Неровность поверхности

В математике неровность из комплексной поверхности X представляет собой число Ходж , обычно обозначается через д. ^[1] Неправильность алгебраической поверхности иногда определяется как это число Ходжа, а иногда определяется как размерность многообразия Пикара , которое то же самое в характеристике 0, но может быть меньше в положительной характеристике. ^[2]${\ displaystyle h ^ {0,1} = \ dim H ^ {1} ({\ mathcal {O}} _ {X})}$

Название «нерегулярность» происходит от того факта, что для первых детально исследованных поверхностей, гладких сложных поверхностей в P ³ , неоднородность исчезает. Неправильность затем появились в качестве нового «коррекции» срока измерения разности из геометрического рода и арифметического рода более сложных поверхностей. Поверхности иногда называют регулярными или неровными, в зависимости от того, исчезла ли неровность.${\ displaystyle p_ {g} -p_ {a}}$

Для комплексного аналитического многообразия X общей размерности число Ходжа называется неправильностью и обозначается q .${\ displaystyle h ^ {0,1} = \ dim H ^ {1} ({\ mathcal {O}} _ {X})}$${\ displaystyle X}$

Сложные поверхности [ править ]

Для неособых комплексных проективных (или кэлеровых ) поверхностей все следующие числа равны:

• Неравномерность;
• Размер сорта Альбанезе ;
• Размерность разновидности Пикара ;
• Число Ходжа ;${\ displaystyle h ^ {0,1} = \ dim H ^ {1} (\ Omega _ {X} ^ {0})}$
• Число Ходжа ;${\ displaystyle h ^ {1,0} = \ dim H ^ {0} (\ Omega _ {X} ^ {1})}$
• Разница из геометрического рода и арифметического рода .${\ displaystyle p_ {g} -p_ {a}}$

Для поверхностей с положительной характеристикой или для некэлеровых комплексных поверхностей не обязательно, чтобы все числа были равны.

Анри Пуанкаре доказал, что для комплексных проективных поверхностей размерность многообразия Пикара равна числу Ходжа h ^0,1 , и то же самое верно для всех компактных кэлеровых поверхностей. Неправильность гладких компактных кэлеровых поверхностей инвариантна относительно бимероморфных преобразований. ^[3]

Для общих компактных комплексных поверхностей два числа Ходжа h ^1,0 и h ^0,1 не должны быть равны, но h ^0,1 равно h ^1,0 или h ^1,0 +1 и равно h ^1,0. для компактных кэлеровых поверхностей .

Положительная характеристика [ править ]

Над полями положительной характеристики связь между q (определяемым как размерность многообразия Пикара или Альбанезе) и числами Ходжа h ^0,1 и h ^1,0 более сложна, и любые два из них могут быть разными.

Существует каноническое отображение поверхности F в ее многообразие Альбанезе A, которое индуцирует гомоморфизм кокасательного пространства многообразия Альбанезе (размерности q ) в H ^1,0 ( F ). ^[4] Дзюнъить Игус обнаружил , что это инъективно, так что , но вскоре после того, нашел поверхность в характеристике 2 с и Picard разнообразием размерности 1, так что д может быть строго меньше обоего чисел Ходжи. ^[4] В положительной характеристике ни одно число Ходжа не всегда ограничено другим. Серр показал, что это возможно для h ^1,0${\ displaystyle q \ leq h ^ {1,0}}$${\ displaystyle h ^ {1,0} = h ^ {0,1} = 2}$обращается в нуль, пока h ^0,1 положительно, в то время как Мамфорд показал, что для поверхностей Энриквеса в характеристике 2 возможно, что h ^0,1 обращается в нуль, а h ^1,0 положительно. ^{[5] [6]}

Александр Гротендик дал полное описание отношения q к во всех характеристиках. Размерность касательного пространства к схеме Пикара (в любой точке) равна . ^[7] В характеристике 0 результат Пьера Картье показал, что все схемы групп конечного типа неособы, поэтому размерность их касательного пространства является их размерностью. С другой стороны, в положительной характеристике групповая схема может быть нередуцированной в каждой точке, так что размерность будет меньше размерности любого касательного пространства, что и происходит в примере Игусы. Мамфорд показывает, что касательное пространство к многообразию Пикара - это подпространство в H ^0,1, аннулируемое всеми${\ displaystyle h ^ {0,1}}$${\ displaystyle h ^ {0,1}}$Операции Бокштейна от H ^0,1 до H ^0,2 , поэтому иррегулярность q равна h ^0,1 тогда и только тогда, когда все эти операции Бокштейна обращаются в нуль. ^[6]

Ссылки [ править ]