Периодическая последовательность

В этой статье не процитировать какие - либо источники . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , добавив цитаты из надежных источников . Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален . Найти источники:  «Periodic sequence»  -  новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( июль 2009 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

В математике , А периодическая последовательность (иногда называемый цикл ) представляет собой последовательность , для которых одни и те же термины , повторяются снова и снова:

a ₁ , a ₂ , ..., a _p ,   a ₁ , a ₂ , ..., a _p ,   a ₁ , a ₂ , ..., a _p , ...

Количество p повторяющихся сроков называется периодом ( периодом ).

Определение [ править ]

Периодическая последовательность - это последовательность a ₁ , a ₂ , a ₃ , ..., удовлетворяющая

а _{п + р} = а _п

для всех значений n . Если последовательность рассматривается как функция , областью определения которой является набор натуральных чисел , то периодическая последовательность - это просто особый тип периодической функции .

Примеры [ править ]

Последовательность цифр в десятичном разложении 1/7 периодична с периодом 6:

${\ displaystyle {\ frac {1} {7}} = 0,142857 \, 142857 \, 142857 \, \ ldots}$

В более общем смысле, последовательность цифр в десятичном представлении любого рационального числа в конечном итоге является периодической (см. Ниже).

Последовательность степеней −1 периодична с периодом два:

${\ Displaystyle -1,1, -1,1, -1,1, \ ldots}$

В более общем смысле, последовательность степеней любого корня из единицы периодична. То же самое верно и для степеней любого элемента конечного порядка в группе .

Периодическая точка для функции F  : X → X является точкой х , чьи орбиты

${\displaystyle x,\,f(x),\,f(f(x)),\,f^{3}(x),\,f^{4}(x),\,\ldots }$

периодическая последовательность. Здесь, означает , что п - кратная композиция из F применяется к й . Периодические точки важны в теории динамических систем . Каждая функция из конечного множества в себя имеет периодическую точку; Обнаружение цикла - это алгоритмическая проблема нахождения такой точки.${\displaystyle f^{n}(x)}$

Периодические 0, 1 последовательности [ править ]

Любую периодическую последовательность можно построить поэлементным сложением, вычитанием, умножением и делением периодических последовательностей, состоящих из нулей и единиц. Периодические последовательности нулей и единиц могут быть выражены как суммы тригонометрических функций:

${\displaystyle \sum _{k=1}^{1}\cos(-\pi {\frac {n(k-1)}{1}})/1=1,1,1,1,1,1,1,1,1...}$

${\displaystyle \sum _{k=1}^{2}\cos(2\pi {\frac {n(k-1)}{2}})/2=0,1,0,1,0,1,0,1,0...}$

${\displaystyle \sum _{k=1}^{3}\cos(2\pi {\frac {n(k-1)}{3}})/3=0,0,1,0,0,1,0,0,1,0,0,1,0,0,1...}$

${\displaystyle ...}$

${\displaystyle \sum _{k=1}^{N}\cos(2\pi {\frac {n(k-1)}{N}})/N=0,0,0...,1{\text{ sequence with period }}N}$

Обобщения [ править ]

Последовательность в конечном итоге является периодической, если ее можно сделать периодической, отбросив некоторое конечное число членов с самого начала. Например, последовательность цифр в десятичном разложении 1/56 в конечном итоге будет периодической:

1/56 = 0. 0 1 7 8 5 7 1 4 2 8 5 7 1 4 2 8 5 7 1 4 2 ...

Последовательность является асимптотически периодической, если ее члены приближаются к членам периодической последовательности. То есть последовательность x ₁ ,  x ₂ ,  x ₃ , ... асимптотически периодична, если существует периодическая последовательность a ₁ ,  a ₂ ,  a ₃ , ..., для которой

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}-a_{n}=0.}$

Например, последовательность

1/3, 2/3, 1/4, 3/4, 1/5, 4/5, ...

является асимптотически периодическим, так как его члены приближаются к членам периодической последовательности 0, 1, 0, 1, 0, 1, ....