В математике , особенно в алгебраической геометрии , комплексном анализе и теории алгебраических чисел , абелево многообразие — это проективное алгебраическое многообразие , которое также является алгебраической группой , т. е. имеет групповой закон , который может быть определен регулярными функциями . Абелевы многообразия одновременно являются одними из наиболее изучаемых объектов алгебраической геометрии и незаменимыми инструментами для многих исследований по другим темам алгебраической геометрии и теории чисел.
Абелево многообразие может быть определено уравнениями, имеющими коэффициенты в любом поле ; тогда говорят, что многообразие определено над этим полем. Исторически первыми изучаемыми абелевыми многообразиями были те, которые определялись в поле комплексных чисел . Такие абелевы многообразия оказываются именно теми комплексными торами , которые можно голоморфно вложить в комплексное проективное пространство .
Абелевы многообразия, определенные над полями алгебраических чисел, представляют собой частный случай, важный и с точки зрения теории чисел. Методы локализации естественным образом ведут от абелевых многообразий, определенных над числовыми полями, к многообразиям, определенным над конечными полями и различными локальными полями . Поскольку числовое поле является дробным полем домена Дедекинда , для любого ненулевого простого числа вашего домена Дедекинда, существует отображение области Дедекинда в фактор области Дедекинда по простому числу, которое является конечным полем для всех конечных простых чисел. Это вызывает отображение поля дроби в любое такое конечное поле. Учитывая кривую с уравнением, определенным над числовым полем, мы можем применить это отображение к коэффициентам, чтобы получить кривую, определенную над некоторым конечным полем, где выбор конечного поля соответствует конечным простым числам числового поля.
Абелевы многообразия естественным образом появляются как многообразия Якобиана (компоненты связности нуля в многообразиях Пикара ) и многообразия Альбанезе других алгебраических многообразий. Групповой закон абелева многообразия обязательно коммутативен , а многообразие неособо . Эллиптическая кривая — это абелево многообразие размерности 1. Абелевы многообразия имеют размерность Кодаиры 0.
В начале XIX века теории эллиптических функций удалось дать основу теории эллиптических интегралов , и это открыло очевидный путь для исследований. Стандартные формы эллиптических интегралов включали квадратные корни из кубических и четвертых полиномов . Что произойдет , если их заменить полиномами более высокой степени, скажем , квинтиками ?
В работе Нильса Абеля и Карла Якоби ответ был сформулирован: здесь будут задействованы функции двух комплексных переменных , имеющие четыре независимых периода (т.е. векторы периодов). Это дало первое представление об абелевом многообразии размерности 2 ( абелевой поверхности ): то, что теперь будет называться якобианом гиперэллиптической кривой рода 2 .