Сорт Альбанезе

В математике , то многообразие Альбанеза , названное по имени Джакомо Albanese , является обобщением многообразия Якоби кривым. ${\ Displaystyle A (V)}$

Точное заявление [ править ]

Разнообразие Альбанезе - это абелево многообразие, порожденное разнообразием, принимающим заданную точку в тождество . Другими словами, существует морфизм из многообразия в его многообразие Альбанезе , такой, что любой морфизм из многообразия в абелево (переводящий данную точку в тождество) однозначно пропускается через . Для комплексных многообразий Андре Бланшар ( 1956 ) определил многообразие Альбанезе аналогичным образом, как морфизм из в тор, такой, что любой морфизм тора однозначно факторизуется через это отображение. (В данном случае это аналитическое многообразие; оно не обязательно должно быть алгебраическим.) ${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle V}$ ${\ displaystyle V}$ ${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle V}$ ${\ displaystyle \ operatorname {Alb} (V)}$ ${\ displaystyle V}$ ${\ displaystyle \ operatorname {Alb} (V)}$ ${\ displaystyle V}$ ${\ displaystyle \ operatorname {Alb} (V)}$

Свойства [ править ]

Для компактных кэлеровых многообразий размерностью многообразия Альбанезе является число Ходжа , размерность пространства дифференциалов первого рода на , которое для поверхностей называется неправильностью поверхности . С точкой зрения дифференциальных форм , любая голоморфной 1-форма на это откат переводческой-инвариантной 1-формы на многообразии Альбанеза, исходя из голоморфного кокасательного пространства из на его единичном элементе. Так же , как и для случая кривой, по выбору базовой точки на (от которой «интегрировать»), в Albanese морфизма ${\ displaystyle h ^ {1,0}}$ ${\ displaystyle V}$ ${\ displaystyle V}$ ${\ displaystyle \ operatorname {Alb} (V)}$ ${\ displaystyle V}$

{\ displaystyle V \ to \ operatorname {Alb} (V)}

определяется, по которому 1-формы отступают. Этот морфизм уникален до перевода на разновидность Альбанезе. Для многообразий над полями положительной характеристики размерность многообразия Альбанезе может быть меньше чисел Ходжа и (которые не обязательно должны быть равными). Чтобы увидеть первое, обратите внимание, что многообразие Альбанезе двойственно многообразию Пикара , касательное пространство которого в тождестве дается формулой Это результат Дзюн-ичи Игуса в библиографии. ${\ displaystyle h ^ {1,0}}$ ${\ displaystyle h ^ {0,1}}$ ${\ displaystyle H ^ {1} (X, O_ {X}).}$ ${\ displaystyle \ dim \ operatorname {Alb} (X) \ leq h ^ {1,0}}$

Теорема Ройтмана [ править ]

Если основное поле к является алгебраически замкнутыми , Альбанез карта может быть показана , что фактор по групповому гомоморфизму (также называемый Албаниз картой ) ${\ displaystyle V \ to \ operatorname {Alb} (V)}$

{\ Displaystyle CH_ {0} (V) \ to \ operatorname {Alb} (V) (k)}

из группы Chow из 0-мерных циклов на V к группе рациональных точек зрения , которая является абелевой группой , так как это абелево многообразие. ${\ displaystyle \ operatorname {Alb} (V)}$ ${\ displaystyle \ operatorname {Alb} (V)}$

Теорема Ройтмана , введенная А. А. Ройтманом ( 1980 ), утверждает, что для l, простого с char ( k ), отображение Альбанезе индуцирует изоморфизм на l -крученных подгруппах. ^[1]^[2] Замена группы Чоу алгебраическими сингулярными гомологиями Суслина – Воеводского после введения мотивационных когомологий Теорема Ройтмана была получена и переформулирована в рамках мотивации. Например, аналогичный результат верен для неособых квазипроективных многообразий. ^[3] Для нормальных схем доступны другие версии теоремы Ройтмана . ^[4] Собственно, самые общие формулировкиТеорема Ройтмана (т.е. гомологическая, когомологическая и Борель-Мур ) включает мотивный комплекс Альбанезе и была доказана Лукой Барбьери-Виале и Бруно Каном (см. Ссылки III.13). ${\ displaystyle \ operatorname {LAlb} (V)}$

Связь с разновидностью Пикар [ править ]

Албаниз сорт двойной к многообразию Пикара (на компоненту связности от нуля схемы Пикара классифицируя обратимые пучки на V ):

{\ displaystyle \ operatorname {Alb} V = (\ operatorname {Pic} _ {0} V) ^ {\ vee}.}

Для алгебраических кривых из теоремы Абеля – Якоби следует, что многообразия Альбанезе и Пикара изоморфны.

См. Также [ править ]

Промежуточный якобиан
Схема Альбанезе
Мотивик Альбанезе

Примечания и ссылки [ править ]

^ Rojtman, А. (1980). «Кручение группы 0-циклов по модулю рациональной эквивалентности». Анналы математики . Вторая серия. 111 (3): 553–569. DOI : 10.2307 / 1971109 . ISSN 0003-486X . JSTOR 1971109 . Руководство по ремонту 0577137 .
^ Блох, Спенсер (1979). «Алгебраические циклы кручения и теорема Ройтмана» . Compositio Mathematica . 39 (1). Руководство по ремонту 0539002 .
^ Spieß, Майкл; Самуэли, Тамаш (2003). «Об отображении Альбанезе для гладких квазипроективных многообразий». Mathematische Annalen . 325 : 1–17. arXiv : math / 0009017 . DOI : 10.1007 / s00208-002-0359-8 .
^ Гейссер, Томас (2015). «Теорема Ройтмана для нормальных схем». Письма о математических исследованиях . 22 (4): 1129–1144. arXiv : 1402,1831 . DOI : 10.4310 / MRL.2015.v22.n4.a8 .

Барбьери-Виале, Лука; Кан, Бруно (2016), О производной категории 1-мотивов , Astérisque, 381 , SMF, arXiv : 1009.1900 , ISBN 978-2-85629-818-3, ISSN 0303-1179 , MR 3545132
Blanchard, Андре (1956), "Суры ль Варьетэ analytiques комплексы", Анналы Научный де l'Эколь Нормаль , Серия 3, 73 (2): 157-202, DOI : 10,24033 / asens.1045 , ISSN 0012-9593 , М.Р. 0087184
Гриффитс, Филипп ; Харрис, Джо (1994). Основы алгебраической геометрии . Библиотека Wiley Classics. Wiley Interscience. с. 331, 552. ISBN 978-0-471-05059-9.
Игуса, Дзюн-ичи (1955). «Фундаментальное неравенство в теории многообразий Пикара» . Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки . 41 (5): 317–20. Bibcode : 1955PNAS ... 41..317I . DOI : 10.1073 / pnas.41.5.317 . PMC 528086 . PMID 16589672 .
Паршин, Алексей Н. (2001) [1994], "Albanese_variety" , Энциклопедия математики , EMS Press

[1] Rojtman, А. (1980). «Кручение группы 0-циклов по модулю рациональной эквивалентности». Анналы математики . Вторая серия. 111 (3): 553–569. DOI : 10.2307 / 1971109 . ISSN 0003-486X . JSTOR 1971109 . Руководство по ремонту 0577137 .

[2] Блох, Спенсер (1979). «Алгебраические циклы кручения и теорема Ройтмана» . Compositio Mathematica . 39 (1). Руководство по ремонту 0539002 .

[3] Spieß, Майкл; Самуэли, Тамаш (2003). «Об отображении Альбанезе для гладких квазипроективных многообразий». Mathematische Annalen . 325 : 1–17. arXiv : math / 0009017 . DOI : 10.1007 / s00208-002-0359-8 .

[4] Гейссер, Томас (2015). «Теорема Ройтмана для нормальных схем». Письма о математических исследованиях . 22 (4): 1129–1144. arXiv : 1402,1831 . DOI : 10.4310 / MRL.2015.v22.n4.a8 .

[1]