Иноуэ поверхность

В сложной геометрии , Иноуэ поверхность является одной из нескольких сложных поверхностей из кодаирового класса VII . Они названы в честь Масахиса Иноуэ , который дал первые нетривиальные примеры поверхностей класса VII Кодаира в 1974 году ^[1].

Поверхности Иноуэ не являются кэлеровыми многообразиями .

Поверхности Иноуэ с b ₂ = 0 [ править ]

Иноуэ ввел три семейства поверхностей, S ⁰ , S ⁺ и S ^- , которые являются компактными частными (произведения комплексной плоскости на полуплоскость). Эти поверхности Иноуэ являются солвмногообразиями . Они получаются как частные по разрешимой дискретной группе, голоморфно действующей на${\ Displaystyle \ mathbb {C} \ times \ mathbb {H}}$${\ Displaystyle \ mathbb {C} \ times \ mathbb {H}}$${\ displaystyle \ mathbb {C} \ times \ mathbb {H}.}$

Все поверхности солвмногообразий, построенные Иноуэ, имеют второе число Бетти . Эти поверхности имеют кодаировой класс VII , который означает , что они имеют и кодаировые . Богомоловым ^[2], Ли – Яу ^[3] и Телеманом ^[4] было доказано , что любая поверхность класса VII с является поверхностью Хопфа или солвмногообразием типа Иноуэ.${\ displaystyle b_ {2} = 0}$${\ displaystyle b_ {1} = 1}$ ${\ displaystyle - \ infty}$ ${\ textstyle b_ {2} = 0}$

Эти поверхности не имеют мероморфных функций и кривых.

К. Хасегава ^[5] дает список всех комплексных двумерных солвмногообразий; это комплексный тор , гиперэллиптическая поверхность , поверхность Кодаира и поверхности Иноуэ S ⁰ , S ⁺ и S ^- .

Явно поверхности Иноуэ строятся следующим образом. ^[5]

Типа S ⁰ [ править ]

Пусть φ - целочисленная матрица 3 × 3 с двумя комплексными собственными значениями и действительным собственным значением c  > 1, причем . Тогда φ обратим над целыми числами и определяет действие группы целых чисел на . Пусть Эта группа является решеткой в разрешимой группе Ли${\displaystyle \alpha ,{\overline {\alpha }}}$${\displaystyle |\alpha |^{2}c=1}$${\displaystyle \mathbb {Z} ,}$${\displaystyle \mathbb {Z} ^{3}}$${\displaystyle \Gamma :=\mathbb {Z} ^{3}\rtimes \mathbb {Z} .}$

${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}\rtimes \mathbb {R} =(\mathbb {C} \times \mathbb {R} )\rtimes \mathbb {R} ,}$

действуя с -частью, действующей посредством переводов, и -частью как${\displaystyle \mathbb {C} \times \mathbb {R} ,}$${\displaystyle (\mathbb {C} \times \mathbb {R} )}$${\displaystyle \rtimes \mathbb {R} }$${\displaystyle (z,r)\mapsto (\alpha ^{t}z,c^{t}r).}$

Мы расширим это действие до , установив , где t - параметр -части и действуя тривиально с множителем на . Ясно, что это действие голоморфно, и фактор называется поверхностью Иноуэ типа${\displaystyle \mathbb {C} \times \mathbb {H} =\mathbb {C} \times \mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{>0}}$${\displaystyle v\mapsto e^{\log ct}v}$${\displaystyle \rtimes \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}\rtimes \mathbb {R} ,}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{>0}}$${\displaystyle \mathbb {C} \times \mathbb {H} /\Gamma }$ ${\displaystyle S^{0}.}$

Поверхность Иноуэ типа S ⁰ определяется выбором целочисленной матрицы φ , ограниченной, как указано выше. Таких поверхностей счетное число.

Типа S ⁺ [ править ]

Пусть n - натуральное число, а - группа верхнетреугольных матриц${\displaystyle \Lambda _{n}}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&x&z/n\\0&1&y\\0&0&1\end{bmatrix}},\qquad x,y,z\in \mathbb {Z} .}$

Частное по его центру C равно . Пусть φ автоморфизм , мы предполагаем , что φ действует на как матрица с двумя положительными вещественными собственными значениями а, Ь , и аб  = 1. Рассмотрим разрешимая группа с действуя на качестве ф . Определение группы верхних треугольных матриц с мы получаем действие на Определим действие на с тривиально действует на -часть и действующий как тот же аргумент , как для Иноуэ поверхностей типа${\displaystyle \Lambda _{n}}$${\displaystyle \mathbb {Z} ^{2}}$${\displaystyle \Lambda _{n}}$${\displaystyle \Lambda _{n}/C=\mathbb {Z} ^{2}}$${\displaystyle \Gamma _{n}:=\Lambda _{n}\rtimes \mathbb {Z} ,}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \Lambda _{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3},}$${\displaystyle \Gamma _{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}=\mathbb {C} \times \mathbb {R} .}$${\displaystyle \Gamma _{n}}$${\displaystyle \mathbb {C} \times \mathbb {H} =\mathbb {C} \times \mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{>0}}$${\displaystyle \Lambda _{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{>0}}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle v\mapsto e^{t\log b}v.}$${\displaystyle S^{0}}$показывает, что это действие голоморфно. Фактор называется поверхностью Иноуэ типа${\displaystyle \mathbb {C} \times \mathbb {H} /\Gamma _{n}}$ ${\displaystyle S^{+}.}$

Типа S ^- [ править ]

Поверхности типа Иноуэ определяются так же, как и для S ⁺ , но два собственных значения a, b функции φ, действующих на, имеют противоположный знак и удовлетворяют условию ab  = −1. Поскольку квадрат такого эндоморфизма определяет поверхность Иноуэ типа S ⁺ , поверхность Иноуэ типа S ^- имеет неразветвленное двойное покрытие типа S ⁺ .${\displaystyle S^{-}}$${\displaystyle \mathbb {Z} ^{2}}$

Параболические и гиперболические поверхности Иноуэ [ править ]

Параболические и гиперболические поверхности Иноуэ - это поверхности класса VII Кодаира, определенные Ику Накамурой в 1984 году. ^[6] Они не являются солвмногообразиями. Эти поверхности имеют положительное второе число Бетти. Они имеют сферическую оболочку и могут быть деформированы в взорванную поверхность Хопфа .

Параболические поверхности Иноуэ содержат цикл рациональных кривых с нулевым самопересечением и эллиптическую кривую. Они являются частным случаем поверхностей Эноки, которые имеют цикл рациональных кривых с нулевым самопересечением, но без эллиптической кривой. Поверхности полу-Иноуэ содержат цикл C рациональных кривых и являются частным от гиперболической поверхности Иноуэ с двумя циклами рациональных кривых.

Гиперболические поверхности Иноуэ - это поверхности класса VII ₀ с двумя циклами рациональных кривых. ^[7] Параболические и гиперболические поверхности являются частными случаями минимальных поверхностей с глобальными сферическими оболочками (GSS), также называемыми поверхностями Като. Все эти поверхности можно построить необратимыми стягиваниями. ^[8]

Заметки [ править ]