Квадратичная взаимность

Гаусс опубликовал первое и второе доказательства закона квадратичной взаимности в статьях 125–146 и 262 Disquisitiones Arithmeticae в 1801 году.

В теории чисел , то закон квадратичной взаимности теорема о модульной арифметики , которая дает условия разрешимости квадратичных уравнений по модулю простых чисел . Из-за своей тонкости, в нем много формулировок, но наиболее стандартным является следующее:

Этот закон вместе с его дополнениями позволяет легко вычислить любой символ Лежандра, давая возможность определить, существует ли целочисленное решение для любого квадратного уравнения вида для нечетного простого числа ; то есть, чтобы определить "полные квадраты" по модулю . Однако это неконструктивный результат: он не помогает найти конкретное решение; для этого требуются другие методы. Например, в случае использования критерия Эйлера можно дать явную формулу для «квадратных корней» по модулю квадратичного вычета , а именно,${\ Displaystyle х ^ {2} \ эквив а {\ bmod {p}}}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle p}$${\ Displaystyle п \ эквив 3 {\ bmod {4}}}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle a}$

${\displaystyle \pm a^{\frac {p+1}{4}}}$

в самом деле,

${\displaystyle \left(\pm a^{\frac {p+1}{4}}\right)^{2}=a^{\frac {p+1}{2}}=a\cdot a^{\frac {p-1}{2}}\equiv a\left({\frac {a}{p}}\right)=a{\bmod {p}}.}$

Эта формула работает, только если заранее известно, что это квадратичный вычет , который можно проверить с помощью закона квадратичной взаимности.${\displaystyle a}$

Теорема квадратичная взаимность была высказана гипотеза , по Эйлера и Лежандра и первым доказал Гаусс , ^[1] , который назвал его «фундаментальной теоремы» в его Disquisitiones Arithmeticae и его бумаги, письма

Основную теорему, безусловно, следует рассматривать как одну из самых элегантных в своем роде. (Статья 151)

В частном порядке Гаусс называл это «золотой теоремой». ^[2] Он опубликовал шесть доказательств этого, еще два были найдены в его посмертных работах. В настоящее время опубликовано более 240 доказательств. ^[3] Самое короткое известно доказательство входят ниже , вместе с краткими доказательствами добавка этого закона (символы Лежандра -1 и 2).

Обобщение закона взаимности для высших степеней было ведущей проблемой в математике и имело решающее значение для развития многих механизмов современной алгебры , теории чисел и алгебраической геометрии , достигнув высшей точки во взаимности Артина , теории поля классов и теории Ленглендса. программа .

Мотивирующие примеры [ править ]

Квадратичная взаимность возникает из некоторых тонких шаблонов факторизации, включающих точные квадратные числа. В этом разделе мы приводим примеры, которые приводят к общему случаю.

Факторинг n ²  - 5 [ править ]

Рассмотрим многочлен и его значения . Простые факторизации этих значений даны следующим образом:${\displaystyle f(n)=n^{2}-5}$${\displaystyle n\in \mathbb {N} .}$

п	${\displaystyle f(n)}$			п	${\displaystyle f(n)}$			п	${\displaystyle f(n)}$
1	−4	−2 2		16	251	251		31 год	956	2 2 ⋅239
2	−1	−1		17	284	2 2 ⋅71		32	1019	1019
3	4	2 2		18	319	11⋅29		33	1084	2 2 ⋅271
4	11	11		19	356	2 2 ⋅89		34	1151	1151
5	20	2 2 ⋅5		20	395	5⋅79		35 год	1220	2 2 ⋅5⋅61
6	31 год	31 год		21 год	436	2 2 ⋅109		36	1291	1291
7	44	2 2 ⋅11		22	479	479		37	1364	2 2 ⋅11⋅31
8	59	59		23	524	2 2 ⋅131		38	1439	1439
9	76	2 2 ⋅19		24	571	571		39	1516	2 2 ⋅379
10	95	5⋅19		25	620	2 2 ⋅5⋅31		40	1595	5⋅11⋅29
11	116	2 2 ⋅29		26	671	11⋅61		41 год	1676	2 2 ⋅419
12	139	139		27	724	2 2 ⋅181		42	1759	1759
13	164	2 2 ⋅41		28	779	19⋅41		43	1844 г.	2 2 ⋅461
14	191	191		29	836	2 2 ⋅11⋅19		44	1931 г.	1931 г.
15	220	2 2 ⋅5⋅11		30	895	5⋅179		45	2020 г.	2 2 ⋅5⋅101

Эти простые множители разделительные являются , и каждым простым, окончательной цифрой или ; простые числа, оканчивающиеся на или никогда не появляющиеся. Теперь, является простым делителем некоторых всякий раз , когда , то есть всякий раз , когда то есть когда 5 является квадратичным вычетом по модулю . Это происходит для и тех простых чисел с, и последних чисел и в точности квадратичные вычеты по модулю . Следовательно, за исключением , у нас есть квадратичный вычет по модулю тогда и только тогда, когда это квадратичный вычет по модулю .${\displaystyle p}$${\displaystyle f(n)}$${\displaystyle p=2,5}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle 9}$${\displaystyle 3}$${\displaystyle 7}$${\displaystyle p}$${\displaystyle n^{2}-5}$${\displaystyle n^{2}-5\equiv 0{\bmod {p}}}$${\displaystyle n^{2}\equiv 5{\bmod {p}},}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p=2,5}$${\displaystyle p\equiv 1,4{\bmod {5}},}$${\displaystyle 1=(\pm 1)^{2}}$${\displaystyle 4=(\pm 2)^{2}}$${\displaystyle 5}$${\displaystyle p=2,5}$${\displaystyle 5}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$${\displaystyle 5}$

Закон квадратичной взаимности дает аналогичную характеристику простых делителей для любого простого q , что приводит к характеризации для любого целого числа .${\displaystyle f(n)=n^{2}-q}$${\displaystyle q}$

Паттерны среди квадратичных остатков [ править ]

Пусть p нечетное простое число. Число по модулю p является квадратичным вычетом, если оно конгруэнтно квадрату (по модулю p ); в противном случае это квадратичный невычет. («Квадратичный» можно отбросить, если это ясно из контекста.) Здесь мы исключаем ноль как частный случай. Тогда как следствие того факта, что мультипликативная группа конечного поля порядка p является циклической группой порядка p-1 , справедливы следующие утверждения:

• Есть равное количество квадратичных вычетов и невычетов; и
• Произведение двух квадратичных остатков является остатком, произведение остатка и неостаточного остатка является не остатком, а произведение двух неостаточных остатков является остатком.

Во избежание сомнений, эти утверждения не верны, если модуль не является простым. Например, в мультипликативной группе по модулю 15 всего 3 квадратичных вычета (1, 4 и 9). Более того, хотя 7 и 8 являются квадратичными невычетами, их произведение 7x8 = 11 также является квадратичным невычетом, в отличие от первичный случай.

Квадратичные остатки представлены в следующей таблице:

Эта таблица является полной для нечетных простых чисел меньше 50. Чтобы проверить, является ли число m квадратичным вычетом по модулю одного из этих простых чисел p , найдите a ≡ m (mod p ) и 0 ≤ a < p . Если a находится в строке p , то m - вычет (mod p ); если a не находится в строке p таблицы, то m не является остатком (mod p ).

Квадратичный закон взаимности - это утверждение, что определенные закономерности, найденные в таблице, в целом верны.

q = ± 1 и первое дополнение [ править ]

Тривиально 1 - квадратичный вычет для всех простых чисел. Для −1 вопрос становится более интересным. Изучая таблицу, мы находим −1 в строках 5, 13, 17, 29, 37 и 41, но не в строках 3, 7, 11, 19, 23, 31, 43 или 47. Первый набор простых чисел конгруэнтен с 1 по модулю 4, а последние сравнимы с 3 по модулю 4.

Первое дополнение к квадратичной взаимности. Сравнение разрешимо тогда и только тогда, когда оно сравнимо с 1 по модулю 4.${\displaystyle x^{2}\equiv -1{\bmod {p}}}$${\displaystyle p}$

q = ± 2 и второе дополнение [ править ]

Изучая таблицу, мы находим 2 в строках 7, 17, 23, 31, 41 и 47, но не в строках 3, 5, 11, 13, 19, 29, 37 или 43. Все первые простые числа ≡ ± 1 (mod 8), а последние все ≡ ± 3 (mod 8). Это ведет к

Второе дополнение к квадратичной взаимности. Сравнение разрешимо тогда и только тогда, когда оно сравнимо с ± 1 по модулю 8.${\displaystyle x^{2}\equiv 2{\bmod {p}}}$${\displaystyle p}$

−2 находится в строках 3, 11, 17, 19, 41, 43, но не в строках 5, 7, 13, 23, 29, 31, 37 или 47. Первые - ≡ 1 или ≡ 3 (mod 8) , а последние - 5, 7 (mod 8).

q = ± 3 [ править ]

3 находится в строках 11, 13, 23, 37 и 47, но не в строках 5, 7, 17, 19, 29, 31, 41 или 43. Первые составляют ± 1 (mod 12), а вторые - все ≡ ± 5 (mod 12).

−3 находится в строках 7, 13, 19, 31, 37 и 43, но не в строках 5, 11, 17, 23, 29, 41 или 47. Первые равны ≡ 1 (mod 3), а вторые 2 (мод 3).

Поскольку единственный вычет (mod 3) равен 1, мы видим, что −3 является квадратичным вычетом по модулю любого простого числа, которое является вычетом по модулю 3.

q = ± 5 [ править ]

5 находится в строках 11, 19, 29, 31 и 41, но не в строках 3, 7, 13, 17, 23, 37, 43 или 47. Первые составляют ≡ ± 1 (mod 5), а вторые - ≡ ± 2 (по модулю 5).

Поскольку единственные вычеты (по модулю 5) равны ± 1, мы видим, что 5 является квадратичным вычетом по модулю любого простого числа, которое является вычетом по модулю 5.

−5 находится в строках 3, 7, 23, 29, 41, 43 и 47, но не в строках 11, 13, 17, 19, 31 или 37. Первые - ≡ 1, 3, 7, 9 (mod 20 ), а последние - 11, 13, 17, 19 (mod 20).

Высшее q [ править ]

Наблюдения относительно −3 и 5 остаются в силе: −7 является вычетом по модулю p тогда и только тогда, когда p является вычетом по модулю 7, −11 является вычетом по модулю p тогда и только тогда, когда p является вычетом по модулю 11, 13 является остаток (по модулю p ) тогда и только тогда, когда p является вычетом по модулю 13 и т. д. Более сложные на вид правила для квадратичных характеров чисел 3 и −5, которые зависят от сравнений по модулю 12 и 20 соответственно, просто подходят для - 3 и 5 работают с первым дополнением.

Пример. Чтобы −5 был остатком (mod p ), либо оба 5, и −1 должны быть остатками (mod p ), либо они оба не должны быть остатками: т.е. p ≡ ± 1 (mod 5) и p ≡ 1 (mod 4) или p ≡ ± 2 (mod 5) и p ≡ 3 (mod 4). Используя китайскую теорему об остатках, они эквивалентны p ≡ 1, 9 (mod 20) или p ≡ 3, 7 (mod 20).

Обобщение правил для −3 и 5 - это утверждение Гаусса о квадратичной взаимности.

Версия Лежандра [ править ]

Другой способ организации данных - увидеть, какие простые числа являются остатками по модулю других простых чисел, как показано в следующей таблице. Запись в строке p столбца q - это R, если q - квадратичный вычет (mod p ); если это невычет запись является N .

Если строка, столбец или оба имеют значение 1 (mod 4), запись будет синей или зеленой; если и строка, и столбец ≡ 3 (mod 4), он желтый или оранжевый.

Синие и зеленые элементы симметричны относительно диагонали: запись для строки p , столбца q является R (соответственно N ) тогда и только тогда, когда запись в строке q , столбце p является R (соответственно N ).

Желтый и оранжевый, с другой стороны, антисимметричны: запись для строки p , столбца q является R (соответственно N ) тогда и только тогда, когда запись в строке q , столбце p равна N (соответственно R ).

Закон взаимности гласит, что эти закономерности верны для всех p и q .

Формулировка теоремы [ править ]

Квадратичная взаимность (утверждение Гаусса). Если тогда сравнение разрешимо, тогда и только тогда, когда оно разрешимо. Если тогда сравнение разрешимо, тогда и только тогда, когда оно разрешимо.${\displaystyle q\equiv 1{\bmod {4}}}$${\displaystyle x^{2}\equiv p{\bmod {q}}}$${\displaystyle x^{2}\equiv q{\bmod {p}}}$${\displaystyle q\equiv 3{\bmod {4}}}$${\displaystyle x^{2}\equiv p{\bmod {q}}}$${\displaystyle x^{2}\equiv -q{\bmod {p}}}$

Квадратичная взаимность (комбинированное утверждение). Определить . Тогда сравнение разрешимо тогда и только тогда, когда оно разрешимо.${\displaystyle q^{*}=(-1)^{\frac {q-1}{2}}q}$${\displaystyle x^{2}\equiv p{\bmod {q}}}$${\displaystyle x^{2}\equiv q^{*}{\bmod {p}}}$

Квадратичная взаимность (утверждение Лежандра). Если p или q сравнимы с 1 по модулю 4, то: разрешима тогда и только тогда, когда разрешима. Если p и q сравнимы с 3 по модулю 4, то: разрешима тогда и только тогда, когда не разрешима.${\displaystyle x^{2}\equiv q{\bmod {p}}}$${\displaystyle x^{2}\equiv p{\bmod {q}}}$${\displaystyle x^{2}\equiv q{\bmod {p}}}$${\displaystyle x^{2}\equiv p{\bmod {q}}}$

Последнее немедленно эквивалентно современной форме, указанной во введении выше. Это простое упражнение, чтобы доказать, что утверждения Лежандра и Гаусса эквивалентны - оно требует не более чем первого дополнения и фактов об умножении вычетов и невычетов.

Доказательство [ править ]

Следующее доказательство из журнала The American Mathematical Monthly ^[4], по-видимому, является самым коротким из известных.

Позволять

${\displaystyle S_{n}(t)=\sum _{x_{1}+x_{2}+\dots +x_{n}=t}\left({\frac {x_{1}x_{2}\cdots x_{n}}{p}}\right),}$

где и - символ Лежандра. Для нечетного и любого${\displaystyle t,x_{i}\in \mathbb {Z} _{p}}$${\displaystyle \left({\frac {a}{p}}\right)}$${\displaystyle n}$${\displaystyle a\in \mathbb {Z} _{p}/\{0\},}$

${\displaystyle S_{n}(t)=\left({\frac {a}{p}}\right)^{n}\sum _{{\frac {x_{1}}{a}}+\cdots +{\frac {x_{n}}{a}}={\frac {t}{a}}}\left({\frac {{\frac {x_{1}}{a}}\cdots {\frac {x_{n}}{a}}}{p}}\right)=\left({\frac {a}{p}}\right)S_{n}(t/a).}$

В частности, заменяя и не остаток, мы получаем , а устанавливая , мы получаем ; и по аналогичным рассуждениям,${\displaystyle t=0}$${\displaystyle a}$${\displaystyle S_{n}(0)=0}$${\displaystyle t=a}$${\displaystyle S_{n}(a)=\left({\frac {a}{p}}\right)S_{n}(1)}$

${\displaystyle S_{2}(a)=\left({\frac {a}{p}}\right)^{2}S_{2}(1)=S_{2}(1).}$

Более того,

${\displaystyle S_{2}(0)=\sum _{x\in \mathbb {Z} _{p}/\{0\}}\left({\frac {-x^{2}}{p}}\right)=\left({\frac {-1}{p}}\right)(p-1),}$

и, напоминая, что

${\displaystyle \sum _{t\in \mathbb {Z} _{p}}\left({\frac {t}{p}}\right)=0,}$

${\displaystyle S_{2}(1)=\sum _{x\in \mathbb {Z} _{p}/\{0\}}\left({\frac {x^{2}x^{-1}(1-x)}{p}}\right)=\sum _{x\in \mathbb {Z} _{p}/\{0\},\ y=x^{-1}}\left({\frac {y-1}{p}}\right)=-\left({\frac {-1}{p}}\right).}$

Следовательно, для нечетных имеем${\displaystyle n}$

${\displaystyle S_{n+2}(1)=\sum _{t\in \mathbb {Z} _{p}/\{0,1\}}S_{n}(t)S_{2}(1-t)+S_{n}(1)S_{2}(0)+S_{n}(0)S_{2}(1)=\sum _{t\in \mathbb {Z} _{p}/\{0,1\}}\left({\frac {t}{p}}\right)S_{n}(1)\left(-\left({\frac {-1}{p}}\right)\right)+S_{n}(1)\left({\frac {-1}{p}}\right)(p-1)=S_{n}(1)\left({\frac {-1}{p}}\right)p.}$

Поскольку по индукции по нечетным${\displaystyle S_{1}(1)=\left({\frac {1}{p}}\right)=1}$${\displaystyle n}$

${\displaystyle S_{n}(1)=\left(\left({\frac {-1}{p}}\right)p\right)^{\frac {n-1}{2}}=p^{\frac {n-1}{2}}(-1)^{{\frac {p-1}{2}}{\frac {n-1}{2}}}.}$

Таким образом, по критерию Эйлера , для нечетного простого ,${\displaystyle q}$

${\displaystyle S_{q}(1)\equiv \left({\frac {p}{q}}\right)(-1)^{{\frac {p-1}{2}}{\frac {q-1}{2}}}{\bmod {q}}.}$

Итак, циклические сдвиги данной -набора различны, если все они не равны, так как период его повторяющегося однопозиционного циклического сдвига делится , и поэтому равен или 1. Когда они различны, их общий вклад в определение суммы равен , который делится на . Следовательно, по модулю (берем ),${\displaystyle q}$${\displaystyle q}$${\displaystyle (x_{1},\dots ,x_{q})}$${\displaystyle x_{i}}$${\displaystyle q}$${\displaystyle q}$${\displaystyle S_{q}(1)}$${\displaystyle q\left({\frac {x_{1}x_{2}\cdots x_{q}}{p}}\right)}$${\displaystyle q}$${\displaystyle q}$${\displaystyle q\neq p}$

${\displaystyle S_{q}(1)\equiv \sum _{x_{1}+x_{2}+\dots +x_{q}=1,\ x_{1}=x_{2}=\dots =x_{q}}\left({\frac {x_{1}x_{2}\cdots x_{q}}{p}}\right)=\left({\frac {q^{-1}}{p}}\right)^{q}=\left({\frac {q}{p}}\right).}$

Так

${\displaystyle \left({\frac {p}{q}}\right)(-1)^{{\frac {p-1}{2}}{\frac {q-1}{2}}}}$

и конгруэнтны , и, следовательно, друг другу по модулю, но оба они являются числами формы , поэтому они равны, что является законом квадратичной взаимности.${\displaystyle \left({\frac {q}{p}}\right)}$${\displaystyle S_{q}(1)}$${\displaystyle q}$${\displaystyle \pm 1}$

Доказательства дополнений [ править ]

Значение символа Лежандра (использованного в приведенном выше доказательстве) следует непосредственно из критерия Эйлера :${\displaystyle -1}$

${\displaystyle \left({\frac {-1}{p}}\right)\equiv (-1)^{\frac {p-1}{2}}{\bmod {p}}}$

по критерию Эйлера, но обе стороны этого сравнения являются числами формы , поэтому они должны быть равны.${\displaystyle \pm 1}$

Можно сделать вывод о том, является ли квадратичный вычет, если мы знаем количество решений уравнения, с которыми можно решить стандартными методами. А именно, все его решения where могут быть сгруппированы в октуплеты формы , и то, что осталось, - это четыре решения формы и, возможно, четыре дополнительных решения, где и , которые существуют точно, если является квадратичным вычетом. То есть является квадратичным вычетом в точности, если количество решений этого уравнения делится на . И это уравнение может быть решено здесь точно так же, как и над рациональными числами: замените там , где мы требуем этого (исключая два решения${\displaystyle 2}$${\displaystyle x^{2}+y^{2}=2}$${\displaystyle x,y\in \mathbb {Z} _{p},}$${\displaystyle xy\neq 0,x\neq \pm y}$${\displaystyle (\pm x,\pm y),(\pm y,\pm x)}$${\displaystyle (\pm 1,\pm 1)}$${\displaystyle x^{2}=2,y=0}$${\displaystyle x=0,y^{2}=2}$${\displaystyle 2}$${\displaystyle 2}$${\displaystyle 8}$${\displaystyle x=a+1,y=at+1}$${\displaystyle a\neq 0}$${\displaystyle (1,\pm 1)}$), то исходное уравнение преобразуется в

${\displaystyle a=-{\frac {2(t+1)}{(t^{2}+1)}}.}$

Здесь может иметь любое значение , которое не делает знаменатель - ноль, которой есть возможности (то есть , если есть остаток, если нет) , - а также не делает нуль, что исключает еще один вариант, . Таким образом, есть${\displaystyle t}$${\displaystyle 1+\left({\frac {-1}{p}}\right)}$${\displaystyle 2}$${\displaystyle -1}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle a}$${\displaystyle t=-1}$

${\displaystyle p-\left(1+\left({\frac {-1}{p}}\right)\right)-1}$

возможностей для , и поэтому вместе с двумя исключенными решениями есть общие решения исходного уравнения. Следовательно, является вычетом по модулю тогда и только тогда, когда делит . Это переформулировка указанного выше условия.${\displaystyle t}$${\displaystyle p-\left({\frac {-1}{p}}\right)}$${\displaystyle 2}$${\displaystyle p}$${\displaystyle 8}$${\displaystyle p-(-1)^{\frac {p-1}{2}}}$

История и альтернативные утверждения [ править ]

Теорема была сформулирована многими способами до ее современной формы: Эйлер и Лежандр не использовали нотацию конгруэнтности Гаусса, а Гаусс не имел символа Лежандра.

В этой статье p и q всегда относятся к различным положительным нечетным простым числам, а x и y - к неопределенным целым числам.

Ферма [ править ]

Ферма доказал ^[5] (или утверждал, что доказал) ^[6] ряд теорем о выражении простого числа квадратичной формой:

${\displaystyle {\begin{aligned}p=x^{2}+y^{2}\qquad &\Longleftrightarrow \qquad p=2\quad {\text{ or }}\quad p\equiv 1{\bmod {4}}\\p=x^{2}+2y^{2}\qquad &\Longleftrightarrow \qquad p=2\quad {\text{ or }}\quad p\equiv 1,3{\bmod {8}}\\p=x^{2}+3y^{2}\qquad &\Longleftrightarrow \qquad p=3\quad {\text{ or }}\quad p\equiv 1{\bmod {3}}\\\end{aligned}}}$

Он не сформулировал закон квадратичной взаимности, хотя случаи -1, ± 2 и ± 3 легко выводятся из этих и других его теорем.

Он также утверждал, что у него есть доказательство того, что если простое число p оканчивается на 7 (с основанием 10), а простое число q оканчивается на 3 и p ≡ q ≡ 3 (mod 4), то

${\displaystyle pq=x^{2}+5y^{2}.}$

Эйлер предположил, а Лагранж доказал, что ^[7]

${\displaystyle {\begin{aligned}p&\equiv 1,9{\bmod {20}}\quad \Longrightarrow \quad p=x^{2}+5y^{2}\\p,q&\equiv 3,7{\bmod {20}}\quad \Longrightarrow \quad pq=x^{2}+5y^{2}\end{aligned}}}$

Доказательство этих и других утверждений Ферма было одной из вещей, которые привели математиков к теореме взаимности.

Эйлер [ править ]

В переводе на современные обозначения Эйлер заявил ^[8], что для различных нечетных простых чисел p и q :

1. Если q ≡ 1 (mod 4), то q является квадратичным вычетом (mod p ) тогда и только тогда, когда существует некоторое целое число b такое, что p ≡ b ² (mod q ).
2. Если q ≡ 3 (mod 4), то q является квадратичным вычетом (mod p ) тогда и только тогда, когда существует некоторое целое число b, которое нечетно и не делится на q такое, что p ≡ ± b ² (mod 4 q ).

Это эквивалентно квадратичной взаимности.

Он не мог этого доказать, но доказал вторую добавку. ^[9]

Лежандр и его символ [ править ]

Ферма доказал, что если p - простое число, а a - целое,

${\displaystyle a^{p}\equiv a{\bmod {p}}.}$

Таким образом, если p не делит a , используя неочевидный факт (см., Например, Ирландию и Розен ниже), что вычеты по модулю p образуют поле, и поэтому, в частности, мультипликативная группа является циклической, следовательно, может быть не более двух решений для квадратное уравнение:

${\displaystyle a^{\frac {p-1}{2}}\equiv \pm 1{\bmod {p}}.}$

Лежандр ^[10] позволяет a и A представлять положительные простые числа 1 (mod 4), а b и B - положительные простые числа ≡ 3 (mod 4), и составляет таблицу из восьми теорем, которые вместе эквивалентны квадратичной взаимности:

Теорема	Когда	следует, что
я	${\displaystyle b^{\frac {a-1}{2}}\equiv 1{\bmod {a}}}$	${\displaystyle a^{\frac {b-1}{2}}\equiv 1{\bmod {b}}}$
II	${\displaystyle a^{\frac {b-1}{2}}\equiv -1{\bmod {b}}}$	${\displaystyle b^{\frac {a-1}{2}}\equiv -1{\bmod {a}}}$
III	${\displaystyle a^{\frac {A-1}{2}}\equiv 1{\bmod {A}}}$	${\displaystyle A^{\frac {a-1}{2}}\equiv 1{\bmod {a}}}$
IV	${\displaystyle a^{\frac {A-1}{2}}\equiv -1{\bmod {A}}}$	${\displaystyle A^{\frac {a-1}{2}}\equiv -1{\bmod {a}}}$
V	${\displaystyle a^{\frac {b-1}{2}}\equiv 1{\bmod {b}}}$	${\displaystyle b^{\frac {a-1}{2}}\equiv 1{\bmod {a}}}$
VI	${\displaystyle b^{\frac {a-1}{2}}\equiv -1{\bmod {a}}}$	${\displaystyle a^{\frac {b-1}{2}}\equiv -1{\bmod {b}}}$
VII	${\displaystyle b^{\frac {B-1}{2}}\equiv 1{\bmod {B}}}$	${\displaystyle B^{\frac {b-1}{2}}\equiv -1{\bmod {b}}}$
VIII	${\displaystyle b^{\frac {B-1}{2}}\equiv -1{\bmod {B}}}$	${\displaystyle B^{\frac {b-1}{2}}\equiv 1{\bmod {b}}}$

Он говорит, что, поскольку выражения формы

${\displaystyle N^{\frac {c-1}{2}}{\bmod {c}},\qquad \gcd(N,c)=1}$

будет появляться так часто, что он будет сокращать их как:

${\displaystyle \left({\frac {N}{c}}\right)\equiv N^{\frac {c-1}{2}}{\bmod {c}}=\pm 1.}$

Это теперь известно как символ Лежандра , и эквивалентное определение ^{[11] [12]} используется сегодня: для всех целых чисел a и всех нечетных простых чисел p

${\displaystyle \left({\frac {a}{p}}\right)={\begin{cases}0&a\equiv 0{\bmod {p}}\\1&a\not \equiv 0{\bmod {p}}{\text{ and }}\exists x:a\equiv x^{2}{\bmod {p}}\\-1&a\not \equiv 0{\bmod {p}}{\text{ and there is no such }}x.\end{cases}}}$

Версия квадратичной взаимности Лежандра [ править ]

${\displaystyle \left({\frac {p}{q}}\right)={\begin{cases}\left({\tfrac {q}{p}}\right)&p\equiv 1{\bmod {4}}\quad {\text{ or }}\quad q\equiv 1{\bmod {4}}\\-\left({\tfrac {q}{p}}\right)&p\equiv 3{\bmod {4}}\quad {\text{ and }}\quad q\equiv 3{\bmod {4}}\end{cases}}}$

Он отмечает, что их можно комбинировать:

${\displaystyle \left({\frac {p}{q}}\right)\left({\frac {q}{p}}\right)=(-1)^{{\frac {p-1}{2}}{\frac {q-1}{2}}}.}$

Ряд доказательств, особенно те, которые основаны на лемме Гаусса , ^[13] явно вычисляют эту формулу.

Дополнительные законы с использованием символов Лежандра [ править ]

${\displaystyle {\begin{aligned}\left({\frac {-1}{p}}\right)&=(-1)^{\frac {p-1}{2}}={\begin{cases}1&p\equiv 1{\bmod {4}}\\-1&p\equiv 3{\bmod {4}}\end{cases}}\\\left({\frac {2}{p}}\right)&=(-1)^{\frac {p^{2}-1}{8}}={\begin{cases}1&p\equiv 1,7{\bmod {8}}\\-1&p\equiv 3,5{\bmod {8}}\end{cases}}\end{aligned}}}$

Из этих двух дополнений мы можем получить третий закон взаимности для квадратичного характера -2 следующим образом:

Для -2 быть квадратичным вычетом, либо 1 или -2 являются квадратичными остатками, или оба невычетами: .${\displaystyle {\bmod {p}}}$

Итак, либо: оба четные, либо оба нечетные. Сумма этих двух выражений равна${\displaystyle {\frac {p-1}{2}}{\text{ or }}{\frac {p^{2}-1}{8}}}$

${\displaystyle {\frac {p^{2}+4p-5}{8}}}$что даже. Следовательно,

${\displaystyle {\begin{aligned}\left({\frac {-2}{p}}\right)&=(-1)^{\frac {p^{2}+4p-5}{8}}={\begin{cases}1&p\equiv 1,3{\bmod {8}}\\-1&p\equiv 5,7{\bmod {8}}\end{cases}}\end{aligned}}}$

Попытка Лежандра доказать взаимность основана на его теореме:

Теорема Лежандра. Пусть a , b и c - целые числа, где любая пара из трех взаимно просты. Более того, предположим, что хотя бы один из ab , bc или ca отрицательный (т.е. они не все имеют одинаковый знак). Если

${\displaystyle {\begin{aligned}u^{2}&\equiv -bc{\bmod {a}}\\v^{2}&\equiv -ca{\bmod {b}}\\w^{2}&\equiv -ab{\bmod {c}}\end{aligned}}}$

разрешимы, то следующее уравнение имеет нетривиальное решение в целых числах:

${\displaystyle ax^{2}+by^{2}+cz^{2}=0.}$

Пример. Теорема I обрабатывается, если положить a ≡ 1 и b ≡ 3 (mod 4) простыми числами и предположить, что и вопреки теореме, что Then имеет решение, и взятие сравнений (mod 4) приводит к противоречию.${\displaystyle \left({\tfrac {b}{a}}\right)=1}$${\displaystyle \left({\tfrac {a}{b}}\right)=-1.}$${\displaystyle x^{2}+ay^{2}-bz^{2}=0}$

Этот метод не работает для теоремы VIII. Пусть b ≡ B ≡ 3 (mod 4), и предположим

${\displaystyle \left({\frac {B}{b}}\right)=\left({\frac {b}{B}}\right)=-1.}$

Тогда, если существует другое простое число p ≡ 1 (mod 4) такое, что

${\displaystyle \left({\frac {p}{b}}\right)=\left({\frac {p}{B}}\right)=-1,}$

Разрешимость приводит к противоречию (mod 4). Но Лежандру не удалось доказать, что такое простое число p должно быть ; Позже он смог показать, что все, что требуется, это:${\displaystyle Bx^{2}+by^{2}-pz^{2}=0}$

Лемма Лежандра. Если p - простое число, сравнимое с 1 по модулю 4, то существует нечетное простое число q такое, что${\displaystyle \left({\tfrac {p}{q}}\right)=-1.}$

но и этого он доказать не мог. Символ Гильберта (ниже) обсуждает, как можно заставить работать методы, основанные на существовании решений .${\displaystyle ax^{2}+by^{2}+cz^{2}=0}$

Гаусс [ править ]

Гаусс первым доказывает ^[14] дополнительные законы. Он устанавливает ^[15] основу для индукции, доказывая теорему для ± 3 и ± 5. Отметив ^[16], что легче сформулировать для −3 и +5, чем для +3 или −5, он формулирует ^[17] общую теорему в форме:

Если p является простым числом формы 4 n  + 1, то p , но если p имеет вид 4 n + 3, то - p является квадратичным вычетом (соответственно невычетом) каждого простого числа, которое с положительным знаком является вычетом (соответственно невычетом) числа p . В следующем предложении он окрестил ее «фундаментальной теоремой» (Гаусс никогда не использовал слово «взаимность»).

Вводя обозначение a R b (соответственно a N b ), чтобы обозначить, что a является квадратичным вычетом (соответственно невычетом) (mod b ), и позволяя a , a 'и т.д. представлять положительные простые числа ≡ 1 (mod 4) и b , b ′ и т. д. положительные простые числа ≡ 3 (mod 4), он разбивает его на те же 8 случаев, что и Лежандр:

В следующей статье он обобщает это до основных правил символа Якоби (ниже) . Пусть A , A ′ и т. Д. Представляют любые (простые или составные) положительные числа ≡ 1 (mod 4) и B , B ′ и т. Д. Положительные числа ≡ 3 (mod 4):

Все эти случаи принимают форму «если простое число является вычетом (по модулю составного), то составное число является вычетом или невычетом (по модулю простого числа), в зависимости от сравнений (по модулю 4)». Он доказывает, что это следует из случаев 1) - 8).

Гауссу нужна была и была возможность доказать ^[18] лемма, аналогичная той, которая была нужна Лежандру:

Лемма Гаусса. Если p простое число, сравнимое с 1 по модулю 8, то существует нечетное простое число q такое, что:

${\displaystyle q<2{\sqrt {p}}+1\quad {\text{and}}\quad \left({\frac {p}{q}}\right)=-1.}$

Доказательство квадратичной взаимности использует полную индукцию .

Версия Гаусса в легандровых символах.

${\displaystyle \left({\frac {p}{q}}\right)={\begin{cases}\left({\frac {q}{p}}\right)&q\equiv 1{\bmod {4}}\\\left({\frac {-q}{p}}\right)&q\equiv 3{\bmod {4}}\end{cases}}}$

Их можно комбинировать:

Комбинированная версия Гаусса в символах Лежандра. Позволять

${\displaystyle q^{*}=(-1)^{\frac {q-1}{2}}q.}$

Другими словами:

${\displaystyle |q^{*}|=|q|\quad {\text{and}}\quad q^{*}\equiv 1{\bmod {4}}.}$

Потом:

${\displaystyle \left({\frac {p}{q}}\right)=\left({\frac {q^{*}}{p}}\right).}$

Ряд доказательств теоремы, особенно основанные на суммах Гаусса, выводят эту формулу. ^[19] или разбиение простых чисел в полях алгебраических чисел , ^[20]

Другие заявления [ править ]

Утверждения в этом разделе эквивалентны квадратичной взаимности: если, например, предполагается версия Эйлера, версия Лежандра-Гаусса может быть выведена из нее, и наоборот.

Формулировка Эйлера квадратичной взаимности. ^[21] Если тогда${\displaystyle p\equiv \pm q{\bmod {4a}}}$${\displaystyle \left({\tfrac {a}{p}}\right)=\left({\tfrac {a}{q}}\right).}$

Это можно доказать с помощью леммы Гаусса .

Квадратичная взаимность (Гаусс; четвертое доказательство). ^[22] Пусть a , b , c , ... - неравные положительные нечетные простые числа, произведение которых равно n , и пусть m - их количество, равное ≡ 3 (mod 4); проверьте, является ли n / a остатком a , является ли n / b остатком b , .... Число найденных невычетов будет четным, когда m 0, 1 (mod 4), и будет нечетным, если м 2, 3 (мод.4).

Четвертое доказательство Гаусса состоит из доказательства этой теоремы (путем сравнения двух формул для значений сумм Гаусса) с последующим ограничением его до двух простых чисел. Затем он приводит пример: Пусть a = 3, b = 5, c = 7 и d = 11. Три из них, 3, 7 и 11 3 (mod 4), поэтому m 3 (mod 4). 5 × 7 × 11 R 3; 3 × 7 × 11 R 5; 3 × 5 × 11 R 7; и 3 × 5 × 7 N 11, поэтому имеется нечетное количество невычетов.

Формулировка Эйзенштейна квадратичной взаимности. ^[23] Предположим

${\displaystyle p\neq q,\quad p'\neq q',\quad p\equiv p'{\bmod {4}},\quad q\equiv q'{\bmod {4}}.}$

потом

${\displaystyle \left({\frac {p}{q}}\right)\left({\frac {q}{p}}\right)=\left({\frac {p'}{q'}}\right)\left({\frac {q'}{p'}}\right).}$

Формулировка Морделла квадратичной взаимности. ^[24] Пусть a , b и c - целые числа. Для каждого простого числа p , делящего abc, если сравнение

${\displaystyle ax^{2}+by^{2}+cz^{2}\equiv 0{\bmod {\tfrac {4abc}{p}}}}$

имеет нетривиальное решение, то также:

${\displaystyle ax^{2}+by^{2}+cz^{2}\equiv 0{\bmod {4abc}}.}$

Формулировка дзета-функции

Как упоминалось в статье о дзета-функциях Дедекинда , квадратичная взаимность эквивалентна дзета-функции квадратичного поля, являющегося произведением дзета-функции Римана и некоторой L-функции Дирихле.

Символ Якоби [ править ]

Символ Якоби - это обобщение символа Лежандра; основное отличие состоит в том, что нижнее число должно быть положительным и нечетным, но не обязательно простым. Если он простой, два символа совпадают. Он подчиняется тем же правилам манипуляции, что и символ Лежандра. Особенно

${\displaystyle {\begin{aligned}\left({\frac {-1}{n}}\right)=(-1)^{\frac {n-1}{2}}&={\begin{cases}1&n\equiv 1{\bmod {4}}\\-1&n\equiv 3{\bmod {4}}\end{cases}}\\\left({\frac {2}{n}}\right)=(-1)^{\frac {n^{2}-1}{8}}&={\begin{cases}1&n\equiv 1,7{\bmod {8}}\\-1&n\equiv 3,5{\bmod {8}}\end{cases}}\\\left({\frac {-2}{n}}\right)=(-1)^{\frac {n^{2}+4n-5}{8}}&={\begin{cases}1&n\equiv 1,3{\bmod {8}}\\-1&n\equiv 5,7{\bmod {8}}\end{cases}}\end{aligned}}}$

и если оба числа положительные и нечетные (это иногда называют «законом взаимности Якоби»):

${\displaystyle \left({\frac {m}{n}}\right)=(-1)^{\frac {(m-1)(n-1)}{4}}\left({\frac {n}{m}}\right).}$

Однако, если символ Якоби равен 1, но знаменатель не является простым числом, из этого не обязательно следует, что числитель является квадратичным остатком знаменателя. Случаи Гаусса 9) - 14) выше могут быть выражены в терминах символов Якоби:

${\displaystyle \left({\frac {M}{p}}\right)=(-1)^{\frac {(p-1)(M-1)}{4}}\left({\frac {p}{M}}\right),}$

и поскольку p простое число, левая часть является символом Лежандра, и мы знаем, является ли M вычетом по модулю p или нет.

Формулы, перечисленные в предыдущем разделе, верны для символов Якоби до тех пор, пока символы определены. Формулу Эйлера можно записать

${\displaystyle \left({\frac {a}{m}}\right)=\left({\frac {a}{m\pm 4an}}\right),\qquad n\in \mathbb {Z} ,m\pm 4an>0.}$

Пример.

${\displaystyle \left({\frac {2}{7}}\right)=\left({\frac {2}{15}}\right)=\left({\frac {2}{23}}\right)=\left({\frac {2}{31}}\right)=\cdots =1.}$

2 - вычет по модулю простых чисел 7, 23 и 31:

${\displaystyle 3^{2}\equiv 2{\bmod {7}},\quad 5^{2}\equiv 2{\bmod {23}},\quad 8^{2}\equiv 2{\bmod {31}}.}$

Но 2 не является квадратичным вычетом по модулю 5, поэтому он не может быть единицей по модулю 15. Это связано с проблемой, которую имел Лежандр: если тогда a является невычетом по модулю каждого простого числа в арифметической прогрессии m + 4 a , m + 8 , ..., если есть какие - либо простые числа в этой серии, но это не было доказано до десятилетий после Лежандра. ^[25]${\displaystyle \left({\tfrac {a}{m}}\right)=-1,}$

Формула Эйзенштейна требует условий относительной простоты (которые верны, если числа простые)

Позвольте быть положительные нечетные целые числа такие, что:${\displaystyle a,b,a',b'}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\gcd &(a,b)=\gcd(a',b')=1\\&a\equiv a'{\bmod {4}}\\&b\equiv b'{\bmod {4}}\end{aligned}}}$

потом

${\displaystyle \left({\frac {a}{b}}\right)\left({\frac {b}{a}}\right)=\left({\frac {a'}{b'}}\right)\left({\frac {b'}{a'}}\right).}$

Символ Гильберта [ править ]

Квадратичный закон взаимности может быть сформулирован в терминах символа Гильберта, где a и b - любые два ненулевых рациональных числа, а v пробегает все нетривиальные абсолютные значения рациональных чисел (архимедово и p -адические абсолютные значения для простых чисел р ). Символ Гильберта равен 1 или -1. Он определяется как 1 тогда и только тогда, когда уравнение имеет решение в дополнении рациональных чисел в v, отличное от . Закон взаимности Гильберта гласит, что для фиксированных a и b и меняющегося v${\displaystyle (a,b)_{v}}$${\displaystyle (a,b)_{v}}$${\displaystyle ax^{2}+by^{2}=z^{2}}$${\displaystyle x=y=z=0}$${\displaystyle (a,b)_{v}}$, равно 1 для всех v, кроме конечного, а произведение всех v равно 1. (Это формально напоминает теорему о вычетах из комплексного анализа.)${\displaystyle (a,b)_{v}}$

Доказательство гильбертовой взаимности сводится к проверке нескольких частных случаев, а нетривиальные случаи оказываются эквивалентными основному закону и двум дополнительным законам квадратичной взаимности для символа Лежандра. В законе взаимности Гильберта нет взаимности; его название просто указывает на исторический источник результата квадратичной взаимности. В отличие от квадратичной взаимности, которая требует знаковых условий (а именно положительности задействованных простых чисел) и особой обработки простого числа 2, закон взаимности Гильберта рассматривает все абсолютные значения рациональных чисел на равной основе. Следовательно, это более естественный способ выражения квадратичной взаимности с точки зрения обобщения: закон взаимности Гильберта с очень небольшими изменениями распространяется на все глобальные поля. и это расширение по праву можно считать обобщением квадратичной взаимности на все глобальные поля.

Связь с круговыми полями [ править ]

Ранние доказательства квадратичной взаимности относительно неинтересны. Ситуация изменилась, когда Гаусс использовал суммы Гаусса, чтобы показать, что квадратичные поля являются подполями круговых полей , и неявно вывел квадратичную взаимность из теоремы взаимности для круговых полей. Его доказательство было представлено в современной форме более поздними теоретиками алгебраических чисел. Это доказательство послужило шаблоном для теории полей классов , которую можно рассматривать как обширное обобщение квадратичной взаимности.

Роберт Ленглендс сформулировал программу Ленглендса , которая дает предположительное обширное обобщение теории поля классов. Он написал: ^[26]

Признаюсь, как студент, не знакомый с историей предмета и не знающий о связи с циклотомией, я не нашел закон или его так называемые элементарные доказательства привлекательными. Я полагаю, хотя я не мог (и не мог) выразить себя таким образом, я видел в этом не более чем математическое любопытство, подходящее больше для любителей, чем для внимания серьезного математика, которым я тогда надеялся стать. Только в книге Германа Вейля по алгебраической теории чисел ^[27] я оценил ее как нечто большее.

Другие кольца [ править ]

В кольцах, кроме целых, также существуют квадратичные законы взаимности .

Гауссовские целые числа [ править ]

Во второй своей монографии о квартике взаимности ^[28] Гаусс заявил , квадратное взаимность для кольца из гауссовых целых чисел , говоря , что это вытекает из биквадратичным закона в , но не предоставил доказательства либо теоремы. Дирихле ^[29] показал, что закон можно вывести из закона без использования четверной взаимности.${\displaystyle \mathbb {Z} [i]}$${\displaystyle \mathbb {Z} [i],}$${\displaystyle \mathbb {Z} [i]}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Для нечетного гауссовского простого числа и гауссовского целого числа относительно простого, чтобы определить квадратичный характер для :${\displaystyle \pi }$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \pi ,}$${\displaystyle \mathbb {Z} [i]}$

${\displaystyle \left[{\frac {\alpha }{\pi }}\right]_{2}\equiv \alpha ^{\frac {\mathrm {N} \pi -1}{2}}{\bmod {\pi }}={\begin{cases}1&\exists \eta \in \mathbb {Z} [i]:\alpha \equiv \eta ^{2}{\bmod {\pi }}\\-1&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$

Пусть будут различные гауссовские простые числа, где a и c нечетные, а b и d четные. Тогда ^[30]${\displaystyle \lambda =a+bi,\mu =c+di}$