Гармоническая прогрессия (математика)

Первые десять членов гармонической последовательности .

{\ displaystyle a_ {n} = {\ tfrac {1} {n}}}

В математике , А гармоника прогрессия (или гармоническая последовательность ) представляет собой последовательность образован путем принятия обратных в арифметической прогрессии .

Эквивалентно, последовательность - это гармоническая прогрессия, когда каждый член является гармоническим средним соседних членов.

В качестве третьей эквивалентной характеристики это бесконечная последовательность вида

${\frac {1}{a}},\ {\frac {1}{a+d}}\ ,{\frac {1}{a+2d}}\ ,{\frac {1}{a+3d}}\ ,\cdots ,$

где a не равно нулю и - a / d не является натуральным числом или конечной последовательностью вида

${\frac {1}{a}},\ {\frac {1}{a+d}}\ ,{\frac {1}{a+2d}}\ ,{\frac {1}{a+3d}}\ ,\cdots ,{\frac {1}{a+kd}},$

где a не равно нулю, k - натуральное число и - a / d не является натуральным числом или больше k .

Примеры [ править ]

1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6
12, 6, 4, 3 ,, 2,… ,,… ${\tfrac {12}{5}}$ ${\tfrac {12}{n}}$
30, −30, −10, −6, - ,…, ${\tfrac {30}{7}}$ ${\tfrac {10}{1-{\tfrac {2n}{3}}}}$
10, 30, −30, −10, −6, -,…, ${\tfrac {10}{1-{\tfrac {2(n-1)}{3}}}}$

Суммы гармонических прогрессий [ править ]

Бесконечные гармонические прогрессии не суммирует (сумма до бесконечности).

Невозможно для гармонической прогрессии различных единичных дробей (кроме тривиального случая, когда a = 1 и k = 0) суммировать до целого числа . Причина в том, что по крайней мере один знаменатель прогрессии обязательно будет делиться на простое число, которое не делит никакой другой знаменатель. ^[1]

Использование в геометрии [ править ]

Если коллинеарные точки A, B, C и D таковы, что D является гармоническим сопряжением C относительно A и B, то расстояния от любой из этих точек до трех оставшихся точек образуют гармоническую прогрессию. ^[2]^{[3] В} частности, каждая из последовательностей AC, AB, AD; BC, BA, BD; CA, CD, CB; а DA, DC, DB - гармонические последовательности, где каждое из расстояний подписано в соответствии с фиксированной ориентацией линии.

В треугольнике, если высоты находятся в арифметической прогрессии , то стороны находятся в гармонической прогрессии.

Падающая Башня Лира [ править ]

Прекрасным примером гармонической прогрессии является Падающая башня Лир. В нем однородные блоки укладываются друг на друга для достижения максимального бокового или бокового пройденного расстояния. Блоки укладываются стопкой на 1/2, 1/4, 1/6, 1/8, 1/10… расстояния в сторону под исходным блоком. Это гарантирует, что центр тяжести находится как раз в центре конструкции, чтобы она не разрушилась. Небольшое увеличение веса конструкции приводит к ее нестабильности и падению.

См. Также [ править ]

Ссылки [ править ]

^ Erdős, P. (1932), "Egy Kürschák-Fele элого számelméleti tétel általánosítása" [Обобщение элементарной теоретико-числовой теоремой Kürschák] (PDF) , Мастет. Физ. Лапок (на венгерском), 39 : 17–24. CS1 maint: discouraged parameter (link). Как цитируется Грэмом, Рональдом Л. (2013), «Пол Эрдёш и египетские фракции», столетие Эрдеша , Bolyai Soc. Математика. Stud., 25 , János Bolyai Math. . Soc . , Будапешт, стр 289-309, CiteSeerX 10.1.1.300.91 , DOI : 10.1007 / 978-3-642-39286-3_9 , ISBN 978-3-642-39285-6, MR 3203600 CS1 maint: discouraged parameter (link).
^ Главы по современной геометрии точки, линии и круга, Vol. II Ричарда Таунсенда (1865) стр. 24
^ Современная геометрия точки, прямая и окружность: элементарный трактат по Джону Александр Третьего (1898) р. 44 год

Освоение технической математики Стэном Гибилиско, Норманом Х. Кроухерстом, (2007) стр. 221
Стандартные математические таблицы компании Chemical Rubber (1974) с. 102
Основы алгебры для средних школ по Webster Уэллс (1897 г.) , стр. 307

[1] Erdős, P. (1932), "Egy Kürschák-Fele элого számelméleti tétel általánosítása" [Обобщение элементарной теоретико-числовой теоремой Kürschák] (PDF) , Мастет. Физ. Лапок (на венгерском), 39 : 17–24. CS1 maint: discouraged parameter (link). Как цитируется Грэмом, Рональдом Л. (2013), «Пол Эрдёш и египетские фракции», столетие Эрдеша , Bolyai Soc. Математика. Stud., 25 , János Bolyai Math. . Soc . , Будапешт, стр 289-309, CiteSeerX 10.1.1.300.91 , DOI : 10.1007 / 978-3-642-39286-3_9 , ISBN 978-3-642-39285-6, MR 3203600 CS1 maint: discouraged parameter (link).

[2] Главы по современной геометрии точки, линии и круга, Vol. II Ричарда Таунсенда (1865) стр. 24

[3] Современная геометрия точки, прямая и окружность: элементарный трактат по Джону Александр Третьего (1898) р. 44 год

[1]