя формулу дифференцирования Коши для вычисления новых коэффициентов,
Это,
который имеет радиус сходимости , а также Если мы выберем с участием , тогда не является подмножеством и на самом деле больше по площади, чем . На графике показан результат для
Можем продолжить процесс: выбираем , заново центрировать степенной ряд на , и определить, где сходится новый степенной ряд. Если в регионе есть точки не в, то продолжим аналитически даже дальше. Этот конкретный аналитически продолжается на проколотую комплексную плоскость
Формальное определение ростка
Определенный ниже степенной ряд обобщается идеей ростка . Общая теория аналитического продолжения и ее обобщений известна как теория пучков . Позволять
Отметим, что без ограничения общности здесь и далее мы всегда будем предполагать, что было выбрано максимальное такое r , даже если это r равно ∞. Также обратите внимание, что было бы эквивалентно начать с аналитической функции, определенной на некотором небольшом открытом множестве. Мы говорим, что вектор
является росток из F . База г 0 из г в г 0 , то стебель из г является (α 0 , & alpha ; 1 , α 2 , ...) , а верхняя г 1 из г является α 0 . Вершина g - это значение f при z 0 .
Любой вектор g = ( z 0 , α 0 , α 1 , ...) является ростком, если он представляет собой степенной ряд аналитической функции вокруг z 0 с некоторым радиусом сходимости r > 0. Следовательно, мы можем смело говорить о набор микробов.
Топология множества ростков
Пусть г и ч быть микробами . Еслигде r - радиус сходимости g, и если степенной ряд, определяемый g и h, задает идентичные функции на пересечении двух областей, то мы говорим, что h порождается g (или совместим с ним) , и пишем g ≥ ч . Это условие совместимости не является ни транзитивным, ни симметричным, ни антисимметричным. Если мы расширим отношение транзитивностью , мы получим симметричное отношение, которое, следовательно, также является отношением эквивалентности на ростках (но не упорядочением). Это расширение по транзитивности является одним из определений аналитического продолжения. Обозначим отношение эквивалентности.
Мы можем определить топологию на. Пусть r > 0, и пусть
Подключенный компонент из(т.е. класс эквивалентности) называется пучком . Отметим также, что отображение, определяемоегде r - радиус сходимости g , - диаграмма . Набор таких карт составляет атлас для, следовательно является римановой поверхностью .иногда называют универсальной аналитической функцией .
Примеры аналитического продолжения
является степенным рядом, соответствующим натуральному логарифму вблизи z = 1. Этот степенной ряд можно превратить в росток
Этот росток имеет радиус сходимости 1, и таким образом есть пучок S , соответствующий ему. Это пучок логарифмической функции.
Теорема единственности для аналитических функций распространяется также на пучки аналитических функций: если пучок аналитической функции содержит нулевой росток (т. Е. Пучок равномерно равен нулю в некоторой окрестности), то весь пучок равен нулю. Вооружившись этим результатом, мы можем видеть, что если мы возьмем любой росток g пучка S логарифмической функции, как описано выше, и превратим его в степенной ряд f ( z ), то эта функция будет обладать тем свойством, что exp ( f ( z )) = z . Если бы мы решили использовать версию теоремы об обратной функции для аналитических функций, мы могли бы построить широкий спектр обратных для экспоненциального отображения, но мы обнаружили , что все они представлены некоторым росток S . В этом смысле S является «истинным обратным» экспоненциальному отображению.
В более ранней литературе пучки аналитических функций назывались многозначными функциями . См. Связку для общей концепции.
Урочище
Предположим, что степенной ряд имеет радиус сходимости r и определяет аналитическую функцию f внутри этого круга. Рассмотрим точки на круге сходимости. Точка, для которой существует окрестность, в которой f имеет аналитическое расширение, регулярна , в противном случае - особой . Окружность является естественной границей, если все ее точки особые.
В более общем смысле, мы можем применить определение к любой открытой связной области, в которой f является аналитической, и классифицировать точки границы области как регулярные или особые: граница области тогда является естественной границей, если все точки особые, в которых в случае, если область является областью голоморфности .
Пример I. Функция с естественной границей в нуле (простая дзета-функция)
Эта функция аналогична сумматорной форме дзета-функции Римана, когда поскольку это та же сумматорная функция, что и , за исключением индексов, ограниченных только простыми числами, вместо суммирования всех положительных натуральных чисел . Простая дзета-функция имеет аналитическое продолжение на все комплексные s такие, что, факт, который следует из выражения логарифмами дзета-функции Римана как
С имеет простую несъемную стойку на , тогда можно увидеть, что имеет простой полюс на . Поскольку набор точек
имеет точку накопления 0 (предел последовательности как ), мы видим, что нуль образует естественную границу для . Это означает, чтоне имеет аналитического продолжения для s слева от (или в) нуля, т. е. продолжение невозможно для когда . В качестве примечания, этот факт может быть проблематичным, если мы выполняем комплексный контурный интеграл по интервалу, действительные части которого симметричны относительно нуля, например для некоторых , где подынтегральное выражение - функция со знаминателем, зависящим от существенно.
Пример II: Типичный лакунарный ряд (естественная граница как подмножество единичной окружности)
Для целых чисел , определим лакунарный ряд порядка c разложением в степенной ряд
Очевидно, поскольку есть функциональное уравнение для для любого z, удовлетворяющего дано . Также нетрудно увидеть, что для любого целого числа, имеем еще одно функциональное уравнение для дано
Для любых натуральных положительных чисел c функция лакунарного ряда имеет простой полюс в точке. Мы рассматриваем вопрос об аналитическом продолжениис другим комплексным z таким, что Как мы увидим, для любого , набор -корни из единицы налагают естественную границу на функцию . Следовательно, поскольку совокупность всех таких корней из единицы над плотно на границе единичной окружности, у нас нет возможности аналитического продолжения к комплексному z , действительные части которого больше единицы.
Доказательство этого факта обобщается стандартными аргументами для случая, когда [1] А именно для целых чисел, позволять
где обозначает открытый единичный круг в комплексной плоскости, а , т. е. есть различные комплексные числа z , лежащие на единичном круге или внутри него, такие что. Теперь ключевой частью доказательства является использование функционального уравнения для когда показать это
Таким образом, для любой дуги на границе единичной окружности существует бесконечное количество точек z внутри этой дуги, таких что. Это условие равносильно утверждению, что круг образует естественную границу для функции для любого фиксированного выбора Следовательно, для этих функций нет аналитического продолжения за пределы единичной окружности.
Теорема монодромии
Теорема монодромии дает достаточное условие для существования прямого аналитического продолжения (т. Е. Расширения аналитической функции до аналитической функции на большем множестве).
Предполагать открытое множество и е аналитическая функция D . Если G является односвязной домен , содержащий D , такой , что F имеет аналитическое продолжение вдоль любого пути в G , начиная с некоторой фиксированной точки а в D , то F имеет прямое аналитическое продолжение на G .
В приведенном выше языке это означает , что если G является односвязной областью, и S является пучком, множество базовых точек содержит G , то существует аналитическая функция F на G , чьи зародыши принадлежат S .
Теорема Адамара о разрыве
Для степенного ряда
с участием
круг сходимости - естественная граница. Такой степенной ряд называется лакунарным . Эта теорема была существенно обобщена Ойгеном Фабри (см . Теорему Фабри о разрыве ) и Джорджем Полиа .
Теорема Поли
Позволять
- степенной ряд, то существует ε k ∈ {−1, 1} такое, что
имеет круг сходимости f вокруг z 0 как естественную границу.
Доказательство этой теоремы использует теорему Адамара о щели.
Полезная теорема: достаточное условие для аналитического продолжения к целым неположительным числам
В большинстве случаев, если существует аналитическое продолжение комплексной функции, оно задается интегральной формулой. Следующая теорема, при условии, что ее предположения выполнены, дает достаточное условие, при котором мы можем продолжить аналитическую функцию от ее точек сходящейся вдоль положительных вещественных чисел до произвольных(за исключением конечного числа полюсов). Более того, формула дает явное представление для значений продолжения неположительных целых чисел, выраженных точно через производные более высокого порядка (целые числа) исходной функции, оцененные как ноль. [2]
Гипотезы теоремы
Требуем, чтобы функция удовлетворяет следующим условиям для применения сформулированной ниже теоремы о продолжении этой функции:
(Т-1). Функция должна иметь непрерывные производные всех порядков, т. Е.. Другими словами, для любых целых чисел, интегральный порядок производная должен существовать, быть непрерывным на , и сам быть дифференцируемым , так что все производные высшего порядка F являются гладкими функциями x на положительных действительных числах;
(Т-2). Мы требуем, чтобы функция F является быстро убывающей в том , что для всех мы получаем предельное поведение, что когда t становится неограниченным, стремящимся к бесконечности;
(Т-3). Преобразование Меллина (обратное гамма-масштабирование) для F существует для всех комплексных s таких, что за исключением (или для всех s с положительными действительными частями, кроме, возможно, конечного числа исключительных полюсов):
Заключение теоремы
Пусть F - любая функция, определенная на положительных числах, которая удовлетворяет всем условиям (T1) - (T3) выше. Тогда интегральное представление масштабированного преобразования Меллина функции F в точке s , обозначаемое как, имеет мероморфное продолжение на комплексную плоскость. Более того, у нас есть это для любого неотрицательного, продолжение F в точку дается явно формулой
Примеры
Пример I. Связь дзета-функции Римана с числами Бернулли.
Мы можем применить теорему к функции
что соответствует экспоненциальной производящей функции из чисел Бернулли ,. Для, мы можем выразить , поскольку мы можем вычислить, что следующая интегральная формула для обратных степеней целых чисел выполняется для s в этом диапазоне:
Теперь, поскольку подынтегральная функция последнего уравнения является равномерно непрерывной функцией t для каждого натурального числа n , у нас есть интегральное представление для в любое время дано
Когда мы выполняем интегрирование по частям в Меллин интеграл для этого, мы также получаем соотношение, что
Более того, поскольку для любой фиксированной целочисленной полиномиальной степени t выполняется условие теоремы, которое требует, чтобы. Стандартное применение теоремы Тейлора к обычной производящей функции из чисел Бернулли показывает , что. В частности, согласно сделанному выше наблюдению сдвиг, И эти замечания, мы можем вычислить значения так называемых тривиальных нулей в дзета - функции Римана (для) и рациональнозначные отрицательные нечетные целочисленные константы порядка, , в соответствии с формулой
Пример II: интерпретация F как сумматорной функции для некоторой арифметической последовательности
Предположим, что F - гладкая, достаточно убывающая функция на положительных числах, удовлетворяющая дополнительному условию, что
В применении к теории чисел контекстов, мы рассмотрим такие F быть функцией Сумматорной из арифметической функции F ,
где мы берем а простое обозначение предыдущей суммы соответствует стандартным соглашениям, используемым для формулировки теоремы Перрона :
Нас интересует аналитическое продолжение ФРГ функции f или, что эквивалентно, ряда Дирихле по f в точке s ,
Обычно у нас есть конкретное значение абсцисс сходимости ,, определенная таким образом, что абсолютно сходится для всех комплексных s, удовлетворяющих, и где предполагается, что имеет полюс в так что исходный ряд Дирихле для расходится для всех s, таких что. Известно, что существует связь между преобразованием Меллина сумматорной функции любого f и продолжением его DGF на формы:
То есть при условии имеет продолжение на комплексную плоскость слева от начала координат, мы можем выразить сумматорную функцию любого f с помощью обратного преобразования Меллина DGF функции f, продолженной до s с вещественными частями, меньшими нуля, как: [3]
Мы можем сформировать DGF или производящую функцию Дирихле любого заданного f с нашей гладкой целевой функцией F , выполнив суммирование по частям как
где является преобразование Лапласа-Бореля из F , что если
соответствует экспоненциальной производящей функции некоторой последовательности, пронумерованной(как предписано разложением F в ряд Тейлора около нуля), то
- его обычная производящая функция по последовательности, коэффициенты которой нумеруются .
Отсюда следует, что если мы напишем
попеременно интерпретируются как знаковый вариантом биномиального преобразования из F , то мы можем выразить DGF как следующее преобразование Меллина в:
Наконец, поскольку гамма-функция имеет мероморфное продолжение на, для всех у нас есть аналитическое продолжение DGF для f at -s вида
где формула для для целых неотрицательных чисел n задается согласно формуле теоремы как
Более того, при условии, что арифметическая функция f удовлетворяет так что его обратная функция Дирихле существует, DGF продолжается до любого, то есть любой комплекс s, за исключением s, в так называемой критической полосе между вертикальными линиями, определяемой f или зависящей от приложения f., а значение этой обратной функции DGF при дается [4]
Чтобы продолжить DGF обратной функции Дирихле до s внутри этой f- определенной критической полосы , мы должны потребовать некоторого знания функционального уравнения для DGF,, что позволяет нам связать s так , чтобы ряд Дирихле, который изначально определяет эту функцию, абсолютно сходился к значениям s внутри этой полосы - по сути, формула, обеспечивающая, чтонеобходимо определить DGF в этой полосе. [5]
Смотрите также
Звезда Mittag-Leffler
Голоморфное функциональное исчисление
Рекомендации
^ См. Пример настранице MathWorld для естественной границы .
^ См. СтатьюПьера Колмеса «Кольца Фонтена и p-адические L-функции» по этой ссылке (PDF-файл с примечаниями к курсу от 2004 г.).
^ Фактически, гораздо больше можно сказать о свойствах таких отношений между продолжениями DGF и суммирующей функцией любой арифметической f - и, для краткого списка и компендиума идентичностей, см. Рабочую страницу песочницы в Dirichlet инверсия серии . Некоторые интересные пары отношений инверсии сумматорной функции к DGF, которые возникают в нестандартных приложениях, включают:, где - функция Мертенса или сумматорная функция функции Мебиуса ,- простая дзета-функция , а- функция счета простых чисел Римана .
^ Одно наблюдение о томкак примиритькак значения этого аналитически продолжается DGF совпадают счто мы знаем интеграла Меллина функции сумматорной от е , мы видимчто мы должны иметьчто
^ Отмечено, что эта конструкция похожа на известное функциональное уравнение для дзета-функции Римана, которое связывает для к ценностям для в классической критической полосе, где мы можем найти все нетривиальные нули этой дзета-функции .
Ларс Альфорс (1979). Комплексный анализ (3-е изд.). Макгроу-Хилл. С. 172, 284.