Якобиева многообразие

Эта статья требует дополнительных ссылок для проверки . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , добавив цитаты из надежных источников . Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален. Найти источники:  «Якобианское разнообразие»  -  новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( август 2016 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

В математике , то многообразие Якоби J ( С ) от неособой алгебраической кривой C из рода г есть пространство модулей степени 0 расслоений . Это компонента связности единицы в группе Пикара о С , следовательно, абелева многообразия .

Введение [ править ]

Многообразие якоби названо в честь Карла Густава Якоби , который доказал полную версию теоремы Абеля – Якоби , превратив утверждение Нильса Абеля об инъективности в изоморфизм. Это , главным образом поляризованное абелево многообразие , из размерности г , и , следовательно, над комплексными числами, это комплексный тор . Если р является точкой С , то кривой С может быть отображена на подмногообразия из J с заданной точкой р отображением к идентичности J и C генерирует Jкак группа .

Построение сложных кривых [ править ]

Над комплексными числами якобиево многообразие может быть реализовано как фактор-пространство V / L , где V - двойственное векторное пространство всех глобальных голоморфных дифференциалов на C, а L - решетка всех элементов V вида

${\ displaystyle [\ gamma]: \ \ omega \ mapsto \ int _ {\ gamma} \ omega}$

где γ представляет собой замкнутый путь в C . Другими словами,

${\ Displaystyle J (C) = H ^ {0} (\ Omega _ {C} ^ {1}) ^ {*} / H_ {1} (C),}$

со встроенным через карту выше. Это можно сделать явно с помощью тета-функций . ^[1]${\ displaystyle H_ {1} (C)}$${\ displaystyle H ^ {0} (\ Omega _ {C} ^ {1}) ^ {*}}$

Якобиан кривой над произвольным полем был построен Вейлем (1948) как часть его доказательства гипотезы Римана для кривых над конечным полем.

Теорема Абеля – Якоби утверждает, что построенный таким образом тор является многообразием, классическим якобианом кривой, который действительно параметризует линейные расслоения степени 0, то есть его можно отождествить с его многообразием Пикара делителей степени 0 по модулю линейной эквивалентности.

Алгебраическая структура [ править ]

Как группа, якобиево многообразие кривой изоморфно факторизации группы делителей нулевой степени по подгруппе главных дивизоров, т. Е. Дивизоров рациональных функций. Это верно для полей, которые не являются алгебраически замкнутыми, при условии, что рассматриваются делители и функции, определенные над этим полем.

Дополнительные сведения [ править ]

Теорема Торелли утверждает, что комплексная кривая определяется своим якобианом (с его поляризацией).

Задача Шоттки задает вопрос, какие принципиально поляризованные абелевы многообразия являются якобианами кривых.

Многообразие Пикара , то многообразие Альбанеза , обобщенный якобиан , и промежуточные якобианы являются обобщением якобиана для многомерных многообразий. Для многообразий более высокой размерности конструкция якобиева многообразия как фактора пространства голоморфных 1-форм обобщается и дает многообразие Альбанезе , но в общем случае оно не обязательно должно быть изоморфным многообразию Пикара.

См. Также [ править ]

• Матрица периодов - матрицы периодов - полезный метод для вычисления якобиана кривой
• Структура Ходжа - это обобщения якобианов
• Теорема Хонды – Тейта - классифицирует абелевы многообразия над конечными полями с точностью до изогении.
• Промежуточный якобиан

Ссылки [ править ]

Вычислительные методы [ править ]

• Матрицы периодов гиперэллиптических кривых.
• Абелианцы и их приложение к элементарному построению якобианов - техника построения якобианов

Классы изогении [ править ]

• Бесконечные семейства пар кривых над Q с изоморфными якобианами
• Абелевы многообразия, изогенные якобиану
• Абелевы многообразия, не изогенные якобиану

Криптография [ править ]

• Кривые, якобианы и криптография

Общие [ править ]

• П. Гриффитс ; Дж. Харрис (1994), Принципы алгебраической геометрии , библиотека Wiley Classics, Wiley Interscience, стр. 333–363, ISBN 0-471-05059-8
• Якоби, CGJ (1832), «Общие соображения де transcendentibus abelianis», J. Reine Angew. Математика. , 9 : 349–403
• Якоби, CGJ (1835), "De functionibus duarum variabilium quadrupliciter periodis, quibus theoria transcendentium abelianarum innititur", J. Reine Angew. Математика. , 13 : 55–78
• Дж. С. Милн (1986), "Якобиевые многообразия", Арифметическая геометрия , Нью-Йорк: Springer-Verlag, стр. 167–212, ISBN 0-387-96311-1
• Мамфорд, Дэвид (1975), Кривые и их якобианы , Издательство Мичиганского университета, Анн-Арбор, Мичиган, MR  0419430
• Шокуров, В.В. (2001) [1994], "Многообразие Якоби" , Энциклопедия математики , EMS Press
• Вейль, Андре (1948), Variétés abéliennes et courbes algébriques , Париж: Hermann, MR  0029522 , OCLC  826112
• Хартсхорн, Робин , Алгебраическая геометрия , Нью-Йорк: Springer, ISBN 0-387-90244-9