Из Википедии, бесплатной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

В математике поверхности класса VII - это неалгебраические комплексные поверхности, изученные (Kodaira  1964 , 1968 ), которые имеют размерность Кодаиры −∞ и первое число Бетти 1. Минимальные поверхности класса VII (те, у которых нет рациональных кривых с самопересечением −1). ) называются поверхностями класса VII 0 . Каждая поверхность класса VII бирациональна единственной минимальной поверхности класса VII и может быть получена из этой минимальной поверхности путем раздува точек конечное число раз.

Название «класс VII» происходит от ( Kodaira 1964 , теорема 21), в которой минимальные поверхности разделены на 7 классов, пронумерованных от I 0 до VII 0 . Однако класс VII 0 Кодаиры не имел условия, что размерность Кодаира равна −∞, а вместо этого имел условие, что геометрический род равен 0. В результате его класс VII 0 также включал некоторые другие поверхности, такие как вторичные поверхности Кодаира , которые больше не считаются классом VII, так как не имеют размерности Кодаира −∞. Минимальные поверхности класса VII - это класс с номером «7» в списке поверхностей ( Kodaira 1968 , теорема 55).

Инварианты [ править ]

Неравномерность q равна 1, а h 1,0 = 0. Все плюрироды равны 0.

Алмаз Ходжа:

1
01
0б 20
10
1

Примеры [ править ]

Поверхности Хопфа являются факторами C 2 - (0,0) дискретной группой G, действующей свободно, и имеют вторые числа Бетти, равные нулю. Самый простой пример - взять G как целые числа, действуя как умножение на степени двойки; соответствующая поверхность Хопфа диффеоморфна S 1 × S 3 .

Поверхности Иноуэ - это некоторые поверхности класса VII, универсальное покрытие которых равно C × H, где H - верхняя полуплоскость (поэтому они являются ее частными по группе автоморфизмов). У них исчезающие вторые числа Бетти.

Иноуэ-Хирцебрух поверхностей , Эноки поверхностей и Като поверхностей дают примеры типа VII поверхностей с б 2 > 0.

Классификация и глобальные сферические оболочки [ править ]

В VII поверхности минимальный класс с вторым числом Бетти Ь 2 = 0 были классифицированы Богомолов ( 1976 , 1982 ), и являются либо Хопфа поверхностей или Иноуэ поверхностей . Те, у которых b 2 = 1, были классифицированы Накамурой (1984) при дополнительном предположении, что поверхность имеет кривую, что позже было доказано Телеманом (2005) .

Глобальная сферическая оболочка ( Като +1978 ) является гладкой 3-сферой в поверхности со связным дополнением, с окрестностями биголоморфны окрестностями сферы в C 2 . Гипотеза о глобальной сферической оболочке утверждает, что все поверхности класса VII 0 с положительным вторым числом Бетти имеют глобальную сферическую оболочку. Все многообразия с глобальной сферической оболочкой - это поверхности Като, которые достаточно хорошо изучены, поэтому доказательство этой гипотезы привело бы к классификации поверхностей типа VII.

Поверхность класса VII с положительным вторым числом Бетти b 2 имеет не более b 2 рациональных кривых и имеет именно это число, если она имеет глобальную сферическую оболочку. Напротив, Жорж Длоусский, Карл Олйеклаус и Матей Тома ( 2003 ) показали, что если минимальная поверхность класса VII с положительным вторым числом Бетти b 2 имеет ровно b 2 рациональных кривых, то она имеет глобальную сферическую оболочку.

Для поверхностей типа VII с нулевым вторым числом Бетти первичные поверхности Хопфа имеют глобальную сферическую оболочку, а вторичные поверхности Хопфа и поверхности Иноуэ - нет, потому что их фундаментальные группы не являются бесконечными циклическими. Раздутие точек на последних поверхностях дает неминимальные поверхности класса VII с положительным вторым числом Бетти, не имеющие сферических оболочек.

Ссылки [ править ]

  • Barth, Wolf P .; Хулек, Клаус; Питерс, Крис AM; Ван де Вен, Антониус (2004), Компактные сложные поверхности , Ergebnisse der Mathematik и ихрер Гренцгебиете. 3. Folge., 4 , Springer-Verlag, Берлин, ISBN 978-3-540-00832-3, MR  2030225
  • Богомолов, Федор А. (1976), "Классификация поверхностей класса VII 0 с b 2 = 0" , Известия Академии Наук СССР. Серия Математическая , 10 (2): 273–288, ISSN  0373-2436 , MR  0427325
  • Богомолов, Федор А. (1982), "Поверхности класса VII 0 и аффинная геометрия", Известия Академии Наук СССР. Серия Математическая , 46 (4): 710–761, Bibcode : 1983IzMat..21 ... 31B , doi : 10.1070 / IM1983v021n01ABEH001640 , ISSN  0373-2436 , MR  0670164
  • Длоусский, Жорж; Оэльеклаус, Карл; Тома, Матей (2003), « Поверхности класса VII 0 с кривыми b 2 » , The Tohoku Mathematical Journal , Second Series, 55 (2): 283–309, arXiv : math / 0201010 , doi : 10.2748 / tmj / 1113246942 , ISSN  0040-8735 , MR  1979500
  • Като, Масахиде (1978), "Компактные комплексные многообразия, содержащие" глобальные "сферические оболочки. I", Труды Международного симпозиума по алгебраической геометрии (Киотский университет, Киото, 1977) , Токио: книжный магазин Kinokuniya, стр. 45–84 , Руководство по ремонту  0578853
  • Кодаиры-, Кунихико (1964), "О структуре компактных комплексных аналитических поверхностей я.", Американский журнал математики , The Johns Hopkins University Press, 86 (4): 751-798, DOI : 10,2307 / 2373157 , ISSN  0002-9327 , JSTOR  2373157 , Руководство по ремонту  0187255 CS1 maint: обескураженный параметр ( ссылка )
  • Кодаиры-, Кунихико (1968), "О структуре сложных аналитических поверхностей IV.", Американский журнал математики , The Johns Hopkins University Press, 90 (4): 1048-1066, DOI : 10,2307 / 2373289 , ISSN  0002-9327 , JSTOR  2373289 , MR  0239114
  • Накамура, Iku (1984), "О поверхностях класса VII 0 с кривыми", Inventiones Mathematicae , 78 (3): 393-443, Bibcode : 1984InMat..78..393N , DOI : 10.1007 / BF01388444 , ISSN  0020-9910 , Руководство по ремонту  0768987
  • Накамура, Ику (1984), "Классификация некелеровых комплексных поверхностей", Математическое общество Японии. Сугаку (математика) , 36 (2): 110–124, ISSN  0039-470X , MR  0780359
  • Накамура, И. (2008), "Обзор поверхностей VII 0 ", Последние разработки в некелеровской геометрии, Саппоро (PDF)
  • Телеман, Андрей (2005), "Теория Дональдсона на некэлеровых поверхностях и поверхностях класса VII с b 2 = 1", Inventiones Mathematicae , 162 (3): 493–521, arXiv : 0704.2638 , Bibcode : 2005InMat.162..493T , DOI : 10.1007 / s00222-005-0451-2 , ISSN  0020-9910 , МР  2198220