Disquisitiones Arithmeticae ( латинский для «Арифметических исследований») представляет собой учебное пособие по теории чисел написано на латинском языке [1] по Гаусс в 1798 году , когда Гаусс 21 и впервые опубликован в 1801 году , когда ему было 24. Он примечателен Достигнув революционное влияние на область теории чисел, поскольку это не только сделало ее по-настоящему строгой и систематической, но и проложило путь для современной теории чисел. В этой книге Гаусс собрал и согласовал результаты теории чисел, полученные такими математиками, как Ферма , Эйлер , Лагранж и Лежандр. и добавил много собственных глубоких и оригинальных результатов.
Сфера [ править ]
Disquisitiones охватывает как элементарную теорию чисел и часть области математики теперь называется алгебраической теорией чисел . Гаусс не признавал явным образом понятие группы , которое является центральным в современной алгебре , поэтому он не использовал этот термин. Его собственное название своего предмета - Высшая арифметика. В своем Предисловии к Disquisitiones Гаусс описывает объем книги следующим образом:
Вопросы, которые исследует этот том, относятся к той части математики, которая занимается целыми числами.
Гаусс также пишет: «Когда читатели обращаются к этой работе, когда они сталкиваются с множеством трудных проблем, для краткости выводы не используются». («Quod, in pluribus quaestionibus difficilibus, manifestrationibus syntis usus sum, analysinque per quam erutae sunt suppressi, imprimis brevitatis studio tribuendum est, cui Quantum fieri poterat conslere oportebat»)
Содержание [ править ]
Книга разделена на семь разделов:
- Конгруэнтные числа в целом
- Конгруэнции первой степени
- Остатки полномочий
- Конгруэнции второй степени
- Формы и неопределенные уравнения второй степени.
- Различные приложения предыдущих обсуждений
- Уравнения, определяющие сечения круга
Эти разделы подразделяются на 366 пронумерованных пунктов, которые формулируют теорему с доказательством или иным образом развивают замечание или мысль.
Разделы I к III, по существу , обзор предыдущих результатов, в том числе малой теоремы Ферма , теорема Вильсона и существование примитивных корней . Хотя некоторые результаты в этих разделах являются оригинальными, Гаусс был первым математиком, который систематизировал этот материал. Он также осознал важность свойства уникальной факторизации (гарантированной фундаментальной теоремой арифметики , впервые изученной Евклидом ), которую он повторно формулирует и доказывает с использованием современных инструментов.
Начиная с раздела IV, большая часть работы является оригинальной. В разделе IV приводится доказательство квадратичной взаимности ; Раздел V, занимающий более половины книги, представляет собой всесторонний анализ двоичных и троичных квадратичных форм . Раздел VI включает два разных теста на простоту . Наконец, Раздел VII представляет собой анализ циклотомических многочленов , который завершается указанием критериев, определяющих, какие правильные многоугольники можно построить , т. Е. Можно построить только с помощью циркуля и немаркированной линейки.
Гаусс начал писать восьмой раздел о сопоставлениях более высокого порядка, но не завершил его, и после его смерти он был опубликован отдельно в виде трактата под названием «Общие исследования сопоставлений». В нем Гаусс обсуждал конгруэнции произвольной степени, атакуя проблему общих конгруэнций с точки зрения, тесно связанной с той, которую позднее приняли Дедекинд , Галуа и Эмиль Артин . Трактат положил начало теории функциональных полей над конечным полем констант. Идеи, уникальные для этого трактата, - ясное признание важности морфизма Фробениуса и версия леммы Гензеля .
В Disquisitiones был один из последних математических работ , написанных в научной латыни . Английский перевод не был опубликован до 1965 года.
Важность [ править ]
До публикации Disquisitiones теория чисел состояла из набора отдельных теорем и гипотез. Гаусс собрал работы своих предшественников вместе со своей собственной оригинальной работой в систематизированные рамки, заполнил пробелы, исправил необоснованные доказательства и расширил предмет во многих отношениях.
Логическая структура Disquisitiones ( утверждение теоремы с последующим доказательством , а затем следствиями ) установила стандарт для более поздних текстов. Признавая первостепенную важность логического доказательства, Гаусс также иллюстрирует многие теоремы числовыми примерами.
В Disquisitiones стал отправной точкой для других европейских математиков 19-го века, в том числе Куммера , Дирихля и Дедекинда . Многие аннотации Гаусса по сути являются объявлениями о его дальнейших исследованиях, некоторые из которых остались неопубликованными. Должно быть, они казались его современникам особенно загадочными; теперь они могут быть прочитаны как содержащие ростки теорий L-функций и , в частности, комплексного умножения .
В Disquisitiones продолжали оказывать влияние в 20 - м веке. Например, в разделе V, статья 303, Гаусс резюмировал свои вычисления номеров классов правильных примитивных двоичных квадратичных форм и предположил, что он нашел все из них с номерами классов 1, 2 и 3. Позже это было интерпретировано как определение мнимых полей квадратичных чисел с четным дискриминантом и классом 1, 2 и 3, и распространены на случай нечетного дискриминанта. Этот более общий вопрос, который иногда называют проблемой числа классов , был подтвержден в 1986 году [2] (конкретный вопрос, заданный Гауссом, был подтвержден Ландау в 1902 году [3]).для класса номер один). В разделе VII, статья 358, Гаусс доказал то, что можно интерпретировать как первый нетривиальный случай гипотезы Римана для кривых над конечными полями ( теорема Хассе – Вейля ). [4]
Библиография [ править ]
- Карл Фридрих Гаусс, тр. Артур А. Кларк, [5] SJ : Disquisitiones Arithmeticae , Yale University Press, 1965, ISBN 0-300-09473-6
- Disquisitiones Arithmeticae (исходный текст на латыни)
- Dunnington, Г. Вальдо (1935), "Гаусс, Его Disquisitiones Arithmeticae и Его Современники в Институте де Франс", Национальный математический журнал , 9 (7): 187-192, DOI : 10,2307 / 3028190 , JSTOR 3028190
Ссылки [ править ]
- ^ Disquisitiones Arithmeticae на Yalepress.yale.edu
- ^ Ирландия, K .; Розен, М. (1993), Классическое введение в современную теорию чисел , Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer-Verlag, стр. 358–361, ISBN. 978-0-387-97329-6
- ^ Голдфельд, Дориан (июль 1985 г.), «Проблема числа классов Гаусса для мнимых квадратичных полей» ( PDF ) , Бюллетень Американского математического общества , 13 (1): 23–37, DOI : 10.1090 / S0273-0979-1985- 15352-2
- ^ Silverman, J .; Тейт, Дж. (1992), Рациональные точки на эллиптических кривых , Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer-Verlag, стр. 110, ISBN 978-0-387-97825-3
- ↑ Не путать с Артуром Кларком , писателем-фантастом.
Внешние ссылки [ править ]
- СМИ, связанные с Disquisitiones Arithmeticae на Викискладе?
- В латинском Wikisource есть оригинальный текст, связанный с этой статьей: Disquisitiones arithmeticae (латинский оригинал) (первое издание 1801 г.) (изд. 1870 г.)
- На французском Викисайте есть оригинальный текст, связанный с этой статьей: Recherches arithmétiques (французский перевод) (изд. 1807 г.)
