Классификация Энрикеса-Кодаира

В математике , то классификация Энрикес-Кодаиры- является классификация компактных сложных поверхностей на десять классов. Для каждого из этих классов поверхности в классе могут быть параметризованы пространством модулей . Для большинства классов пространства модулей хорошо изучены, но для класса поверхностей общего типа пространства модулей кажутся слишком сложными для явного описания, хотя некоторые компоненты известны.

Макс Нётер начал систематическое изучение алгебраических поверхностей, а Гвидо Кастельнуово доказал важные части классификации. Федериго Энрикес  ( 1914 , 1949 ) описал классификацию сложных проективных поверхностей. Кунихико Кодаира  ( 1964 , 1966 , 1968 , 1968b ) позже расширил классификацию, включив в нее неалгебраические компактные поверхности. Аналогичная классификация поверхностей с положительной характеристикой была начата Дэвидом Мамфордом  ( 1969 ) и завершена Энрико Бомбьери и Дэвидом Мамфордом ( 1976)., 1977 ); он аналогичен проективному случаю характеристики 0, за исключением того, что здесь также появляются особые и суперсингулярные поверхности Энриквеса в характеристике 2 и квазигиперэллиптические поверхности в характеристиках 2 и 3.

Заявление о классификации [ править ]

Числа Черна минимальных комплексных поверхностей

Классификация компактных комплексных поверхностей Энриквеса – Кодаиры утверждает, что каждая невырожденная минимальная компактная комплексная поверхность относится к одному из 10 типов, перечисленных на этой странице; другими словами, это одна из рациональных, линейчатых (род> 0), типа VII, K3, поверхностей Энриквеса, Кодаира, торических, гиперэллиптических, собственно квазиэллиптических или поверхностей общего типа.

Для 9 классов поверхностей, отличных от общего типа, существует довольно полное описание того, как выглядят все поверхности (что для класса VII зависит от гипотезы о глобальной сферической оболочке , которая еще не была доказана в 2009 г.). Для поверхностей общего типа об их явной классификации известно немного, хотя найдено множество примеров.

Классификация алгебраических поверхностей в положительной характеристике ( Mumford 1969 , Mumford & Bombieri  1976 , 1977 ) аналогична классификации алгебраических поверхностей в характеристике 0, за исключением того, что здесь нет поверхностей Кодаира или поверхностей типа VII, и есть некоторые дополнительные семейства Поверхности Энриквеса в характеристике 2 и гиперэллиптические поверхности в характеристиках 2 и 3, а в размерности Кодаира 1 в характеристиках 2 и 3 также допускаются квазиэллиптические расслоения. Эти дополнительные семейства можно понимать следующим образом: в характеристике 0 эти поверхности являются факторами поверхностей по конечным группам, но в конечных характеристиках также можно брать факторы по конечным групповым схемам , которые не являются этальными .

Оскар Зариски построил несколько поверхностей с положительной характеристикой, которые являются унирациональными, но не рациональными, на основе неразделимых расширений ( поверхностей Зарисского ). В положительной характеристике Серр показал, что может отличаться от , а Игуса показал, что даже когда они равны, они могут быть больше, чем неправильность (размерность разновидности Пикара ).${\ displaystyle h ^ {0} (\ Omega)}$${\ Displaystyle ч ^ {1} ({\ mathcal {O}})}$

Инварианты поверхностей [ править ]

Числа Ходжа и измерение Кодаира [ править ]

Наиболее важные инварианты компактных комплексных поверхностей, используемые в классификации, могут быть заданы в терминах размерностей различных групп когерентных пучков когомологий . Основными из них являются числа plurigenera и числа Ходжа, определяемые следующим образом:

• K - каноническое линейное расслоение , сечения которого являются голоморфными 2-формами.

• ${\displaystyle P_{n}=\dim H^{0}(K^{n}),n\geqslant 1}$называются плюригенами . Они являются бирациональными инвариантами, т. Е. Инвариантными относительно раздува. Используя теорию Зайберга – Виттена , Роберт Фридман и Джон Морган показали, что для комплексных многообразий они зависят только от лежащего в основе ориентированного гладкого 4-многообразия. Для не-кэлеровых поверхностей плюрироды определяются фундаментальной группой, но для кэлеровых поверхностей есть примеры поверхностей, которые являются гомеоморфными, но имеют разные плюрироды и размерности Кодаира. Отдельные плюригены используются нечасто; Самое главное в них - это скорость их роста, измеренная с помощью измерения Кодаира .

• ${\displaystyle \kappa }$- размерность Кодаира : это (иногда пишется -1), если все плюрироды равны 0, и в противном случае это наименьшее число (0, 1 или 2 для поверхностей), такое что ограничено. Энрикес не использовал это определение: вместо этого он использовал значения и . Они определяют измерение Кодаира при следующем соответствии:${\displaystyle -\infty }$${\displaystyle P_{n}/n^{\kappa }}$${\displaystyle P_{12}}$${\displaystyle K\cdot K=c_{1}^{2}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\kappa =-\infty &\longleftrightarrow P_{12}=0\\\kappa =0&\longleftrightarrow P_{12}=1\\\kappa =1&\longleftrightarrow P_{12}>1{\text{ and }}K\cdot K=0\\\kappa =2&\longleftrightarrow P_{12}>1{\text{ and }}K\cdot K>0\\\end{aligned}}}$

• ${\displaystyle h^{i,j}=\dim H^{j}(X,\Omega ^{i}),}$где - пучок голоморфных i -форм, - числа Ходжа , часто расположенные в ромбе Ходжа:${\displaystyle \Omega ^{i}}$

${\displaystyle {\begin{matrix}&&h^{0,0}&&\\&h^{1,0}&&h^{0,1}&\\h^{2,0}&&h^{1,1}&&h^{0,2}\\&h^{2,1}&&h^{1,2}&\\&&h^{2,2}&&\\\end{matrix}}}$

По двойственности Серра и числа Ходжа комплексной поверхности зависят только от ориентированного вещественного кольца когомологий поверхности и инвариантны относительно бирациональных преобразований, за исключением того, что возрастает на 1 при раздутии единственной точки.${\displaystyle h^{i,j}=h^{2-i,2-j}}$${\displaystyle h^{0,0}=h^{2,2}=1.}$${\displaystyle h^{1,1}}$

• Если поверхность кэлерова, то существует только три независимых числа Ходжа.${\displaystyle h^{i,j}=h^{j,i}}$
• Если поверхность компактная, то равна или${\displaystyle h^{1,0}}$${\displaystyle h^{0,1}}$${\displaystyle h^{0,1}-1.}$

Инварианты, связанные с числами Ходжа [ править ]

Есть много инвариантов, которые (по крайней мере, для сложных поверхностей) могут быть записаны как линейные комбинации чисел Ходжа следующим образом:

• Числа Бетти : определяется${\displaystyle b_{i}=\dim H^{i}(S),0\leqslant i\leqslant 4.}$

${\displaystyle {\begin{cases}b_{0}=b_{4}=1\\b_{1}=b_{3}=h^{1,0}+h^{0,1}=h^{2,1}+h^{1,2}\\b_{2}=h^{2,0}+h^{1,1}+h^{0,2}\end{cases}}}$

В характеристике p  > 0 числа Бетти определены с помощью l-адических когомологий и могут не удовлетворять этим соотношениям.

• Эйлерова характеристика или число Эйлера :

${\displaystyle e=b_{0}-b_{1}+b_{2}-b_{3}+b_{4}.}$

• Неравномерность определяется как размерность многообразия Пикара и многообразие Альбанезе и обозначается через д . Для сложных поверхностей (но не всегда для поверхностей с простой характеристикой)

${\displaystyle q=h^{0,1}.}$

• В геометрических родах :

${\displaystyle p_{g}=h^{0,2}=h^{2,0}=P_{1}.}$

• В арифметическом роде :

${\displaystyle p_{a}=p_{g}-q=h^{0,2}-h^{0,1}.}$

• Голоморфная эйлерова характеристика тривиального расслоения ( как правило , отличается от числа Эйлера е определено выше):

${\displaystyle \chi =p_{g}-q+1=h^{0,2}-h^{0,1}+1.}$

По формуле Нётер он также равен роду Тодда ${\displaystyle {\tfrac {1}{12}}(c_{1}^{2}+c_{2}).}$

• Подпись второй группы когомологий для сложных поверхностей обозначаются :${\displaystyle \tau }$

${\displaystyle \tau =4\chi -e=\sum \nolimits _{i,j}(-1)^{j}h^{i,j}.}$

• ${\displaystyle b^{\pm }}$являются размерностями максимальных положительно и отрицательно определенных подпространств so:${\displaystyle H^{2},}$

${\displaystyle {\begin{cases}b^{+}+b^{-}=b_{2}\\b^{+}-b^{-}=\tau \end{cases}}}$

• c ₂ = e и - числа Черна , определенные как интегралы от различных многочленов в классах Черна над многообразием.${\displaystyle c_{1}^{2}=K^{2}=12\chi -e}$

Другие инварианты [ править ]

Есть и другие инварианты компактных комплексных поверхностей, которые не так часто используются в классификации. К ним относятся алгебраические инварианты, такие как группа Пикара Pic ( X ) дивизоров по модулю линейной эквивалентности , ее фактор -группа Нерона – Севери NS ( X ) с рангом числа Пикара ρ, топологические инварианты, такие как фундаментальная группа π ₁ и интегральные гомологии и когомологические группы и инварианты лежащий в основе гладкой 4-многообразие таких как инвариантов Зайберга-Виттена и Дональдсона инвариантов .

Минимальные модели и взрывы [ править ]

Любая поверхность бирациональна неособой поверхности, поэтому для большинства целей достаточно классификации неособых поверхностей.

Для любой точки на поверхности мы можем сформировать новую поверхность, взорвав эту точку, что примерно означает, что мы заменим ее копией проективной прямой. Для целей данной статьи неособая поверхность X называется минимальной, если она не может быть получена из другой неособой поверхности путем раздува точки. По теореме Кастельнуово о сжатии это равносильно утверждению, что X не имеет (−1) -кривых (гладких рациональных кривых с числом самопересечения −1). (В более современной терминологии программы минимальных моделей гладкая проективная поверхность X будет называться минимальной, если ее каноническое линейное расслоение K _Xявляется неф . Гладкая проективная поверхность имеет минимальную модель в этом более сильном смысле тогда и только тогда, когда ее размерность Кодаира неотрицательна.)

Каждая поверхность X бирациональна минимальной неособой поверхности, и эта минимальная неособая поверхность единственна, если X имеет размерность Кодаиры не менее 0 или не является алгебраической. Алгебраические поверхности размерности Кодаиры могут быть бирациональными по отношению к более чем одной минимальной неособой поверхности, но связь между этими минимальными поверхностями легко описать. Например, P ¹ × P ^1, взорванный в точке, изоморфен P ^2, взорван дважды. Таким образом, чтобы классифицировать все компактные комплексные поверхности с точностью до бирационального изоморфизма, достаточно (более или менее) классифицировать минимальные неособые поверхности.${\displaystyle -\infty }$

Поверхности измерения Кодаира -∞ [ править ]

Алгебраические поверхности размерности Кодаира можно классифицировать следующим образом. Если q > 0, то отображение в многообразие Альбанезе имеет слои, которые являются проективными прямыми (если поверхность минимальна), поэтому поверхность является линейчатой. Если q = 0, этот аргумент не работает, поскольку многообразие Альбанезе является точкой, но в этом случае из теоремы Кастельнуово следует, что поверхность рациональна.${\displaystyle -\infty }$

Для неалгебраических поверхностей Кодаира обнаружил дополнительный класс поверхностей, названный типом VII, который до сих пор недостаточно изучен.

Рациональные поверхности [ править ]

Рациональная поверхность означает поверхность, бирациональную комплексной проективной плоскости P ² . Все это алгебраические. Минимальные рациональные поверхности Р ² себя и Хирцебрух поверхностей Е _п для п = 0 или п ≥ 2. (Хирцебруха поверхность Σ _п является Р ¹ расслоение над P ¹ , ассоциированный с пучком O (0) + О ( п ) .Поверхность Σ ₀ изоморфна P ¹ × P ¹ , а Σ ₁ изоморфна P ² взорван в точке, поэтому не минимален.)

Инварианты: все плюрироды равны 0, а фундаментальная группа тривиальна.

Алмаз Ходжа:

		1
	0		0
0		1		0	(Проективная плоскость)
	0		0
		1

		1
	0		0
0		2		0	(Поверхности Хирцебруха)
	0		0
		1

Примеры: P ² , P ¹ × P ¹ = Σ ₀ , Хирцебрух поверхности Σ _н , квадрики , кубические поверхности , поверхности дель Пеццо , поверхность Веронезе . Многие из этих примеров не минимальны.

Линейчатые поверхности рода> 0 [ править ]

Линейчатые поверхности рода g имеют гладкий морфизм в кривую рода g , слоями которой являются прямые P ¹ . Все они алгебраические. (Поверхности рода 0 являются поверхностями Хирцебруха и являются рациональными.) Любая линейчатая поверхность бирационально эквивалентна P ¹ × C для единственной кривой C , поэтому классификация линейчатых поверхностей с точностью до бирациональной эквивалентности по существу такая же, как классификация линейчатых поверхностей. кривые. Линейчатая поверхность, не изоморфная P ¹ × P ^1, имеет единственную линейку ( P ¹ × P ¹ их две).

Инварианты: все плюрироды равны 0.

Алмаз Ходжа:

		1
	грамм		грамм
0		2		0
	грамм		грамм
		1

Примеры: произведение любой кривой рода> 0 на P ¹ .

Поверхности класса VII [ править ]

Эти поверхности никогда не бывают алгебраическими или кэлеровыми . Минимальные те , с б ₂ = 0 были классифицированы Богомоловым, и являются либо Хопфа поверхностей или Иноуэ поверхностей . Примеры с положительным второго числа Бетти включают Иноуэ-Хирцебрух поверхностей , Эноки поверхности , а в более общем Като поверхностей . Гипотеза о глобальной сферической оболочке подразумевает, что все минимальные поверхности класса VII с положительным вторым числом Бетти являются поверхностями Като, что более или менее завершает классификацию поверхностей типа VII.

Инварианты: q = 1, h ^1,0 = 0. Все плюрироды равны 0.

Алмаз Ходжа:

		1
	0		1
0		б 2		0
	1		0
		1

Поверхности Кодаира измерения 0 [ править ]

Эти поверхности классифицируются, начиная с формулы Нётер. Для измерения Кодаиры 0, K имеет нулевое число пересечения с самим собой , поэтому Использование${\displaystyle 12\chi =c_{2}+c_{1}^{2}.}$${\displaystyle c_{1}^{2}=0.}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\chi &=h^{0,0}-h^{0,1}+h^{0,2}\\c_{2}&=2-2b_{1}+b_{2}\end{aligned}}}$

мы приходим к:

${\displaystyle 10+12h^{0,2}=8h^{0,1}+2\left(2h^{0,1}-b_{1}\right)+b_{2}}$

Более того, поскольку κ = 0, имеем:

${\displaystyle h^{0,2}={\begin{cases}1&K=0\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$

объединение этого с предыдущим уравнением дает:

${\displaystyle 8h^{0,1}+2\left(2h^{0,1}-b_{1}\right)+b_{2}={\begin{cases}22&K=0\\10&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$

Как правило, 2 h ^0,1 ≥ b ₁ , поэтому три члена слева являются неотрицательными целыми числами, и есть только несколько решений этого уравнения.

• Для алгебраических поверхностей 2 h ^0,1 - b ₁ - четное целое число от 0 до 2 p _g .
• Для компактных сложных поверхностей 2 h ^0,1 - b ₁ = 0 или 1.
• Для кэлеровых поверхностей 2 h ^0,1 - b ₁ = 0 и h ^1,0 = h ^0,1 .

Большинство решений этих условий соответствуют классам поверхностей, как в следующей таблице:

Поверхности K3 [ править ]

Это минимальные компактные комплексные поверхности размерности Кодаиры 0 с q = 0 и тривиальным каноническим линейным расслоением. Все они являются кэлеровыми многообразиями . Все K3-поверхности диффеоморфны, и их класс диффеоморфизмов является важным примером гладкого спинового односвязного 4-многообразия.

Инварианты: Вторая группа когомологий H ² ( X , Z ) изоморфна единственной четной унимодулярной решетке II _3,19 размерности 22 и сигнатуры −16.

Алмаз Ходжа:

Примеры :

• Гиперповерхности степени 4 в P ³ ( C )
• Куммеровые поверхности . Они получаются факторизацией абелевой поверхности по автоморфизму a → - a , а затем раздутием 16 особых точек.

Отмеченные К3 поверхность является поверхностью К3 вместе с изоморфизмом от II _3,19 до H ² ( X , Z ). Пространство модулей помеченных K3-поверхностей является связным нехаусдорфовым гладким аналитическим пространством размерности 20. Алгебраические K3-поверхности образуют счетный набор его 19-мерных подмногообразий.

Абелевы поверхности и двумерные комплексные торы [ править ]

Двумерные комплексные торы включают абелевы поверхности . Одномерные комплексные торы - это просто эллиптические кривые, и все они алгебраические, но Риман обнаружил, что самые сложные торы размерности 2 не являются алгебраическими. Алгебраические - это в точности двумерные абелевы многообразия . Большая часть их теории - частный случай теории многомерных торов или абелевых многообразий. Критерии, которые должны быть произведением двух эллиптических кривых (с точностью до изогении ), были популярным исследованием в девятнадцатом веке.

Инварианты: все плюригены равны 1. Поверхность диффеоморфна S ¹ × S ¹ × S ¹ × S ^1, поэтому фундаментальной группой является Z ⁴ .

Алмаз Ходжа:

		1
	2		2
1		4		1
	2		2
		1

Примеры: произведение двух эллиптических кривых. Якобиан кривой рода 2. Любое факторное пространство C ² по решетке.

Поверхности Кодаира [ править ]

Они никогда не бывают алгебраическими, хотя имеют непостоянные мероморфные функции. Обычно они делятся на два подтипа: первичные поверхности Кодаира с тривиальным каноническим расслоением и вторичные поверхности Кодаира, которые являются их частными по конечным группам порядков 2, 3, 4 или 6 и которые имеют нетривиальные канонические расслоения. Вторичные поверхности Кодаира имеют такое же отношение к первичным, как поверхности Энриквеса к поверхностям K3 или биэллиптические поверхности к абелевым поверхностям.

Инварианты: если поверхность является фактором первичной поверхности Кодаиры по группе порядка k = 1, 2, 3, 4, 6, то плюрироды P _n равны 1, если n делится на k, и 0 в противном случае.

Алмаз Ходжа:

		1
	1		2
1		2		1	(Начальный)
	2		1
		1

		1
	0		1
0		0		0	(Среднее)
	1		0
		1

Примеры: возьмите нетривиальное линейное расслоение над эллиптической кривой, удалите нулевое сечение, затем разделите слои на Z, действуя как умножение на степени некоторого комплексного числа z . Это дает первичную поверхность Kodaira.

Поверхности Энриквеса [ править ]

Это такие комплексные поверхности, что q = 0 и каноническое линейное расслоение нетривиально, но имеет тривиальный квадрат. Поверхности Энриквеса все алгебраические (и, следовательно, кэлеровы ). Они являются факторами K3-поверхностей по группе порядка 2, и их теория аналогична теории алгебраических K3-поверхностей.

Инварианты: плюрироды P _n равны 1, если n четно, и 0, если n нечетно. Фундаментальная группа имеет порядок 2. Вторая группа когомологий H ² ( X , Z ) изоморфна сумме единственной четной унимодулярной решетки II _1,9 размерности 10 и сигнатуры −8 и группы порядка 2.

Алмаз Ходжа:

		1
	0		0
0		10		0
	0		0
		1

Помеченные поверхности Энриквеса образуют связное 10-мерное семейство, которое было подробно описано.

В характеристике 2 есть несколько дополнительных семейств поверхностей Энриквеса, называемых сингулярными и суперсингулярными поверхностями Энриквеса; подробности см. в статье о поверхностях Энриквеса .

Гиперэллиптические (или биэллиптические) поверхности [ править ]

По комплексным числам они являются факторами произведения двух эллиптических кривых на конечную группу автоморфизмов. Конечная группа может быть Z / 2 Z ,   Z / 2 Z  +  Z / 2 Z , Z / 3 Z ,   Z / 3 Z  +  Z / 3 Z ,   Z / 4 Z ,   Z / 4 Z  +  Z / 2 Z , или Z / 6 Z, давая семь семейств таких поверхностей. Над полями с характеристиками 2 или 3 есть несколько дополнительных семейств, полученных путем факторизации по схеме неэтальной группы; подробности см. в статье о гиперэллиптических поверхностях .

Алмаз Ходжа:

		1
	1		1
0		2		0
	1		1
		1

Поверхности Кодаира, измерение 1 [ править ]

Эллиптическая поверхность представляет собой поверхность оснащена эллиптическим расслоением (сюрьективное голоморфное отображение на кривую B таким образом, что все , кроме конечного числа волокон гладких неприводимые кривых рода 1). Общий слой такого расслоения является родом 1 кривым над полем функций B . И наоборот, если дана кривая рода 1 над функциональным полем кривой, ее относительная минимальная модель представляет собой эллиптическую поверхность. Кодаира и другие дали довольно полное описание всех эллиптических поверхностей. В частности, Кодаира дал полный список возможных особых слоев . Теория эллиптических поверхностей аналогична теории собственных регулярных моделей эллиптических кривых над кольцами дискретного нормирования (например, кольцоp -адические целые числа ) и дедекиндовы области (например, кольцо целых чисел числового поля).

В конечных характеристиках 2 и 3 можно также получить квазиэллиптические поверхности, слои которых могут почти все быть рациональными кривыми с одним узлом, которые являются «вырожденными эллиптическими кривыми».

Каждая поверхность размерности Кодаира 1 является эллиптической поверхностью (или квазиэллиптической поверхностью в характеристиках 2 или 3), но обратное неверно: эллиптическая поверхность может иметь размерность Кодаиры , 0 или 1. Все поверхности Энриквеса , все гиперэллиптические поверхности , все поверхности Кодаиры , некоторые поверхности К3 , некоторые абелевы поверхности и некоторые рациональные поверхности являются эллиптическими поверхностями, и в этих примерах размерность Кодаиры меньше 1. Эллиптическая поверхность, базовая кривая B которой имеет род не менее 2, всегда имеет размерность Кодаиры 1, но размерность Кодаиры может быть равна 1 также для некоторых эллиптических поверхностей с B${\displaystyle -\infty }$ рода 0 или 1.

Инварианты: ${\displaystyle c_{1}^{2}=0,c_{1}\geqslant 0.}$

Пример: если E - эллиптическая кривая, а B - кривая рода не менее 2, то E × B - эллиптическая поверхность размерности Кодаиры 1.

Поверхности Кодаира размерности 2 (поверхности общего типа) [ править ]

Все они алгебраические, и в некотором смысле большинство поверхностей относятся к этому классу. Гизекер показал, что существует грубая схема модулей для поверхностей общего типа; это означает, что для любых фиксированных значений чисел Черна c²
₁и c ₂ , существует квазипроективная схема, классифицирующая поверхности общего типа с этими числами Черна. Однако явное описание этих схем является очень сложной задачей, и существует очень мало пар чисел Черна, для которых это было сделано (кроме случаев, когда схема пуста!)

Инварианты: есть несколько условий, которым должны удовлетворять числа Черна минимальной комплексной поверхности общего типа:

• ${\displaystyle c_{1}^{2},c_{2}>0}$
• ${\displaystyle c_{1}^{2}\leqslant 3c_{2}}$( неравенство Богомолова – Мияока – Яу )
• ${\displaystyle 5c_{1}^{2}-c_{2}+36\geqslant 0}$ (неравенство Нётер)
• ${\displaystyle c_{1}^{2}+c_{1}\equiv 0{\bmod {1}}2.}$

Большинство пар целых чисел, удовлетворяющих этим условиям, являются числами Черна для некоторой комплексной поверхности общего типа.

Примеры: Простейшие примеры - это произведение двух кривых рода не менее 2 и гиперповерхности степени не менее 5 в P ³ . Известно большое количество других конструкций. Однако не существует известной конструкции, которая могла бы создавать «типичные» поверхности общего типа для больших чисел Черна; на самом деле даже не известно, существует ли какое-нибудь разумное понятие «типичной» поверхности общего типа. Было найдено много других примеров, включая большинство модульных поверхностей Гильберта , ложные проективные плоскости , поверхности Барлоу и так далее.

См. Также [ править ]

• Список алгебраических поверхностей

Ссылки [ править ]

• Barth, Wolf P .; Хулек, Клаус; Питерс, Крис AM; Ван де Вен, Антониус (2004), Компактные сложные поверхности , Ergebnisse der Mathematik и ихрер Гренцгебиете. 3. Folge., 4 , Springer-Verlag, Berlin, doi : 10.1007 / 978-3-642-57739-0 , ISBN 978-3-540-00832-3, MR  2030225 - стандартный справочник для компактных сложных поверхностей
• Бовиль, Арно (1996), Комплексные алгебраические поверхности , Студенческие тексты Лондонского математического общества, 34 (2-е изд.), Cambridge University Press , DOI : 10.1017 / CBO9780511623936 , ISBN 978-0-521-49510-3, Руководство по ремонту  1406314; ( ISBN 978-0-521-49842-5 в мягкой обложке) - включая более элементарное введение в классификацию 
• Бомбьери, Энрико ; Мамфорд, Дэвид (1977), "Классификация поверхностей Энриквесом в диаграмме, стр. II", Комплексный анализ и алгебраическая геометрия , Токио: Iwanami Shoten, стр. 23–42, MR  0491719
• Бомбьери, Энрико ; Мамфорд, Дэвид (1976), "Классификация поверхностей Энриквесом в диаграмме стр. III". (PDF) , Inventiones Mathematicae , 35 : 197-232, Bibcode : 1976InMat..35..197B , DOI : 10.1007 / BF01390138 , МР  0491720
• Энрикес, Федериго (1914), "Sulla classificazione delle superficie algebriche e частичном sulle superficie di genere p ¹ = 1", Atti. В соотв. Lincei V Ser. , 23
• Энрикес, Федериго (1949), Le Superficie Algebriche , Никола Заничелли, Болонья, MR  0031770
• Кодаира, Кунихико~d (1964), "О структуре компактных комплексных аналитических поверхностей я.", Американский журнал математики , 86 (4): 751-798, DOI : 10,2307 / 2373157 , JSTOR  2373157 , МР  0187255
• Кодаиры-, Кунихико (1966), "О структуре компактных комплексных аналитических поверхностей II.", Американский журнал математики , 88 (3): 682-721, DOI : 10,2307 / 2373150 , JSTOR  2373150 , MR  0205280
• Кодаиры-, Кунихико (1968), "О структуре компактных комплексных аналитических поверхностей III.", Американский журнал математики , 90 (1): 55-83, DOI : 10,2307 / 2373426 , JSTOR  2373426 , MR  0228019
• Кодаиры-, Кунихико (1968), "О структуре сложных аналитических поверхностей IV.", Американский журнал математики , 90 (4): 1048-1066, DOI : 10,2307 / 2373289 , JSTOR  2373289 , MR  0239114
• Мамфорд, Дэвид (1969), «Классификация поверхностей Энрикесом в символе p I», Глобальный анализ (документы в честь К. Кодаира) , Токио: Univ. Tokyo Press, стр. 325–339, MR  0254053
• Рейд, Майлз (1997), "Главы по алгебраическим поверхностям", Комплексная алгебраическая геометрия (Парк-Сити, Юта, 1993) , IAS / Park City Math. Сер., 3 , Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , стр. 3–159, arXiv : alg-geom / 9602006 , Bibcode : 1996alg.geom..2006R , MR  1442522
• Шафаревич, Игорь Р .; Авербух, Борис Г .; Ванберг, Ю. Р.; Жижченко, АБ; Манин, Юрий Иванович ; Мойшезон, Борис Г .; Тюрина, Галина Н .; Тюрин, Андрей Н. (1967) [1965], "Алгебраические поверхности", Труды Математического института им. Стеклова , Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , 75 : 1–215, ISBN 978-0-8218-1875-6, MR  0190143
• Ван де Вен, Антониус (1978), "О классификации Энриквеса алгебраических поверхностей" , Séminaire Bourbaki, 29e année (1976/77) , Lecture Notes in Math., 677 , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , стр. 237 –251, Руководство по ремонту  0521772

Внешние ссылки [ править ]

• le superficie algebriche - это интерактивная визуализация классификации Энрикеса-Кодаира, созданная Питером Бельмансом и Йоханом Коммелином.