Поверхность Энриквеса

В математике , поверхности Энриквеса являются алгебраическими поверхностями таким образом, что нерегулярность д = 0 и канонические линейное расслоением K является нетривиальным , но имеет тривиальное квадрат. Энриквеса поверхности все проективные (и , следовательно , Kähler над комплексными числами ) и эллиптические поверхности из рода 0. Более поло с характеристикой не 2 они факторгруппы К3 поверхностью с помощью группы из порядка 2 действующихбез неподвижных точек, и их теория аналогична теории алгебраических K3 поверхностей. Поверхности Энриквеса были впервые подробно изучены Энриквесом  ( 1896 г. ) как ответ на вопрос, обсужденный Кастельнуово (1895 г.) о том, обязательно ли рациональна поверхность с q = p _g = 0, хотя некоторые из сравнений Рея, введенные ранее Рейе  ( 1882 ) также являются примерами поверхностей Энриквеса.

Поверхности Энриквеса также можно определять поверх других полей. В отношении полей характеристики, отличной от 2, Артин (1960) показал, что теория аналогична теории комплексных чисел. Для полей характеристики 2 определение модифицируется, и появляются два новых семейства, называемые сингулярными и суперсингулярными поверхностями Энриквеса, описанные Бомбьери и Мамфордом (1976) . Эти два дополнительных семейства связаны с двумя недискретными алгебраическими групповыми схемами порядка 2 в характеристике 2.

Инварианты сложных поверхностей Энриквеса [ править ]

Plurigenera Р _п равны 1 , если п четно и 0 , если п нечетно. Фундаментальная группа имеет порядок 2. вторая группа когомологий Н ² ( Х , Z ) является изоморфна суммой уникального даже унимодулярная решетка II , _1,9 размерности 10 и подписи -8 и групп порядка 2.

Алмаз Ходжа:

Помеченные поверхности Энриквеса образуют связное 10-мерное семейство, которое, как показал Кондо (1994), является рациональным.

Характеристика 2 [ править ]

В характеристике 2 существует некоторые новые семейства Энриквеса поверхностей, иногда называемые квази Энриквес или неклассический Энриквес поверхности или (супер) сингулярный Энриквес поверхности . (Термин «особая» не означает, что поверхность имеет особенности, но означает, что поверхность в некотором роде «особенная».) В характеристике 2 определение поверхностей Энриквеса изменено: они определены как минимальные поверхности, канонический класс которых K численно эквивалентен 0, а второе число Бетти равно 10. (В характеристиках, отличных от 2, это эквивалентно обычному определению.) Теперь существует 3 семейства поверхностей Энриквеса:

• Классическая: тусклый (Н ¹ (О)) = 0. Это означает , 2 K = 0 , а K не равен нулю, а Pic ^τ является Z / 2 Z . Поверхность является фактором приведенной сингулярной горенштейновой поверхности по групповой схеме μ ₂ .
• Сингулярность: dim (H ¹ (O)) = 1 и действует нетривиально с помощью эндоморфизма Фробениуса. Отсюда K = 0 и Pic ^τ равно μ ₂ . Поверхность является фактором поверхности K3 по групповой схеме Z / 2Z.
• Суперсингулярность: dim (H ¹ (O)) = 1 и действует тривиально эндоморфизмом Фробениуса. Отсюда K = 0 и Pic ^τ равно α ₂ . Поверхность является фактором приведенной сингулярной горенштейновой поверхности по групповой схеме α ₂ .

Все поверхности Энриквеса эллиптические или квазиэллиптические.

Примеры [ править ]

• Конгруэнция Рея - это семейство прямых, содержащихся по крайней мере в 2 квадриках данной трехмерной линейной системы квадрик в P ³ . Если линейная система является общей, то сравнение Рей является поверхностью Энриквеса. Они были обнаружены Рейе (1882) и могут быть самыми ранними примерами поверхностей Энриквеса.
• Возьмем поверхность степени 6 в трехмерном проективном пространстве с двойными линиями по краям тетраэдра , например

${\displaystyle w^{2}x^{2}y^{2}+w^{2}x^{2}z^{2}+w^{2}y^{2}z^{2}+x^{2}y^{2}z^{2}+wxyzQ(w,x,y,z)=0}$

для некоторого общего однородного многочлена Q степени 2. Тогда его нормализация является поверхностью Энриквеса. Это семейство примеров, найденных Энрикесом (1896 г.) .

• Фактор поверхности K3 по инволюции без неподвижных точек является поверхностью Энриквеса, и все поверхности Энриквеса с характеристикой, отличной от 2, могут быть построены таким образом. Например, если S - поверхность K3 w ⁴ + x ⁴ + y ⁴ + z ⁴ = 0, а T - автоморфизм четвертого порядка, переводящий ( w , x , y , z ) в ( w , ix , - y , - iz ), то T ²имеет две неподвижные точки. Раздутие этих двух точек и факторизация по T ² дает поверхность K3 с инволюцией T без неподвижных точек , а ее частное по T является поверхностью Энриквеса. Альтернативно поверхность Энриквеса может быть построена путем факторизации исходной поверхности по автоморфизму T порядка 4 и разрешения двух особых точек факторизации. Другой пример - это пересечение трех квадрик вида P _i ( u , v , w ) + Q _i ( x , y , z) = 0 и деление на инволюцию, переводящую ( u : v : w : x : y : z ) в (- x : - y : - z : u : v : w ). Для квадрик общего положения эта инволюция является инволюцией без неподвижных точек поверхности K3, поэтому фактор-поверхность является поверхностью Энриквеса.

См. Также [ править ]

• Список алгебраических поверхностей
• Классификация Энрикеса-Кодаира

Ссылки [ править ]

• Артин, Майкл (1960), На поверхностях Энриквеса , докторская диссертация, Гарвард
• Компактные сложные поверхности Вольф П. Барт, Клаус Хьюлек, Крис А. М. Петерс, Антониус Ван де Вен ISBN 3-540-00832-2 Это стандартный справочник для компактных сложных поверхностей. 
• Бомбьери, Энрико ; Мамфорд, Дэвид (1976), "Классификация поверхностей Энриквесом в диаграмме стр. III". (PDF) , Inventiones Mathematicae , 35 (1): 197-232, DOI : 10.1007 / BF01390138 , ISSN  0020-9910 , МР  0491720
• Кастельнуово, Г. (1895), "Sulle superficie di genere zero", Mem. delle Soc. Ital. delle Scienze, сер. III , 10 : 103–123
• Cossec, François R .; Долгачев, Игорь В. (1989), Поверхности Энриквеса. I , Прогресс математики, 76 , Бостон: Birkhäuser Boston, ISBN 978-0-8176-3417-9, Руководство по ремонту  0986969
• Долгачев, Игорь В. (2016), Краткое введение в поверхности Энриквеса (PDF)
• Энрикес, Федериго (1896 г.), "Введение в геометрию сопра le superficie algebriche.", Mem. Soc. Ital. делле Scienze , 10 : 1–81
• Энрикес, Федериго (1949), Le Superficie Algebriche , Никола Заничелли, Болонья, MR  0031770^{[ постоянная мертвая ссылка ]}
• Кондо, Шигеюки (1994), "Рациональность пространства модулей поверхностей Энриквеса", Compositio Mathematica , 91 (2): 159–173
• Рей, Т. (1882), Die Geometrie der Lage , Лейпциг