Символ Лежандра
Показаны только 0 ≤ a < p , поскольку из-за первого свойства ниже любого другого a можно уменьшить по модулю p . Квадратичные остатки выделены желтым цветом и точно соответствуют значениям 0 и 1.
В теории чисел символ Лежандра представляет собой мультипликативную функцию со значениями 1, −1, 0, которая является квадратичным символом по модулю нечетного простого числа p : его значение при (ненулевом) квадратичном вычете по модулю p равно 1, а при неквадратичном остаток ( неостаток ) равен −1. Его значение в нуле равно 0.
Символ Лежандра был введен Адрианом-Мари Лежандром в 1798 году [1] в ходе его попыток доказать квадратичный закон взаимности . Обобщения символа включают символ Якоби и характеры Дирихле более высокого порядка. Удобство записи символа Лежандра вдохновило на введение нескольких других «символов», используемых в алгебраической теории чисел , таких как символ Гильберта и символ Артина .
Позвольте быть нечетным простым числом . Целое число является квадратичным вычетом по модулю , если оно сравнимо с полным квадратом по модулю , и является квадратичным невычетом по модулю в противном случае. Символ Лежандра является функцией и определяется как
По критерию Эйлера , открытому ранее и известному Лежандру, эти два определения эквивалентны. [2] Таким образом, вклад Лежандра заключался во введении удобного обозначения , которое фиксировало квадратичную вычетность по модулю p . Для сравнения Гаусс использовал обозначение a R p , a N p в зависимости от того, является ли a остатком или невычетом по модулю p . Для типографского удобства символ Лежандра иногда записывается как ( a | p ) или ( a /п ). Последовательность ( a | p ) для a, равная 0, 1, 2,..., является периодической с периодом p и иногда называется последовательностью Лежандра , где значения {0,1,−1} иногда заменяются на {1,0 ,1} или {0,1,0}. [3] Каждая строка в следующей таблице демонстрирует периодичность, как описано.
Ниже приводится таблица значений символа Лежандра с p ≤ 127, a ≤ 30, p нечетное простое число.
